Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: affinnoye_prostranstvo.htm)
Аффинное пространство

1         Аффинное пространство

Считается, что классическая механика (КМН) в объеме трех законов Ньютона с определением ИСО определяется в евклидовом пространстве. Но это не совсем так. Классическая механика (КМН) в объеме трех законов Ньютона определена в аффинном пространстве. Это видно из того, что во всех трех законах Ньютона не присутствуют понятия о расстояниях и углах. Есть понятия только о прямых и векторах. И, конечно, понятие параллельности. Действительно, любые линейные преобразования координат не меняют основные законы Ньютона.

1.      1-й закон. При аффинных преобразованиях координат ИСО остается ИСО, прямые переходят в прямые, вектора – в вектора. Косоугольность (понятие евклидова пространства) с.к. не имеет значения, потому как с.к. ИСО может быть и косоугольным.

2.      2-й закон. При аффинных преобразованиях координат векторы остаются векторами и преобразуются по своим законам. Нулевой вектор при этом остается нулевым.

3.      3-й закон. Линия действия двух взаимодействующих тел и равенство сил взаимодействия не меняется при аффинном преобразовании координат.

4.      В аффинном пространстве остаются в силе законы сохранения импульса и массы.

Законы сохранения энергии и момента импульса являются уже законами изотропного метрического галилеева пространства и не следуют непосредственно из трех законов Ньютона.

При введении в рассмотрение криволинейных и неинерциальных систем отсчета (НСО) МН определяется в локально аффинном пространстве. Отношение локально аффинного пространства к аффинному пространству такое же, как риманова  пространства к евклидовому пространству.

И только там, где явно появляются расстояние (скалярное приозведение, длина, площадь, объем) и угол, появляются евклидово и риманово пространства. Вместе с ними появляется энергия, моменты векторных параметров и, собственно, классическая механика Ньютона в привычном для нас виде с законами сохранения импульса, энергии и момента импульса.

Итак, что такое аффинное пространство?

1.1    Определение

Аффинное пространство называется действительным или комплексным, конечномерным или бесконечномерным в зависимости от того, каким является соответствующее линейное пространство.

Размерность аффинного пространства равна по определению размерности соответствующего пространства свободных векторов. При этом число точек n в максимальном аффинно независимом множестве точек аффинного пространства оказывается на единицу больше размерности пространства: n = N+1.

Пример: прямая, плоскость и пространство являются аффинными пространствами над векторными пространствами V, V, V.

Аксиомы Вейля аффинного пространства

Пусть A ≠ Ø - множество элементов произвольной природы, называемых точками и обозначаемых A, B, C, ... Наряду с этим множеством рассмотрим векторное пространство V.

Определение. Множество A ≠ Ø называется аффинным пространством над векторным пространством V, если задано отображение, сопоставляющее любой упорядоченной паре точек из A некоторый (единственный!) вектор из V:

v: A × AV.

и удовлетворяющее двум аксиомам (аксиомам Вейля):

Аксиома 1

Для любой точки A A и любого вектора v V существует единственная точка B A, для которой:

v(A, B) = AB 

(в дальнейшем будем обозначать v(A, B) = AB).

Данная аксиома связывает с каждой точкой пространства A (называемых точками аффинного пространства) некоторое векторное пространство V (которое называют пространством свободных векторов для аффинного пространства A).

Разновидностью этой аксиомы является другая – обратная к ней:

Для любых точек A, B A существует единственный вектор v V, для которой:

v(A, B) = AB.

Данная аксиома исключает цикличность координат аффинного пространства. Но пространства с циклическими координатами существуют – их назовем циклическими аффинными пространствами.

Аксиома 2

Для любых трех точек A, B, C A имеет место равенство:

(A, B, C A): AB +BC = AC.

Векторное пространство V называется направляющим пространством аффинного пространства A, или - пространством переносов аффинного пространства A.

Заметим во избежание недоразумений, что отображение принадлежит векторному пространству: v(A, B) ≡ AB V , а не аффинному пространству A - пространству точек.

