Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: aksiomy_mnozhestva.htm)
Аксиомы теории множеств

1      Аксиоматическая теория множеств

2      Аксиоматическая теория множеств ZFC

Источник: Википедиа

Современная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.

Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая  математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Godel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

Непротиворечивость аксиоматики ZFC не установлена.

Первая (наряду с теорией типов Б. Рассела) система аксиом для теории множеств, предложенная Е. Цермело в 1908 г., совпадает, по существу, с ZF1-ZF3, ZF5. Аксиомы экстенсиональности ZF1 и объединения ZF2 предложены ранее Г. Фреге (1883 г.) и Г. Кантором (1899 г.) соответственно. Идея аксиомы бесконечности ZF5 восходит к Р. Дедекинду.

По-видимому, первоначальный вариант теории множеств, умышленно названный Немецким математиком Георгом Кантором (Georg Cantor) учением о множествах, состоял из двух аксиом, а именно:

1) аксиомы объёмности ~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 = a_2), которая позволяет сформулировать критерий равенства множеств,

2) "аксиомы математической свободы" ~ \forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow \Phi[a,c]), которая позволяет создавать множества с помощью "суждения свободы" F[a, c].

"Аксиома математической свободы" имеет рациональные следствия, включая следующие:

~ \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c \ne c),

~ \forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c = a),

~ \forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c = a \ \lor \ c = x),

~ \forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c \in a \land \Phi[c]),

~ \forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c \subseteq a),

~ \forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow \exist d \ (d \in a \land c \in d)).

В 1903 году Английский философ Бертран Рассел (Bertrand Russel) обратил внимание на следующее:

1) руководствуясь "аксиомой математической свободы", невозможно отличить "свободу" от "вседозволенности",

2) выбрав в качестве F[a, c] тривиальнейшее математическое суждение c = c, мы получаем высказывание о существовании "множества всех множеств" ~ \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c = c), от которого "один шаг" до парадокса Рассела.

Критические высказывания названного Английского философа о "немецком учении [о множествах]" побудили Немецкого математика Эрнста Цермело (Ernst Zermelo) заменить "аксиому математической свободы" такими её следствиями, которые не вызывали протеста ни у математиков, ни у философов.

В 1908 году в журнале Mathematishe Annalen Эрнст Цермело опубликовал следующие семь аксиом:

1) Axiom der Bestimmtheit, то есть аксиому объёмности,

2) Axiom der Elementarmengen, то есть аксиому о существовании "элементарных множеств" Æ, {a} и {a1, a2}, которую можно записать в следующем виде:

~ \exist a \forall b \ (b \notin a) \ \land \ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = c) \ \land \ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \in c \ \leftrightarrow \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2),

3) Axiom der Aussonderung, то есть схему выделения,

4) Axiom der Potenzmenge, то есть аксиому множества подмножеств,

5) Axiom der Vereinigung, то есть аксиому объединения,

6) Axiom der Auswahl, то есть аксиому выбора,

7) Axiom der Unendlichkeit, то есть аксиому бесконечности в формулировке, отличной от современной формулировки.

Аксиому фундирования, по существу, предложил Дж. фон Нейман в 1925 г. Эта аксиома не зависит от остальных аксиом ZFC.

Предпоследняя аксиома теории ZC (аксиома выбора) стала предметом оживлённых математических дискуссий. Действительно, эта аксиома не является следствием "аксиомы математической свободы". Аксиома выбора неявно использовалась, по-видимому, давно, но замечена она Дж. Пеано в 1890 г. и Б. Леви в 1902 г. Эта аксиома введена Е. Цермело в 1904 г. и была наиболее оспаривае­мой в течение многих лет. Аксиома выбора лежит в основе многих важных фрагментов современной математики. Неудивительно, что в настоящее время она принята большинством ученых.

