-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: September 29 2019. -------
Ссылка на этот материал: Язык-математики.htm)


1.    Язык. Формы записи выражений

Для записи любого выражения используется некоторый алфавит. Само выражение представляет собой последовательность букв этого алфавита, подчиняющаяся определенным правилам. Эти правила определяются языком.

Примерами языков могут быть, например, русский язык, английский язык, немецкий, китайский и множество других. Это естественные языки. В языке определяется алфавит. Для русского языка это буквы алфавита кириллицы, основанного на греческом алфавите, для английского – латиница. В китайском языке используются не буквы алфавита, а специальные стилизованные рисунки – иероглифы, представляющие иногда целое понятие. Кроме естественных языков, существуют специализированные языки. Это, в основном, языки математики и химии, появившиеся для описания соответствующих научных знаний, и языки программирования, появившиеся в связи с появлением электронных вычислительных машин для формализованного описания задания для них (программ и данных для него). Для них естественные языки выступают в роли некоторого "метаязыка" или "сверхязыка"– языка, на котором происходит объяснение всего на понятном всем языке. Метаязык – язык, понятный человеку с детства и не нуждающийся в каких либо дополнительных объяснениях. Метаязык надо понимать именно так. Ее не надо объяснять. Разве что на уроках родного и иностранного языков. Он дан нам изначально. Чем глубже человек понимает язык математики и конкретной математической теории, тем меньше ему нужно этого метаязыка для понимания.

Выражения в естественных языках называются предложениями. Они состоят из отдельных слов, представленных достаточно короткими последовательностями букв алфавита. Из слов по определенным синтаксическим правилам составляются предложения, а из них – абзацы и тексты. Вопрос смысла этих текстов скрывается в сопоставлении этих слов в соответствии с синтаксическими правилами объектам реальной природы и связям между ними и в дальнейшем истинности/ложности составленных из них предложений и логической целостности законченного текста. Не всякая последовательность является выражением! И не всякое выражение является осмысленным выражением! Математический язык ничем не отличается от них.

У естественных языков имеются вполне определенные звуковые образы, но этим мы здесь не будем заниматься. Звуковые образы в принципе тоже являются языком со своим звуковым алфавитом.

И, конечно, в современном мире у естественных языков имеются и их письменные образы. И достаточно точные – с точностью до интонации, звукового образа.

В письменный алфавит почти любого языка входят также способы представления чисел. Наиболее употребительным является алфавит, использующий изображение для первых десяти цифр, потому что человек использует десятеричную систему счисления. Это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Цифра – это символ языка. Их называют арабскими, потому что в таком представлении они пришли из арабских стран. Числа – это слова, которые признаются числами. Символически это иероглиф. Числа записываются через них с применением позиционного способа и дополнительных условных правил. Ранее использовались и другие и достаточно сложные системы счисления и способы их письменной записи, например, римская форма записи десятеричных чисел. В компьютерах в основном используется двоичная (восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д.) система счисления, но  для визуализации используется десятеричная система.

Научный язык, в частности математики, является в высокой степени формализованным языком. Кроме осмысленного текста на естественном метаязыке, в ней присутствует формализованный специфический язык, построенный по очень строгим правилам. Эти правила объединяют правила записи выражений и правила вывода следствий и "вычисления" (доказательства) выражений теории. Языки программирования максимально формализованы и в ней естественный язык практически присутствует только в примечаниях и значениях некоторых строковых параметров.

1.1       Функциональная форма записи

Математика насквозь пронизана "выражениями", с помощью которых записываются формулы и производятся вычисления. Смысл любого выражения в его вычислимости. Любое выражение состоит из обозначений операндов и функций (операций), результат вычисления которого зависит от порядка выполнения функций (операций) над операндами. Общая форма записи выражения определяется следующим, опять же, выражением:

F ( f1fm, p1pn).