Данная аксиома означает, что определена операция сложения элементов пространства  A с векторами из пространства V.

Некоторые свойства аффинного пространства.

1) Каждой паре совпадающих точек из A сопоставляется нулевой вектор из V.

Доказательство. Пусть МA  и MMz. Пусть x  - произвольный вектор из V   по аксиоме 1:  точка NA: MN = x. По аксиоме 2: z + xMM + MNMN = x  z = MM =  0.

2) Если AB = , то BA= –.

Доказательство.  Пусть BA = y x + y = AB + BA= AA = 0  y = –x.

Сравнение векторов.

Векторы сравниваются движением параллельного смещения по пространству.

Два вектора сравнимы, если они параллельны. Результат сравнения имеет три взаимоисключающих значения: меньше, равно и больше.

Не параллельные векторы не сравнимы, потому что нет такого движения.

Метрика

Метрика в аффинном пространстве не определена. Но некоторые элементы метрики в ней можно усмотреть. См. «Метрика».

1.2    Аффинные координаты

По аналогии с понятием линейной независимости векторов вводят понятие аффинной независимости точек аффинного пространства. Именно: точки P0, P1, P2, … Pn называют аффинно зависимыми, если какую-либо из них, например - P1, можно представить в виде барицентрической комбинации остальных точек. В противном случае эти точки называются аффинно независимыми.

Условию аффинной независимости точек можно придать иную форму: справедливо предложение, по которому точки аффинного пространства аффинно независимы тогда и только тогда, когда не существует нетривиальной сбалансированной комбинации данных точек, равной нулевому вектору.

Любое из максимальных аффинно независимых множеств точек аффинного пространства можно трактовать как точечный базис (перенумеровав данные точки тем или иным способом). Всякую точку пространства можно представить в виде барицентрической комбинации точек, входящих в точечный базис; коэффициенты этой комбинации называют барицентрическими координатами рассматриваемой точки.

Рассмотрим nмерное аффинное пространство A и введём в нём так называемую аффинную систему координат. Пусть О – точка в A – начало координат и пусть e1, …, en − базис в соответствующем пространстве Vn. Пусть М – произвольная точка A . Тогда определён вектор OM Î Vn, называемый радиус-вектором точки М. Разлагая OM по e1, …, en, имеем: OM =  x1e1 +…+ xnen.

Коэффициенты x1, … xn этого разложения называются аффинными координатами точки М (относительно выбранной системы координат с началом в точке О и базисом e1, …, en). Система {0, e1, …, en} называется репером.

Ввиду единственности разложения вектора по базису, координаты точки определяются однозначно.

Пусть да на другая точка N с координатами (y1, … yn). Из аксиомы 1) аффинного пространства  Þ MN = MO + ON = ONOM = (y1 - x1)e1 +…+ (yn - xn)en, т.е. вектор MN и меет координаты (y1 - x1, …, yn - xn),  т.е., чтобы получить координаты вектора MN надо из координат конца вычесть координаты начала.

Замечание 1. Пусть выбран базис и начало координат перенесено из точки О в точку О’. Пусть координаты О’ в базисе с центром в О заданы координатами a1, … an. Тогда имеем  OM = OO’ + OMÞ xi = ai + xi.

Замечание 2. Если О = О, а базис {e} переходит в базис {ei} : E’ = EÞ  X = X’.

В общем случае, .

1.3    Инварианты аффинного пространства

Аффинное пространство является однородным, масштабно инвариантным и изотропным в силу определения: любые n N+1 (N – размерность пространства) независимых точек аффинного пространства можно отобразить в такое же количество других точек аффинным преобразованием. Однородное преобразование соответствует смещению начала координат, масштабное – масштабному преобразованию координат, изотропное – любому линейному преобразованию координат.