Последняя аксиома теории ZC (аксиома бесконечности) сблизила сторонников Георга Кантора со сторонниками Леопольда Кронекера, которые рассматривали множество натуральных чисел ~ \mathbb{N} как священный грааль математики.

Так "учение о множествах" превратилось в теорию множеств, а именно в теорию ZC [Zermelo set theory with the Axiom of Choice].

В 1922 году Немецкий математик Адольф Френкель (Adolf Fraenkel) и Норвежский математик Торальф Сколем (Thoralf Skolem) дополнили теорию ZC схемой преобразования. В результате теория ZC превратилась в теорию ZFC [Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice].

В 1925 году Венгерский математик Джон фон Нейман (John von Neumann) дополнил теорию ZFC аксиомой регулярности. Одно из следствий этой аксиомы (~ \forall a \ (a \notin a)) "похоронило" и "множество всех множеств", и "парадокс Рассела".

Теория множеств Цермело оформилась в начале 20-х годов XX века. В тот период завершилась формализация языка теории множеств, позволившая уточнить расплывчатое описание свойств, допускаемых в аксиоме выделения. В то же время аксиомы Церме­ло не дают в качестве следствия утверждение Кантора о том, что взаимнооднозначный образ множества есть множество. Указанный пробел устранили А. Френкель в 1922 г. и Т. Сколем в 1923 г., пред­ложив варианты аксиомы подстановки. Этот момент можно считать рождением теории ZFC.

Система аксиом ZFC является бесконечной. Невозможность конечной аксиоматизируемости ZFC установил Р. Монтэгю в 1960 г.

Литература

Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.

Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.

См. также

Zermelo-Fraenkel set theory

Аксиоматика теории множеств на сайте PlanetMath.(англ.)

3      Аксиомы ZFC

Аксиомами ZFC называется следующая совокупность высказываний теории множеств. Аксиомы ZFC включают в себя:

3.1  Критерий равенства множеств в ZFC

3.1.1        Аксиома экстенсиональности (объемности)

Следующее высказывание выражает необходимое условие идентичности двух множеств.

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 = a_2).

Примечание. «Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом:

1) Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда первое множество идентично второму [множеству].

2) два множества равны в том (и только в том) случае, если они состоят из одних и тех же элементов:

Достаточное условие идентичности двух множеств имеет вид ~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2)) и выводится из аксиом предиката =, а именно:

~ \forall a \ (a = a),

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to (\varphi[a_1] \to \varphi[a_2])), где ~ \varphi[a_1]— любое математически корректное суждение об a1, а φ(a2) — то же самое суждение, но об a2.

Соединение указанного достаточного условия [идентичности множеств] с аксиомой объёмности даёт следующий критерий равенства множеств:

~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \leftrightarrow \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \ )

3.2  Аксиомы ZFC о существовании множеств

«Аксиома объёмности» была бы бесполезным высказыванием, если бы не существовало ни одного множества или существовало только одно множество.

Следующие два высказывания гарантируют существование по меньшей мере двух разных множеств, а именно: а) множества, в котором нет ничего, и б) множества, содержащего бесконечное количество элементов.

3.2.1        Аксиома пустого множества

\exists a \forall b \ (b \notin a)

Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию ~ \exist ! a \forall b \ (b \notin a). Поэтому единственному множеству a можно присвоить имя. Употребительны два имени: Æ и {}. Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:

~ \forall b \ (b \notin \varnothing)и ~ \forall b \ (b \notin \{\})

Примечание. «Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента».

3.2.2        Аксиома бесконечности

~ \exist a \ (\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \cup \{b\} \in a) \ ), где ~ b \cup \{b\} = \{c: c \in b \ \lor \ c = b\}

Примечание. «Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из ~ \varnothing, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\}, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\} \cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\}, \ ...

Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «множества всех множеств» (~ \exist a \forall b \ (b \in a)).

3.3  Аксиомы ZFC об образовании множеств

Следующие пять высказываний можно назвать аксиомами образования множеств [из имеющихся множеств, включая Æ и по меньшей мере одну ∞].