где F(f1fm, p1pn) – вычисляемое выражение, определяющее порядок использования параметров. Префикс F определяет, как именно устроено выражение, т.е. последовательность символов и объектов (параметров) предложения в более детальном виде. Можно считать, что это выражение – некий сложный иероглиф (идентификатор), заменяющий другое, более детальное выражение, полученное методом подстановок, т.е. заменой некоторого более длинного и сложного выражения некоторым идентификатором.  Про использование скобок см. далее.

f1fm – список множества функции (операций, действий), применяемых к операндам в выражении в определенном порядке,

p1pn – список множества операндов (объектов) выражения,

Порядок  f1 pn в выражении F(f1fm, p1pn)  может быть любым другим, в соответствии с правилами языка. Правила определяют все.

Эта общая форма записи выражения очень обща и неудобна для использования. Практически по ней ничего нельзя сказать, потому что чтобы его вычислить, необходимо знать, что представляет собой объект F. На практике применяются правила составления выражений и доказательства, что последовательность символов языка является правильным (или допустимым) выражением (почти как масло масляное).

Для упрощения записи выражений используются различные способы упрощения записи выражений и использования скобок. Один из способов упрощения записи выражения – это запись выражения в форме функции только по отношению к своим аргументам:

Rf = Rf(p1pn).

При этой форме записи выражение состоит из двух частей – идентификатора функциональной зависимости (в общем случае многоместной функции Rf, однозначно определяющий множество функциональных операндов f1fm и их влияние на результат) и ее операндной части, заключенной в скобки. Ограничений на состав операндной части, конечно, не имеется, но принято, что она состоит только из множества аргументов и не включает в себя перечисление функций. Но в качестве операндов могут применяться другие выражения (функции):

R1 = R1(p1R2(pnpm)).

Это наиболее общий функциональный способ записи выражений. Эта форма называется префиксной формой (см. далее).

Кроме префиксной функциональной формы, представленной выше, применяется еще постфиксная функциональная форма (см. далее), при которой идентификатор функциональной формы выражения записывается после операндной части:

Rf = (p1pn)Rf.

Смешанное применение префиксных и постфиксных форм записи выражений не желательно и применяется только в специальных случаях, например, при использовании факториала числа.

Для записи функций над двумя операндами используется инфиксная форма записи выражений:

Rt = (p1 t  p2),

При этой форме знак функциональной зависимости операндов ставится между парой операндов (см. далее).

При использовании в выражении нескольких аргументов и нескольких функций и операций возникает задача определения блока параметров и порядка выполнения операций. Порядок выполнения однозначно определяется расставленными скобками. Первым вычисляется самая внутренняя скобка, затем внешние по отношению к нему. Такая форма записи называется полной скобочной формой записи выражения.

Другой способ упрощения выражения – это вообще избавиться от скобок. Смотри далее – префиксная и постфиксная формы записи выражений.

Замечание. Заключение параметрической части для безоперандного и однооперандного выражений в скобки не является обязательной:

R = Rf() º R = Rf ,

R = Rf(p) º R = Rfp

Но нужно помнить: излишнее упрощение записи выражения может привести к противоположному эффекту – усложнению анализа выражения человеком. Необходимо остановиться на каком-то компромиссе.

1.2       Скобочная форма записи

Одним из способов записи выражений является использование скобок. Скобки очень широко используются практически во всех формализованных языках. Скобки определяют как синтаксические части ее, так и порядок выполнения расчета выражения. Во многих языках любое выражение заключается в общую скобку и становится после этого более простым элементом языка - выражением.

Скобки выделяют в выражении некоторую блочную структуру, состоящую из открывающей и закрывающей скобок, внутри которой находятся другие блоки выражения. Использование скобок подчиняется своим правилам. Конкретное символьное представление скобки можем быть различным, но обязательное условие – вместе с открывающей скобкой существует и закрывающая скобка. Причем любая скобочная структура как блок должна быть либо самой внешней, либо находится внутри другой скобочной пары. Например, скобочная запись ( ( ) [ ] ) правильная, а запись в виде ( ( [ ) ] ) – неправильная: блок квадратной скобки разорван круглой скобкой. Между любыми двумя соседними открывающими или закрывающими скобками в скобочном выражении может присутствовать другая, не скобочная запись (не обязательно правильное законченное выражение), но между любыми двумя парными соседними скобками скрывается правильное выражение.