Геометрическими инвариантами аффинного пространства являются точки, прямые, плоскости, … При любых линейных преобразованиях координат эти геометрические фигуры остаются ими же. Да и любой другой аффинный объект при аффинном преобразовании сохраняет свою инвариантность. Но не всякий объект является аффинным. Многие геометрические объекты евклидова пространства не являются аффинными. Например, понятия «окружность» и «квадрат» в аффинном пространстве определить невозможно. Аффинное пространство не дружит с длинами (расстояниями) и углами.

Инвариантами аффинного пространства являются свойства сравнимости: эквивалентности, подобия  и различимости.

Инвариантом аффинного пространства является свойство параллельности объектов, если это свойство к ним применимо.

Интересным и общим инвариантом аффинного пространства является отношение разностей координат между любыми тремя точками на прямой:

где j(A) – аффинное преобразование.

1.4    Отличие аффинного пространства от евклидова

Аффинное пространство очень близко к евклидовому, их можно взаимно однозначно отобразить друг на друга, причем параллельные прямые останутся параллельными прямыми. Они оба бесконечные и произвольной размерности. Они однородные. Они изотропные. Они являются векторными пространствами. В них можно определить свободные и связанные векторы. А также скаляры, векторы, тензоры … В них определены точки, прямые, плоскости, … Но в нем нет понятия скалярного произведения, аффинное пространство не является метрическим пространством и во многом его свойства из-за этого другие. Свертка тензоров формально определена как линейное преобразование элементов тензора при преобразованиях координат. Определено даже скалярное произведение (точнее – свертка) и соответствующий ей билинейный тензор, выделяющий в пространстве некоторую систему координат и который можно использовать для поднятия-опускания индексов, но без связи с метрическим тензором.

Евклидово пространство

Аффинное пространство

1. В евклидовом пространстве сравнение происходит смещением и линейным ортонормированным преобразованием (поворот). Параллельное перемещение (смещение) и масштабное преобразование – частные случаи линейного преобразования.

В аффинном пространстве ортонормированный поворот не определен. Сравнение объектов в аффинном пространстве происходит линейным преобразованием типа смещение.

Подобные объекты определяются линейным преобразованием координат пространства -масштабным или общего типа.

2. Определены метрические понятия «расстояние», «длина», «скалярное произведение векторов», свертка тензоров.

Существенным отличием является отсутствие понятия расстояния, длины. В связи с этим для тензоров невозможно определить поднятие и опускание индекса. Все индексы либо наверху, либо внизу. Свертку по разным индексам формально можно определить, но без привязки к метрике.

Но сравнивать параллельные векторы возможно, и даже на их множестве (параллельных векторов) можно определить метрику и соответствующее тензорное исчисление.

3. Имеется понятие «угол».

Не определяется понятие «угол». Единственный измеримый угол – нулевой. В связи с этим возможно определение только понятия параллельности векторов и определение класса «параллельных векторов», а также «пространства эквивалентных векторов». Свойство параллельности векторов в аффинном пространстве не зависит от конкретного пути перемещения (путем смещения) сравниваемых векторов, но может зависеть в локально аффинном пространстве.

4. Можно сравнивать длины произвольных векторов.

Сравнить длины не параллельных векторов невозможно, потому что не определено понятие изометрического поворота.

2         Метрика и аффинное пространство

2.1    Определение

Метрика пространства определяется числовым отношением l(x,y)≥0 между произвольными элементами пространства x и y, удовлетворяющее следующим аксиомам:

(7.3)

 
l(x,y) =  l(y,x) ≥ 0,

l(x,y) = 0 ® x = y,

l(x,y,z) = l(x,y) + l(y,z),

l(x,y) + l(y,z) ≥ l(x,z).

где l(x,y,z) – общая длина отрезков линии, проходящих через три точки x,y,z,

l(x,y) - длина отрезка этой же линии между точками x и y,

l(y,z) - длина отрезка этой же линии между точками y и z.

У этих аксиом имеется еще одно неявное предположение – одинаковые расстояния эквивалентны или расстояния сравнимы. Или если понятнее – метрика определена через один и тот же эталон. Сравнимость определяется через существование изометрического преобразования.

Для прямой аксиома треугольника становится эквивалентной третьей аксиоме.