Каждое из этих пяти высказываний создано по мотивам высказывания ~ \forall a \exist b \ (b = \varphi[a]), которое выводится из аксиом предиката ~ =.

Эти пять высказываний можно объединить в следующие подгруппы:

2.0) группу постулатов об образовании множеств путём перечисления их элементов,

2.1) группу деклараций об учреждении и об упразднении семейств множеств,

2.2) группу схем образования множеств с помощью математически корректных суждений.

2.0. Постулаты об образовании множеств путём перечисления их элементов

Простейший способ образовать новое множества [из уже имеющихся множеств] состоит в том, чтобы "ткнуть пальцем" в каждое множество, которое должно стать элементом [образуемого множества]. В ZFC указанный способ образования множеств представлен одной аксиомой, в которой "тыканье пальцем" моделируется с помощью предиката "=".

3.3.1        Аксиома пары

\forall a_1 \forall a_2 \exists c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2), что есть ~ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (c = \{b: b = a_1  \ \lor \ b = a_2\})

Примечание. «Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество ~ c, каждый элемент ~ bкоторого идентичен данному множеству a1 или данному множеству a2».

Примеры

~ 1. \ a_1 = 0 \ \land \ a_2 = 1 \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = 0 \ \lor \ b = 1)

~ 2. \ a_1 = \varnothing \ \land \ a_2 = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = \varnothing \ \lor \ b = \{\varnothing\} \ )

Доказывается, что «аксиома пары» равносильна высказыванию ~ \forall a_1 \forall a_2 \exist ! c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2). Поэтому единственному множеству ~ cможно присвоить имя {a1, a2}. Используя указанное имя, «аксиому пары» записывают так:

~ \forall a_1 \forall a_2 \forall b \ (b \in \{a_1, a_2\} \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2) или ~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\{a_1, a_2\} = \{b: b = a_1 \ \lor \ b = a_2\})

2.1. Декларации об учреждении и об упразднении семейств множеств

Следующие две аксиомы, именуемые "аксиомой множества подмножеств" и "аксиомой объединения", можно рассматривать как естественное дополнение к "аксиоме пары". Чтобы убедиться в этом, заметим следующее.

Известно, что каждое множество z имеет подмножества, включая [копию пустого множества] Æ и [копию самого множества] z. Иначе говоря,

~ \forall z \exist x \exist y \ (x \subseteq z \ \land \ y \subseteq z) \quad \land \quad \forall z \ (\varnothing \subseteq z \ \land \ z \subseteq z).

Руководствуясь "аксиомой пары", из названных подмножеств можно образовать неупорядоченную пару {Æ, z}. Назовём эту пару семейством Fam2(z).

Если можно образовать семейство Fam2(z) из двух подмножеств множества z, тогда можно объявить об образовании семейства Fama(z)из всех подмножеств множества z.

Чтобы объявить об образовании семейства Fama(z)достаточно потребовать, чтобы каждый элемент b названного семейства был подмножеством множества z, а каждое подмножество b названного множества было элементом семейства Fama(z). Иначе говоря,

~ \forall b \ (b \in Fam_a(z) \to b \subseteq z) \ \land \ \forall b \ (b \subseteq z \to b \in Fam_a(z) \ ),

что равносильно предложению

~ \forall b \ (b \in Fam_a(z) \leftrightarrow b \subseteq z),

которое подразумевает предложение

~ \exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq z),

которое является частным случаем высказывания

~ \forall a \exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a).

Если можно объявить об учреждении семейства Fama(z), тогда можно объявить об упразднении названного семейства.

