-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: algebra.htm)
Алгебра и алгебраические системы

Алгебра

1     Универсальная алгебра

(Использованы материалы из Википедии — свободной энциклопедии)

Универсальная алгебра

Литература

Кон П. Универсальная алгебра, — М.: Мир, 1969. — 351 с.

Артамонов В. А. и др. Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека), — М.: Наука, Физматлит, 1990—1991. — 592 с + 480 с.

Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — М.: Высшая школа, 1979.

Кострикин А. И. Введение в алгебру. В 3 тт. М.:Физматлит, 2001 и т. д.

Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968

Ван-дер Варден Б. Л.. Алгебра. М.: Наука, 1979

Винберг Э.Б. Курс алгебры.-М.:Факториал 2001, 544с.

Винберг Э.Б. Начала алгебры.-М.:МЦНМО, МК НМУ, УРСС 1998, 192с.

Зарисски О., Самюэль П. Коммутативная алгебра Том 1.-М.:ИЛ 1963, 373с.

Зарисски О., Самюэль П. Коммутативная алгебра Том 2.-М.:ИЛ 1963, 438с.

Курош А.Г. Общая алгебра.-158с. djvu

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре.-М.:Наука 1984, 416с.

Фейс К. Алгебра.Кольца, модули, категории Том 1.-М.:Мир 1977, 688с.

Фейс К. Алгебра.Кольца, модули, категории Том 2.-М.:Мир 1979, 464с.

Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры.-Ижевск, 1999, 348с.

Михалёв А.В., Михалёв A.A. Начала алгебры.-М.:Интернет-Ун-т Информ. Технологий, 2005. - 144 с.

Бурбаки Н. АЛГЕБРА. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра.-М., Физматгиз, 1962, 516с.

Бурбаки Н. Группы и Алгебры Ли. Группы Кокстера и Системы Титса. Группы, порождённые отображениями системы корней.-М., МИР, 1972.

Atiyah M.F., Macdonald I.G. Introduction to Commutative Algebra

П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с

А. И. Мальцев "Алгебраические системы", - М., Наука, 1970 г., 392 стр. с илл.

«Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека)», В. А. Артамонов и др., под редакцией Л. А. Скорнякова, — М.: Наука, Физматлит, 1990—1991, 592 с + 480 с.

Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974.

 

Раньше под алгеброй понималось искусство решения уравнений. Сейчас алгеброй называется раздел математики, изучающий операции над элементами множества произвольной природы и их свойства. Более обобщенное наименование операций – отображения. Отображения над элементами множества могут быть самыми разными как по количеству используемых в отображении элементов, так и по своим свойствам. По количеству используемых в отображении элементов можно выделить однооперандные (функции), двухоперандные (операции) и многооперандные.

Предмет алгебры существенно менялся с течением времени: арифметические действия над натуральными и положительными рациональными числами в глубокой древности (3 век н. э.); алгебраические уравнения первой и второй степени (9 век); появление алгебраической символики (15 - 17 века); к 18-му веку алгебра сложилась в том объеме, который сейчас принято называть "элементарной алгеброй"; в 18-19 веках алгебра - это прежде всего алгебра многочленов; с середины 19-го века центр тяжести алгебраических исследований перемещается на изучение произвольных алгебраических операций. Изучение алгебраических структур (т. е. множеств с определенными на них операциями) было подготовлено развитием числовых систем (построением комплексных чисел и кватернионов), созданием матричного исчисления, возникновением булевой алгебры, внешней алгебры Грассмана, исследованием групп подстановок. Таким образом, к 20-му веку сформировалась точка зрения на современную алгебру как на общую теорию алгебраических операций (под влиянием работ Д. Гильберта, Э. Артина, Э. Нетер и с выходом в 1930 г. монографии Б.Л.Ван Дер Вардена "Современная алгебра").

Общие свойства алгебры.

1. Мощность множества носителя алгебры;

2. Количество определяющих алгебру операции;

3. Количество операндов определяющих операции;

4. Аксиоматика или конструктив алгебры.

Надо отметить, что мощность множества носителя алгебры не является определяющим фактором соответствующей алгебры. Алгебра определяется по отношению ко всем множествам любой мощности. Но как классифицирующий признак можно применять. Вполне возможно, что будут отличия в свойствах, зависящие от мощности носителя алгебры. Мощность множества может быть конечной и бесконечной, счетной, мощности континуум и т.д.