Метрика позволяет определять базу окрестностей топологического пространства через ее диаметр.

Евклидово пространство полностью удовлетворяет этим аксиомам. При нарушении некоторых из этих условий получаются более слабые метрики. Например, в пространстве Минковского нарушаются первая и третья аксиомы. Но это не делает ее менее полезным при учете этой особенности. В аффинном пространстве изначально метрика не определяется.

Через метрику можно определить длину любой линии. Но для этого необходимо, чтобы общая длина линии на любом участке для любой линии была интегрируема (следствие аксиомы № 2). Это возможно, если метрика на прямых будет интегрируемой, а это так в соответствии с третьей аксиомой метрики.

При определении метрики можно определить прямую линию между двумя точками как линию наименьшей длины между ними. Такая линия называется геодезической. Сказать, что эта линия прямая, нельзя. Мы не связывали эту метрику с аффинной связностью.

2.2    Метрика в аффинном пространстве

Метрика в аффинном пространстве явно не определена. Но в ней можно определить наведенную «числом» метрику, причем на каждой прямой, даже более – на классе параллельных векторов и прямых можно определить метрику, удовлетворяющую всем аксиомам метрики. Для этого необходимо

1). Определить эталонный вектор и предположить, что

2). эталонный вектор имеет единичную (скалярную) длину.

3). Все одинаковые векторы имеют одну и ту же длину. Векторы сравниваются движением параллельного смещения. Движение предполагается изометрическим.

4). Длина произвольного вектора определяется количеством прикладываний эталонного вектора на измеряемый. Длина меньшего чем эталонный вектора определяется долями эталонного вектора.

5) Длина обратного вектора равна длине прямого.

*Интересной альтернативой последнему условию является неравенство длин противоположных векторов.

У этой метрики имеются прямые следствия:

Следствие 1. Длина вектора определяется положительными целым, дробным или вещественным числами.

Следствие 2. Т.к. все сравнимые векторы параллельны, длина определена на классе параллельных векторов и отрезков прямых.

На векторах прямой линии можно определить понятие верхнего и нижнего индексов и операцию поднятия и опускания индексов: но на прямой только один индекс. Противоположные векторы могут при этом иметь ту же длину.

Но сравнить не параллельные векторы и отрезки невозможно. Несмотря на то, что расстояние определено между любыми двумя точками. Потому что между ними не существует изометрического преобразования. Даже можно составить треугольник из трех отрезков прямых с определенной «численной» длиной, но аксиома треугольника к ним не применима из-за несравнимости «численных» длин отрезков. На разных прямых будут действовать разные, точнее, не связанные между собой, эталоны длины. Даже на разных направлениях на прямой могут быть разные эталоны. Мы можем определить эталоны на каждой прямой, но не может их сравнивать.

Следствие 3. Аффинное пространство, кроме размерности 1, даже при определенности расстояния между любыми двумя точками, может быть и не метрическим.

Можно ли аффинное пространство сделать метрическим? Конечно, можно.

Например, волевым решением. Для этого необходимо принять, что все эталоны на разных прямых эквивалентны. После этого все векторы одного численного значения будут изометрическими. Концы векторов с общим началом будут определять сферу определенной размерности и радиуса. Поворот вектора можно определить как движение конца вектора по этой сфере.

Недостаток этой метрики – эталоны на разных прямых абсолютно независимы, хотя и на каждой прямой связаны аффинной связностью. Как следствие, возможная «ежистость», не дифференцируемость поверхности сферы.

2.3    Поворот вектора в аффинном пространстве

Под поворотом вектора понимается изометрическое движение связанного вектора, изменяющее ее направление, но не изменяющее ее начало и длину. Это также означает, что после нескольких последовательных поворотов вектор также не изменяет своей длины. при возврате в исходное положение вектор должен совместиться с самим собой. Но как определить поворот в аффинном пространстве, где нет длины?