Мыслимы различные способы упразднения семейства Fama(z), включая:

1) его полное упразднение (уничтожение), то есть ~ Del(Fam_a(z)) = \varnothing, что равносильно

~ \forall c \ (c \in Del(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in \varnothing),

2) его фиктивное упразднение (резервирование), то есть ~ Fic(Fam_a(z)) = Fam_a(z), что равносильно

~ \forall c \ (c \in Fic(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in Fam_a(z)),

3) его реверсивное упразднение (расформирование), то есть ~ Rev(Fam_a(z)) = z, что равносильно

~ \forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in z).

Поскольку

~ c \in z \Leftrightarrow \{c\} \in Fam_a(z) \Leftrightarrow \exists b \ (b = \{c\} \  \land \ b \in Fam_a(z)) \Leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z)),

постольку предложение

~ \forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in z)

равносильно предложению

~ \forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow \exists b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z)) \ ),

которое подразумевает предложение

~ \exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z)) \ ),

которое является частным случаем высказывания

~ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in a)\ ).

Из изложенного следует, что высказывания ~ \forall a \exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) и ~ \forall a \exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exists b \ (c \in b \ \land \ b \in a) \ ) можно считать независимыми условно.

3.3.2        Аксиома множества подмножеств (степени, Аксиома булеана)

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)), что есть ~ \forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\}), где ~ b \subseteq a \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a)

Примечание. «Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом:

1) Из любого множества можно образовать „суперкучу“, то есть такое множество d, каждый элемент c которого является [собственным либо несобственным] подмножеством b данного множества a.

2) Все подмножества данного множества составляют некоторое множе­ство.

Примеры

~ 1. \ a = \varnothing \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing\}), так как ~ \forall a \ (\varnothing \subseteq a \land a \subseteq a)

~ 2. \ a = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{\varnothing\}\}) \Leftrightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b = \varnothing \ \lor \ b = \{\varnothing\})

~ 3. \ a = \{1,2,3\} \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\})

~ 4. \ a = \{a_1, a_2\} \Rightarrow \exist d \forall b (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{a_1\}, \{a_2\}, \{a_1, a_2\}\})

Доказывается, что «аксиома множества подмножеств» равносильна высказыванию ~ \forall a \exist!d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a). Поэтому единственному множеству d можно присвоить имя ~ \mathcal{P}(a), которое произносится: "множество всех подмножеств [множества] a" или "булеан [множества] a". Используя указанное имя, «аксиому множества подмножеств» записывают так:

~ \forall a \forall b \ (b \in \mathcal{P}(a) \leftrightarrow b \subseteq a) или ~ \forall a \ (\mathcal{P}(a) = \{b: b \subseteq a\})

3.3.3        Аксиома объединения

~ \forall a \exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exists b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ ), что есть ~ \forall a \exist d \ (d = \{c: \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b\})

Примечание. Аксиому объединения [множеств] можно сформулировать следующим образом:

1) Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество d, каждый элемент ~ cкоторого принадлежит по меньшей мере одному множеству b данного семейства a.

2) Объединение множества множеств также множество.

Примеры

~ 1. \ a = \mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \varnothing)

~ 2. \ a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \mathcal{P}(\varnothing) \ ) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{\varnothing\})

\begin{align} 3. \ 
a = \{b_1, b_2, b_3\} = \{ \{0,1\}, \{1,2\}, \{3\} \} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,1\} \lor c \in \{1,2\} \lor c \in \{3\}) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,1,2,3\}) 
\end{align}

~ 4. \ a = \{b, \{b\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in b \cup \{b\}) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in b \ \lor \ c = b)

~ 5. \ a = (a_1, a_2) = \{\{a_1\}, \{a_1, a_2\}\} = \{\{a_1, a_1\}, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{a_1, a_2\})

~ 6. \ a = \langle a_1, a_2 \rangle = \{a_1, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in a_1 \cup \{a_1, a_2\})

~ 7. \ a = \mathcal{P}(\{a_1, a_2\}) = \{\varnothing, \{a_1\}, \{a_2\}, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{a_1, a_2\})

Доказывается, что аксиома объединения равносильна высказыванию ~ \forall a \exist ! d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ ). Поэтому единственному множеству d можно присвоить имя Èa, которое произносится: «объединение множеств семейства a». Используя указанное имя, аксиому объединения записывают так:

~ \forall a \forall c \ (c \in \cup a \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )или ~ \forall a \ (\cup a = \{c: \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\} \ ).