Но не всегда при записи выражений пользуются полной скобочной формой записи, а упрощают их, убирая некоторые скобки.

Замечание. Заключение всего выражения (не внутренних! подвыражений) в скобки не является обязательной.

В этом случае задача определения порядка выполнения операций решается с помощью использования приоритетов некоторых операций над другими. Например, в математике операции умножения и деления имеют приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, операция возведения в степень – над операциями умножения и деления. При одинаковых приоритетах вычисления производятся последовательно слева направо. Для принудительного изменения порядка выполнения операций в этом случае опять же возвращаются скобки.

Применение скобок для записи выражений уже было показано выше. Но там применение скобок ограничивалось записью списка параметров функционального выражения в структуре типа r = j(p), где r – идентификатор результата, j - идентификатор функциональной зависимости, p – список параметров через разделитель.

При применении инфиксной формы записи выражения встает задача упрощения записи выражения, а затем – обратная задача определения порядка выполнения операции внутри упрощенного выражения. Частично эта задача решается выставлением приоритетов операций друг над другом и последовательным (в порядке записи) выполнением операций над ближайшими соседями. Но этот способ не всегда однозначен.

Способ расстановки скобок при инфиксной записи считается интуитивным. Стоит подчеркнуть, что здесь и в дальнейшем мы придержи­ваемся свободной точки зрения на введение и сокращение скобок. Иначе говоря, их появление и ликвидация, как правило, управляют­ся соображениями удобства, а также требованиями к уровню фор­мализации текущего фрагмента текста.

Результирующая строка состоит из символов, обозначающих элементы алгебры выражений и сбалансированных скобок. В качестве символа скобки может применяться очень широкий круг одиночных (круглые, квадратные, угловые, фигурные скобки, апострофы и кавычки) и не одиночных (beginend, ifendif, fornext, …) печатных символов. При вычислении выражения все, что стоит внутри сбалансированной скобки, имеет приоритет перед всем, что стоит вне скобок, и вычисляется раньше. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется языком Дика. Общее число различных способов записи n применений оператора алгебры определяется числом Каталана Cn. Так например, C2 = 2, что эквивалентно утверждению, что (ab)c и a(bc) — единственно возможные способы определения порядка применения двух операций, включающей множество из трёх элементов.

Для дальнейшего упрощения записи и сокращения числа используемых скобок используется условное обозначение приоритета. Для того, чтобы обозначить более высокий приоритет у выполняемой операции, используют запись рядом. Например, если операция магмы обозначается знаком *: (xy ~ x*y), то xy*z — сокращённая запись (x*y)*z. Дальнейшие сокращения возможны за счёт использования уменьшающих приоритет пробелов. Например, записывая xy*z * w*v вместо ((x*y)*z)*(w*v): пробел уменьшает приоритет по отношению к такой же операции без пробела. Разумеется, при использовании пробела на бумаге можно ошибиться в его наличии (или его количестве) на определенном месте выражения, что может доставить неудобство, но при машинном разборе выражения ее можно использовать. Большое количество скобок тоже может привести к неудобочитаемости выражения, но и здесь при машинном разборе выражения это не вызовет проблем. Да и к тому же для более сложных выражений отказ от использования скобок нежизнеспособен – сложно контролировать баланс скобок. Это удобство усиливается с использованием специальных редакторов, подсвечивающих парные (ответные, сбалансированные) скобки.

Скобочная запись широко используется в программировании для описания различных структур данных, в частности списков, деревьев, для записи структурированных алгоритмов и анализе программ и синтаксических структур языков программирования.

1.3       Префиксная форма записи

Способом избежать использование скобок является префиксная запись и постфиксная записи. Основная форма записи в префиксной форме следующая,она же самая простая:

F(f1fm, p1pn).

Возможны другие формы. Это более строгая полная скобочная форма:

(F(f1fm, p1pn)),

и наиболее простая бесскобочная форма:

F f1fm p1pn.