Эта проблема решаема тривиально на классе параллельных векторов заданием одного эталонного вектора единичной длины. Она также решаема волевым решением задания метрической функции R(a, b) на множестве всех векторов или эталонной единичной сферы при соблюдении некоторых условий (см. выше). В любом случае эта метрика должна удовлетворять аксиомам метрики.

Определенная в пространстве метрика в каждой точке пространства определяет изометрическую поверхность «сфера». Поверхность этой сферы задается функцией, согласованной с метрической функцией:

(7.5)

 

(7.4)

 
 R(ri) = R.

где R = const – радиус сферы. Эта метрическая функция линейна по r:

R(ar) = aR(r).

Более об этой функции ничего нельзя сказать, потому что форма сферы может быть произвольной и напоминать собой ежика. Т.е. поверхность сферы может быть не гладкой, не дифференцируемой или даже не непрерывной. Если попроще, может оказаться так, что концы близких иголок этого ежика могут находиться очень даже не близко.

Т.к. мы занимаемся аффинным пространством, необходимо, чтобы поворот оставлял прямые прямыми. Это очень сильно ограничивает возможные виды метрической функции R. А это возможно только в том случае, когда преобразование координат происходит линейно. Это также значит, что параметр поворота jij не должен зависеть от самого вектора aj.

(7.6)

 

Для произвольной координатной системы n-мерного аффинного пространства имеется всего  n×n = n2 параметров тензора поворота. Предположение, что после нескольких последовательных поворотов вектор не изменяет своей длины и при возврате в исходное положение должен совместиться с самим собой означает, что детерминант матрицы поворота должен быть равен единице:

Для одномерного аффинного пространства может существовать только единственный тензор поворота – это одноэлементный тензор jij  = |1|. Это тождественное преобразование и инверсия.

Интересно рассмотреть бесконечно малые повороты векторов. Они задаются тензором бесконечно малого поворота djij.

(7.7)

 

Само изменение координат daij повернутого вектора в этом случае определяется  формулой

Рассмотрим роль элементов этого тензора. Все элементы тензора djij для 3-мерного пространства можно разделить на три группы по три элемента: симметричную djij: djij = djji, антисимметричную djij: djij = –djji, и диагональную djij: ij®djij = 0.

1) Антисимметричные члены соответствуют координатному вращению, при этом координатный объем объектов при бесконечно малом повороте не изменяется. Такой поворот  соответствует тригонометрическому (т.е. обычному) ортогональному координатному повороту.

2) Симметричные недиагональные члены соответствуют координатному смещению пространства, при этом координатный объем объектов при бесконечно малом повороте также не изменяется. Такой поворот  соответствует гиперболическому координатному повороту.

3) Диагональные члены  соответствуют масштабным деформациям координатных осей. Такой поворот  собственно не является поворотом. При этом может изменяться объем объектов. Неизменности объема при бесконечно малом масштабном преобразовании соответствует равенству нулю суммы всех диагональных членов, и это условие является необходимым условием общего изометрического поворота.

Поворот в каждой плоскости можно представить тензором dTij:

с четырьмя образующими:

Первые три образующие являются изохорными образующими. Первый к тому же является  изометрическим образующим. Четвертый элемент  является не изометрическим и даже  не изохорным образующим. Он соответствует общему масштабному преобразованию.

3-мерный поворот чисто технически можно представить как 3 поворота в трех взаимно независимых плоскостях. 3-мерный поворот имеет следующие образующие:

Из представленных 6 элементов все 6 являются независимыми.

Масштабное преобразование имеет следующие образующие:

Из представленных 6 элементов независимыми являются только 3 элемента. Это следующие три после их выделения из представленных путем сложения половинных верхних и нижних строк элементов:

Для изометрических преобразований имеется условие – детерминант матрицы преобразования должен быть равен единице. Общая матрица поворота следующая:

Ее детерминат при любых значениях a, b, g равен 0.

Обратите внимание: для ортонормированного евклидова пространства количество независимых элементов матрицы поворота равно трем! И они соответствуют антисимметричным образующим матрицы поворота.