Объединение множеств семейства ~ a(~ \cup a) не следует путать с пересечением множеств семейства a(Ça), о котором известно:

~ \forall a \forall c \ (c \in \cap a \leftrightarrow \forall b \ (b \in a \to c \in b), то есть ~ \forall a \ (\cap a = \{c: \ \forall b \ (b \in a \to c \in b)\})

3.4  Схемы образования множеств с помощью математически корректных суждений

Среди математических высказываний встречаются аксиомы связи, включая:

а) аксиому связи между алгебраической операцией + (сложить) и алгебраической операцией · (умножить)

~ \forall x \forall y \forall z \ (x \in \mathbb{R} \land \ y \in \mathbb{R} \land z \in \mathbb{R} \to (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z),

б) аксиому связи между отношением порядка ≤ (меньше или равно) и алгебраической операцией + (сложить)

~ \forall x \forall y \forall z \ (x \in \mathbb{R} \land y \in \mathbb{R} \land z \in \mathbb{R} \to (x \le y \to x + z \le y + z))

Следующие два высказывания, именуемые "схемой выделения" и "схемой преобразования", являются аксиомами связи между множествами (например, множеством {0, 1}) и математически корректными суждениями (например, суждением x ≤ 0).

"Схема выделения" и "схема преобразования" выражают следующую простую мысль: "Каждое математически корректное суждение об элементах любого множества приводит к образованию [того же самого или другого] множества."

Математически корректные суждения, фигурирующие в "схеме выделения", позволяют "довести [до товарного вида]" множества, которые образованы, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны штихелям, надфелям, часовым отвёрткам и иным доводочным инструментам.

Математически корректные суждения, фигурирующие в "схеме преобразования", позволяют создавать "[математические] изделия" из ["неотёсанных"] множеств, образованных, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны прецизионным станкам.

3.4.1        Схема выделения (аксиома подстановки)

~ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b]\ ), что есть ~ \forall a \exist c \ (c = \{b: b \in a \ \land \ \Phi[b]\} \ ), где ~ \Phi[b] — любое математически корректное суждение о b, но не о множестве a и не о множестве c.

Примечание. Схему выделения [подмножеств] можно сформулировать следующим образом:

1) Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество c, высказав суждение F о каждом элементе b данного множества a.

2) Произвольный взаимно-однозначный образ множества снова мно­жество.

Примеры

~ 1. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x = x) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b = b)

~ 2. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \ne x) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \ne b)

~ 3. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \in y) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \in y)

~ 4. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \notin y) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \notin y)

~ 5. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x < 2) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \ \land \ b < 2) \Leftrightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,1\})

\begin{align} 6. \ 
(\Phi[x] \leftrightarrow \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land x = 2k)) \land a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \land \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land b = 2k)) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,2,4,6,...\}) 
\end{align}

\begin{align} 7. \ 
(\Phi[x] \ \leftrightarrow \ \exist u \exist v \ (u \in U \ \land \ v \in V \ \land \ x = (u,v) \ ) \ ) \quad \land \quad a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(U \cup V)) 
\\ \ 
\Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(U \cup V)) \ \land \ \exist u \exist v \ (u \in U \land v \in V \land b = (u,v))) 
\end{align}

Доказывается. что схема выделения равносильна высказыванию ~ \forall a \exist!c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b]\ ). Поэтому единственному подмножеству c можно присвоить имя ~ \{x: x \in a \land \Phi[x]\}. Используя указанное имя, схему выделения записывают так:

~ \forall a \forall b \ (b \in \{x: x \in a \land \Phi[x]\} \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b] \ )

или

~ \forall a (\{x: x \in a \ \land \ \Phi[x]\} = \{b: b \in a \ \land \ \Phi[b]\}

Здесь Ф — формула ZFC, не содержащая свободных вхождений a. Отметим, что ZF4 является схемой для бесконечного набора аксиом, так как для каждой подходящей Ф Î (ZFC) формулируется своя аксиома. Тем не менее для краткости и единообразия говорят просто об аксиоме подстановки, имея в виду отмеченную ее особенность.

Схема выделения равносильна счётному множеству аксиом.

3.4.2        Схема преобразования

~ \forall x \exist ! y \ (\phi[x,y]) \ \to \ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c] \ ) \ ), что есть

~ \forall x \exist ! y \ (\phi[x,y]) \ \to \ \forall a \exist d \ (d = \{c: \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c])\} \ )

Примечание. Схему преобразования [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать во множество d, высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение F обо всех элементах b данного множества a».

Примеры.

~ 1. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = x) \Rightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c = b)) \Leftrightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in a)

\begin{align} 2. \ 
(\phi[x,y] \leftrightarrow y = x^2) \ \land \ a = \{1,2,3\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \{1,2,3\} \ \land \ c = b^2)) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,4,9\}) 
\end{align}

~ 3. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = f(x)) \Rightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c = f(b) \ ) \ )

\begin{align} 4. \  
(\phi[x,y] \leftrightarrow (x = \varnothing \to y = a_1) \land (x \ne \varnothing \to y = a_2) \ ) \quad \land \quad a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} 
\\ \ 
\Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \land (b = \varnothing \to c = a_1) \land (b \ne \varnothing \to c = a_2)\ )) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c = a_1 \ \lor \ c = a_2)
\end{align}

\begin{align} 5. \ 
(\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b)) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,2,4,6,...\}) 
\end{align}

\begin{align} 6. \ 
(\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x + 1) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b + 1)) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,3,5,7,...\}) 
\end{align}

\begin{align} 7. \ 
(\phi[x,y] \leftrightarrow (x \in \mathbb{N} \ \land \ x < 2 \to y = x) \ \land \ (x \in \mathbb{N} \ \land \ \neg (x < 2) \to y = 1)) \quad \land \quad a = \mathbb{N} 
\\ \ 
\Rightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow \exist b (b \in \mathbb{N} \ \land \ (b \in \mathbb{N} \land b < 2 \to c = b) \ \land \ (b \in \mathbb{N} \land \neg (b < 2) \to c = 1))) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \mathbb{N} \ \land \ c < 2) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,1\})
\end{align}

Доказывается, что в схеме преобразования множество d единственно. Поэтому указанному множеству можно присвоить имя ~ \{y: \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x,y])\}. Используя указанное имя, схему преобразования записывают так:

~ \forall x \exist!y (\phi[x,y]) \to \forall a \forall c \ (c \in \{y: \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x,y])\} \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c]) \ )

или

~ \forall x \exist!y (\phi[x,y]) \to \forall a (\{y: \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x,y])\} = \{c: \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c])\} \ )

Схема преобразования равносильна счётному множеству аксиом.

3.5  Аксиомы ZFC об упорядоченности множеств

Следующие два высказывания определяют упорядоченность множеств, которые образованы из Æ и каждой ∞ с помощью аксиом образования множеств. Образно говоря, высказывания об упорядоченности множеств образуют "сортировочный цех" теории ZFC, тогда как высказывания об образовании множеств образуют "производственный цех" этой теории.

3.5.1        Аксиома регулярности (фундирования)

\forall a \ (a \ne \varnothing \to \exist b \ (b \in a \ \land \ \forall c \ (c \in b \to c \notin a) \ ) \ )

Примечание. «Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом:

1) В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество b, каждый элемент c которого не принадлежит данному семейству a.