Последняя форма возможна только если известно количество аргументов функцции F.

Отметим, что формы записи выражений взаимно обратимы. Идея таких преобразований будет достаточно ясна, если 1) сначала уточнить исходную форму записи до полной скобочной формы записи, С этой целью добавим в формулу лишние скобки, которые избавят нас от учета стандартных соглашений относительно приоритета. Получим то же выражение в расширенной скобочной форме. А затем 2) применять к каждой скобке стандартную процедуру преобразования от одной формы к другой. Преобразование из инфиксной формы в префиксную и наоборот происходит применением правила преобразования текста

(A j B) « j A B,

из постфиксной формы в префиксную и наоборот происходит применением правила преобразования текста

A B j « j A B.

Для примера рассмотрим следующее исходное инфиксное выражение: 4*(6-3)+(8-6)/2.

Для начала получим это же выражение в полной скобочной форме: ((4*(6-3))+((8-6)/2))). А теперь начнем изменять запись этого выражения. Прежде всего, внешнее действие (A+B), где A= (4*(6-3)) и B = ((8-6)/2), запишем, снимая скобки, в виде + A B. Для нашего примера получится +(4*(6-3)) ((8-6)/2). Аналогично преобразуем аргумент A. Имеем +*4(6-3) ((8-6)/2). А дальше будем преобразовывать каждую следующую скобку, двигаясь от внешних скобок к внутренним: +*4-6 3 ((8-6)/2) ® +*4-6 3/(8-6)2 ® +*4-6 3/-8 6 2. Получившаяся форма называется префиксной записью (действие пишется перед операндами) или польской записью, так как ее появление связывается с именем польского математика Яна Лукасевича (Jan Lukasiewicz, 1878-1956).

1.4       Постфиксная форма записи

Постфиксная форма записи отличается от префиксной тем, что идентификатор операции записывается не до своих аргументов, а после. Постфиксную форму записи иногда называют записью в польской нотации. Эта форма записи довольно широко ипользовалась при программировании задач в микрокалькуляторах в силу оптимального использования ограниченных ресурсов их памяти.

Постфиксная форма записи выражения достаточно интуитивна, проста и последовательна для анализа. Правила преобразования форм идентичны предыдущим, с учетом смены места нахождения функционального символа:

(A j B) «  A B j,

j A B « A B j.

Пост- и префиксный принцип записи можно не ограничивать только операциями, а можно применить и к произвольной функции с известным количеством аргументов n:

j p1 p2 pn « p1 p2 pn j.

1.1       Инфиксная форма записи

Несмотря на более удобную и прозрачную форму использования функциональной формы выражения, префиксная и постфиксная формы записи имеют неудобства в использовании. Но для однооперандных выражений они являются единственными. Для более прозрачной записи выражений используются и другие формы. Такой формой записи для двухоперандных функциональных выражений является инфиксная форма, и она применяется очень широко. При этом функциональная зависимость называется "операцией".

R = (p1 t  p2),

где p1 и  p2 – операнды (аргументы) операции,

t  - символ (идентификатор) операции.

Количество операндов такой функции в точности равно двум. При этой форме записи функциональный оператор операции находится между своими операндам и. Правила преобразования из функциональных форм в инфиксную следующие:

(A j B) «  A B j,

(A j B) « j A B,

В качестве операндов здесь также могут применяться другие операции (функции) и префиксные (или постфиксные) записи выражений:

R = (p1 t1 (( p2 t2 p1) t3  f(p3))).

Это смешанная форма записи выражений.

 

Ссылка на этот материал: Язык-математики.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин*:      Введите эл.адрес:

Введите пароль*:    Ваш телефон:        
* - ввод объязателен, логин и пароль пока не контролируются;

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 62 ^ "ноль" =

---Load files---
Сегодня - 14_07_2020
Время переоткрытия сайта 22 ч 56 м по Гр.
Календарь
на ИЮЛЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 1 2
(7 331)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:12 V:25 N:70
Уникальных посетителей за текущие сутки: 12 Просмотров: 25 Этой страницы (всего): 70