Несмотря на то, что изометрический поворот мы рассмотрели, начав с определения эталона длины, сам поворот не нуждается в ее наличии. Эталон можно выбрать произвольно, инвариантом поворота остается отношение длин векторов. При этом диагональные элементы равны нулю.

3         Локально аффинное пространство

Локально аффинное пространство - это аналог риманова пространства по отношению к евклидовому.

Рассмотрим пространство, размеченное достаточно произвольным, но все же непрерывным образом. Исходно оно может быть линейным аффинным пространством, но не обязательно. Даже непрерывная разметка исходно аффинного пространства не гарантирует прямолинейность линий, задаваемых линейными функциями в полученном пространстве. Но локально в бесконечно малой окрестности произвольной точки его можно считать линейным аффинным пространством, потому что прямые в этой бесконечно малой окрестности задаются линейными функциями. Точно так же бесконечно малая окрестность произвольной точки риманова пространства является евклидовой.

Если оно однородно, то для любых двух точек пространства можно найти отображение, переводящее параллельные прямые и векторы бесконечно малой окрестности одной из точек в параллельные прямые и векторы бесконечно малой окрестности другой точки. Такое пространство назовем локально аффинным.

Главная задача для локально аффинного пространства – вопрос о сравнении векторов. Для линейного аффинного пространства ответ на этот вопрос тривиален. В координатном представлении два вектора эквивалентны, если они имеют одинаковые координаты относительно своих начал. Для локально аффинного пространства ответ на этот вопрос совсем не тривиален: одинаковые координаты векторов относительно своих начал не гарантируют их эквивалентность. Эквивалентность векторов в  локально аффинном пространстве определяется через аффинную связность, через которую можно определить эквивалентность векторов. Кроме единственного тривиального случая – когда их начала совпадают.

*Далее мы будем рассматривать только непрерывно размеченные (координатные, возможно, кусочно-сшитые) гладкие пространства с дифференцируемыми в ней функциями, возможно, за исключением некоторых граничных подмножеств меньшей размерности (точки, линии, поверхности, …).

3.1    Аффинная связность

Связность линейного аффинного пространства тесно связана с параллельностью и сравнимостью параллельных векторов между собой в различных точках. Т.е. два вектора связны, если они параллельны и равны. Параллельные векторы линейно аффинного пространства ai и bi определяются отношением

(7.2)

 

(7.1)

 

Для равных векторов коэффициент равен 1, т.е. "i: ai = bi. Связать каким либо скалярным отношением два не параллельных вектора не представляется возможным.

Встает вопрос: можно ли сравнить два произвольных вектора? Как мы выяснили, в одной точке можно сравнить только  параллельные векторы. Для сравнения векторов в разных точках необходимо переместить их в одну и ту же точку. Дополнительный вопрос: как переместить вектор из одной точки в другую точку? Простое координатное смещение не подходит, потому что даже 2 равных вектора исходно аффинного пространства после преобразования координат получают разные координаты.

Для сравнения двух связанных векторов можно определить следующую операцию. Возьмем две бесконечно близкие точки. Переместим произвольный вектор ai между этими точками параллельно самому себе. Это возможно сделать на бесконечно малом участке, при условии, что малому перемещению вектора будет соответствовать и малое изменение параметров перемещенного вектора в новой точке. Это изменение dai должно быть линейно по малому перемещению drj и самому вектору ak:

Объект  называется тензором аффинной связности локально аффинного пространства. Для произвольной связности 3-мерного пространства количество элементов  равно 3×3×3 = 27. Из 27 параметров независимыми являются только (1+2+3)×3 = 18, т.к. по нижним индексам связность симметрична или ее всегда можно симметрировать. Для произвольной связности 4-мерного пространства количество элементов  равно 4×4×4 = 64. Из 64 параметров независимыми являются только (1+2+3+4)×4 = 40.

Для линейного и циклического аффинного пространств все коэффициенты  равны нулю, потому что dai тождественно равно нулю. Но не всякое пространство с тождественными нулю коэффициентами связности являются линейными аффинными пространствами. Например, цилиндр не является линейным аффинным пространством.