2) Всякое непустое множество имеет непересекающийся со всем множе­ством элемент.

Применив эту аксиому к одноэлементному множеству x := {y}, получим y Ï y. Несколько забегая вперед, отметим, что по ана­логичной причине (на этот раз нужно взять x := {x1, ..., }) не существуют бесконечно убывающие Î-последовательности …Î xn Îx2 Î x1.

Примеры.

\begin{align}  
1. \ a = \{x\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x\} \land \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x\}) \ ) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist b \ (b \in \{x\} \land \forall c \ (c \in \{x\} \to c \notin b)) 
\Rightarrow \forall x (x \notin x) 
\\ \  
\Leftrightarrow \forall a (a \notin a)  
\Leftrightarrow \forall a \forall b \ (a \in b \ \lor \ b \in a \to a \ne b) 
\end{align}

Сравните с высказываниями ~ \forall a \ (a = a)и ~ \forall a \ (a \not < a), а также ~ \forall a \forall b \ (a < b \ \lor \ b < a \to a \ne b).

\begin{align} 
2. \ a = \{x,y\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x,y\} \ \land \ \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x,y\})) 
\\ \ 
\Rightarrow \forall x \forall y \ (x \in y \to y \notin x) 
\\ \  
\Leftrightarrow \forall a \forall b \ (a \in b \to b \notin a) 
\end{align}

Сравните с высказываниями ~ \forall a \forall b \ (a = b \to b = a)и ~ \forall a \forall b \ (a < b \to b \not < a).

\begin{align} 
3. \ a = \{x,y,z\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x,y,z\} \land \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x,y,z\})) 
\\ \ 
\Rightarrow \forall a \forall b \forall c \ (a \in b \land b \in c \to c \notin a) 
\end{align}

Сравните с высказываниями ~ \forall a \forall b \forall c \ (a = b \land b = c \to c = a) и ~ \forall a \forall b \forall c \ (a < b \land b < c \to c \not < a).

3.5.2        Аксиома выбора

Аксиома выбора систему аксиом ZF превращает в систему аксиом ZFC.

\begin{align} \forall a \ (a \ne \varnothing \land \forall b \ (b \in a \to b \ne \varnothing) \land \forall b_1 \forall b_2 \ (b_1 \ne b_2 \land \{b_1, b_2\} \subseteq a \to b_1 \cap b_2 = \varnothing) 
\\ \ 
\to \exist d \forall b \ (b \in a \to \exist c \ (b \cap d = \{c\}) \ ) \ ) 
\end{align}

 «Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом:

1) Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать "делегацию", то есть такое множество d, в котором есть по одному элементу c от каждого множества b данного семейства a.

2) Произведение непустого множества непустых множеств не пусто.

Известно большое количество утверждений, эквивалентных ак­сиоме выбора. Приведем формулировки двух наиболее популярных из них.

Теорема Цермело (принцип полного упорядочения). Всякое множество может быть вполне упорядочено.

Лемма Куратовского Цорна (принцип максимальности). Пусть M (частично) упорядоченное множество, в котором любое линейное упорядоченное множество имеет верхнюю границу. Тогда любой элемент M мажорируется некоторым максимальным элемен­том.

Пример.

Предположим, что семейство образовано из множества неотрицательных чётных чисел и множества неотрицательных нечётных чисел. В таком случае, выполнены все условия "аксиомы выбора", а именно:

~ 1. \quad \{\{0,2,4,...\}, \ \{1,3,5,...\}\} \ne \varnothing,

~ 2. \quad \{0,2,4,...\} \ne \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,...\} \ne \varnothing,

~ 3. \quad \{0,2,4,...\} \ \cap \ \{1,3,5,...\} = \varnothing.