Сравнивать удаленные векторы можно, перемещая вектор параллельно себе самому вдоль некоторой траектории. Но при этом может возникнуть определенная трудность. При параллельном перемещении по разным траекториям вектор может занимать разные новые направления в конечной точке.

Трудность может возникнуть и при сравнении вектора с самим собой: при перемещении по замкнутому контуру можно получить параллельный, но не равный исходному вектор. Абсурд. Но к бесконечно близкому перемещению это не относится.

На основании аффинной связности определяется понятие прямой линии. Прямая линия обладает тем свойством, что вектор, параллельный ей в одной из точек этой линии, параллелен ей и в любой другой точке при перемещении вдоль нее.

Процедура параллельного самому себе перемещения вектора может говорить и о том, что не изменяется также и ее длина. Оно определяется существованием наведенной на классе параллельных (эквивалентных) векторов метрикой. Следовательно, аффинная связность как-то связана с метрикой.

3.2    *Метрика и аффинное пространство

Метрику можно связать с аффинной связностью. Эта метрика определяется метрикой на прямых линиях и параллельных векторах. Условием определения такой метрики будет равенство длин равных после переноса вдоль прямой линии связанных с ним и параллельных ей (касательных к ней) векторов. На векторах прямой линии можно определить понятие верхнего и нижнего индексов и операцию поднятия и опускания индексов: но на прямой только один индекс. Противоположные векторы могут при этом иметь ту же (или другую тоже?) длину. Но: даже при одинаковых численных значениях длин двух векторов на разных прямых сказать, что они равны, нельзя. Определенным нами движением невозможно их сравнить. На разных прямых будут действовать разные, точнее, не связанные между собой, эталоны длины. Даже на разных направлениях на прямой могут быть разные эталоны. Мы можем определить эталоны на каждой прямой, но не может их сравнивать.

Расширить метрику до класса параллельных векторов можно, если в пространстве возможно определение класса параллельных векторов, получаемых произвольным параллельным движением определяющего вектора. Необходимым и достаточным условием будет условие неизменности вектора от конкретного пути движения. На каждом таком классе возможно определение единого эталона. А также определение параллельных прямых линий. Здесь тоже возможно «силовое» решение.

Не всякое пространство допускает такое. Не на каждом пространстве возможно определение класса параллельных векторов, кроме тождественного. Линейное аффинное пространство является одним из таких пространств. Такими являются также циклические аффинные пространства. В локально аффинном пространстве общего типа необходимое и достаточное условие может не выполняться.

Но этими способами невозможно сравнить длину двух не параллельных векторов даже в одной и той же точке. Для такого сравнения необходимо разрешить поворачивать вектор до положения параллельности с другим вектором в точке нахождения или определить другой механизм поворота. Например, «силовой» или «волевой» механизм. Для этого необходимо принять, что все эталоны на разных прямых эквивалентны. После этого все векторы одной длины будут изометрическими. Концы векторов с общим началом будут определять сферу определенной размерности и радиуса. Поворот вектора можно определить как движение конца вектора по этой сфере.

Недостаток этой метрики – эталоны на разных прямых абсолютно независимы, хотя и на каждой прямой связаны аффинной связностью. Как следствие, возможная «ежистость», не дифференцируемость поверхности сферы. А также удовлетворение не всем метрическим аксиомам.

Если бы у нас была возможность определить единый эталон длины в каждой точке для каждого направления, выходящего из нее, можно было бы определить метрику на любых кусочно-прямолинейных линиях как наведенную на ее прямолинейных кусках метрику от прямой линии, содержащей ее. А также можно было бы определить метрику и на произвольной линии как наведенную на ее бесконечно малых участках от прямой линии, касающейся ее на этом участке, при условии их дифференцируемости. Ее можно назвать касательной мерой линии.

3.3    *Поворот вектора в аффинном пространстве

Под поворотом вектора понимается изометрическое движение связанного вектора, изменяющее ее направление, но не изменяющее ее начало и длину. Но как определить поворот в аффинном пространстве, где нет длины?

Но эта проблема решаема на классе параллельных векторов. Она также решаема волевым решением задания метрической функции R(a, b) на множестве всех векторов при соблюдении некоторых условий. В любом случае эта метрика должна удовлетворять аксиомам метрики.

Определенная в пространстве метрика в каждой точке аффинного пространства определяет изометрическую поверхность «сфера». Поверхность этой сферы задается согласованной с метрической функцией функцией

(7.6)

 
R = R(ri).

Более об этой функции ничего нельзя сказать, потому что форма сферы может быть произвольной и напоминать собой ежика. Т.е. поверхность сферы может быть не гладкой, не дифференцируемой или даже не непрерывной. Если попроще, может оказаться так, что концы близких иголок этого ежика могут находиться не близко. Для удобства анализа полученной метрики необходимо принять, что поверхность сферы является дифференцируемым многообразием. Если эта функция гладкая, то метрическая функция при r ® 0 с точностью до первого порядка малости будет линейна по r:

R(ar) = aR(r).

 

(7.4)

 

где djij - бесконечно малый поворот в плоскости (i,j). При этом djij не должен вырождаться в просто деформацию.

Но об изменении конкретного вектора aj при перемещении на бесконечно малый угол djij что-то можно сказать. Это изменение dai должно быть линейно по самому вектору aj и перемещению на бесконечно малый угол djij:

Поворот должен осуществляться так, чтобы прямые оставались прямыми. А это возможно только в том случае, когда преобразование координат происходит линейно. А это значит, что параметр djij не должен зависеть от самого вектора aj. Для произвольной метрической связности 3-мерного пространства имеется всего  3×3 = 9 параметров. Изометрический поворот как условие на элементы djij предполагает уменьшение на три единицы количества независимых элементов матрицы вращения – остается 6 элементов. Из них 3 - собственно вращения и 3 - деформации. Конечно, координатные.

Рассмотрим роль элементов этого тензора. Все элементы тензора djij для 3-мерного пространства можно разделить на три группы по три элемента: симметричную djij: djij = djji, антисимметричную djij: djij = –djji, и диагональную djij: ij®djij = 0.

1) Антисимметричные члены соответствуют координатному вращению, при этом координатный объем объектов при бесконечно малом повороте не изменяется. Такой поворот  соответствует тригонометрическому (т.е. обычному) координатному повороту.

2) Симметричные недиаглнальные члены соответствуют координатному смещению объектов, при этом координатный объем объектов при бесконечно малом повороте также не изменяется. Такой поворот  соответствует гиперболическому координатному повороту.

3) Диагональные члены  соответствуют масштабным деформациям координатных осей. Такой поворот  собственно не является поворотом. При этом может изменяться объем объектов. Неизменности объема при бесконечно малом масштабном преобразовании соответствует равенству нулю суммы всех диагональных членов, и это условие является необходимым условием общего изометрического поворота.

 3-мерный поворот чисто технически можно представить как 3 поворота в трех взаимно независимых плоскостях. Поворот в каждой плоскости можно представить тензором dTij:

с четырмя образующими:

Первые три образующие являются изохорными образующими. Первый к тому же является  изометрическим образующим. Четвертый элемент  является не изометрическим и даже  не изохорным образующим. Он соответствует общему масштабному преобразованию.

Но случай локально линейного аффинного пространства интересен тем, что в ней в некоторых случаях можно определить не тривиальный поворот вектора перемещением вдоль замкнутой линии с возвращением в исходную точку с изменением направления вектора.

                                                                                                            

 

Ссылка на этот материал: affinnoye_prostranstvo.htm)


- - - К О М М Е Н Т А Р И И - - -


Сначала расположены старые комментарии:

07.04.2019 г. 17 ч. 49 мин. от PATRIOT-NRG: Ошибка в логине,пароле или результате!
1

- - - В А Ш К О М М Е Н Т А Р И Й : - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "пять" x "девятнадцать" =

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 17 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25