Следовательно, можно образовать по меньшей мере одну "делегацию" в составе одного "делегата" (например, нуля) от множества {0, 2, 4, …} и одного "делегата" (например, единицы) от множества {1, 3, 5, …}. Действительно:

~ \{0,2,4,...\} \ \cap \ \{0,1\} = \{0\}.

~ \{1,3,5,...\} \ \cap \ \{0,1\} = \{1\}.

4      Универсум Фон-Неймана

На основе приведенной аксиоматики складывается точ­ное представление о классе всех множеств как об «универсуме» фон Неймана.

Исходным объектом построения мыслится пустое множество. Элементарный шаг введения новых множеств из уже построенных состоит в формировании объединения множеств подмножеств име­ющихся множеств. Трансфинитное повторение таких шагов исчер­пывает класс всех множеств.

Классы (в «платонистском» стиле) можно мыслить как внеш­ние объекты по отношению к элементам универсума фон Неймана. Класс в этом понимании есть совокупность множеств, удовлетворяю­щих теоретико-множественному свойству, описываемому формулой теории Цермело — Френкеля. Поэтому класс, состоящий из элемен­тов некоторого множества (по аксиоме подстановки) сам является множеством. Формально корректное определение универсума фон Неймана требует предварительного знакомства с понятиями орди­нала и кумулятивной иерархии. Ниже приводим необходимый ми­нимум сведений об этих объектах.

5      Мощность (количество элементов) множества

Мощность – отношение эквивалентности между множествами с точки зрения количество элементов. По этому признаку множества можно объединить в классы эквивалентности по мощности. Классы мощности полно упорядочены между собой.

Если существует биективное отображение между двумя множествами, то их мощности равны. Существуют следующие мощности и примеры для них:

1)      пустое множество – множество без элементов;

2)      конечные множества – множества с конечным числом элементов;

3)      счетные множества – множества, эквивалентные множеству натуральных чисел;

4)      с мощностью континуум – множество вещественных чисел;

5)      кардинальное множество – множество подмножеств континуума. Примером является множество всех функций на множестве вещественных чисел.

6)      и т.д. Мощности больше кардинального имеют достаточно маленькое применение в математике и тем более в прикладных науках.

Мощность множества или кардинальное число множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Одно бесконечное множество может быть больше или меньше другого. Среди бесконечных множеств, счётное множество является самым маленьким.

Определение.

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

Пример.

Множество чётных целых чисел \mathbb{E} имеет такую же мощность, что и множество целых чисел \mathbb{Z}. Определим так: f(x)=\frac{x}{2}. f — биекция, поэтому |\mathbb{E}|=|\mathbb{Z}|.

Свойства

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.

Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью его собственного подмножества, например |{\mathbb N}|=|\mathbb Z|.

Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A мощнее A, или | 2A | > | A | .

С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.

Мощность декартова произведения:

|A\times B|=|A|\cdot |B|

Формула Грассмана:

|A\cup B|=|A| + |B| - |A\cap B|

Связанные определения

Следуя Кантору, мощность множества называется кардинальным числом. Мощность множества A обозначается через |A| (сам Кантор использовал обозначение  \overline{\overline{A}}). Иногда встречаются обозначения #A и card(A).

Мощность множества натуральных чисел {\mathbb N} обозначается символом \aleph_0 («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность \ge \aleph_0, таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются \aleph_1, \aleph_2,\dots.

Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом c. Континуум-гипотеза утверждает, что c=\aleph_1.

Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. То есть для любых множеств A и B возможно только одно из трёх:

|A| = |B| или A и B равномощны;

|A| > |B| или A мощнее B, т. е. A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны;

|A| < |B| или B мощнее A, в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.

Ситуация, в которой A и B не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).

Ситуация, в которой |A| > |B| и |A| < |B|, невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

См. также Ординальное число.

Литература.

А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2

Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава II, § 4.

Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 109-110. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3

 

Ссылка на этот материал: aksiomy_mnozhestva.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 79 + "три" =

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 59 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25