Некоторые свойства, которыми могут обладать операции

1. Количество операндов (одно– и многоместные);

2. Инъективность, сурьективность, биективность*;

3. Симметричность*, транзитивность, идемпотентность;

4. Существование ядра операции - особых элементов типа нуля или единицы.

5. Существование обратных операций и обратных элементов по отношению к ядру и их единственность.

6. Ассоциативность*, альтернативность (а также левая, правая, симметричная), степенная ассоциативность;

7. Коммутативность*.

8. С приставкой "анти" по отношению к некоторым (выше выделены звездочкой) из вышеперечисленных свойств при наличии и определенности обратной операции.

По отношению к алгебрам с двумя операциями

9. Дистрибутивность,

10. Существование 1 и 0 (ядра операции),

11. Отсутствие делителей нуля.

Абстра́ктная а́лгебра или вы́сшая а́лгебра или о́бщая а́лгебра — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также отображения между такими структурами.

В абстрактной алгебре универсальная алгебра (алгебра конкретной сигнатуры) — это множество A, называемое носителем алгебры, снабжённое набором n-арных алгебраических операций на A, называемым сигнатурой алгебры. При этом не предполагается, что n-арные операции на A удовлетворяют каким-то аксиомам — в этом суть «универсальности» алгебры. Если же такие аксиомы имеются, универсальная алгебра называется алгебраической системой. Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой).

Исторически алгебраические структуры возникали вначале в других областях математики. После абстрагирования от ненужных деталей и выделения аксиоматических определений они становились предметом изучения абстрактной алгебры. Именно поэтому абстрактная алгебра находит многочисленные применения в большинстве других областей математики.

Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются полугруппы, моноиды, группы, квазигруппы. Все они возникли как результат обобщения свойств обычных операций умножения и сложения на числах.

Более сложными примерами алгебраических структур являются кольца и поля, модули и векторные пространства, ассоциативные алгебры и алгебры Ли, решётки и булевы алгебры.

Группы и отображения между ними, называемые гомоморфизмами, изучаются в теории групп. Векторные пространства и линейные отображения между ними изучаются в разделе под названием линейная алгебра. Алгебраические уравнения высших порядков от одной переменной, а также, более общо, свойства групп автоморфизмов различных алгебраических систем есть предмет теории Галуа.

Общие для всех этих алгебраических систем свойства собираются и изучаются теорией категорий. Эта теория доставляет формальные средства для сравнения алгебраических структур и изучения соответствий между ними.

См. также

Таблица обозначений абстрактной алгебры.

2     Алгебраическая система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Алгебраическая система или алгебраическая структурамножество G (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Понятие алгебраической системы родственно понятию универсальной алгебры.

Если M - непустое множество, n - натуральное число, то через Mn обозначим множество упорядоченных последовательностей (m1,m2,...,mn), mi Î M, 1 ≤ i n. Под n-арной алгебраической операцией на множестве M понимается отображение

w: Mn M,

число n называется арностью алгебраической операции w. Исторически сначала возникли бинарные операции (n = 2) и унарные операции (n = 1). Нульарные операции - это фиксированные элементы множества M, поскольку под M(0) понимается одноэлементное множество. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R-модулей и т. п.

Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то его называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, в качестве примера иных можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними.

3     Простые алгебраические системы

  • Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

3.1      Алгебра множеств

Типизацию алгебр можно начать с основы основ всей математики – с множеств. Именно на их основе как пространства элементов любой алгебры строятся все алгебраические системы. Первоначально на ней не определены никакие отношения и операции. И первая алгебра – это алгебра множеств и их подмножеств с естественными операциями объединения и пересечения. Ядром алгебры множеств являются пустое множество – множество без элементов, и некоторое "единичное (универсальное) множество", включающее в себя все множества. Чтобы избежать логических противоречий, связанных с понятием "универсального множества", "единичное множество" задается заранее как область определения теории.

3.2      Магма (алгебра)

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/…».

Магма - в абстрактной алгебре - базовый тип алгебраической структуры. Магма состоит из множества М с одной бинарной операцией M × MM. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется. Магма называется аддитивной, если операция в ней есть операция сложения, и мультипликативная, если определена операция умножения.

На аддитивных магмах естественным образом определяется операция умножения на целое число, на мультипликативных – операция возведения в положительную степень. На некоторых множествах также естественно можно определить умножение на рациональное число и даже на вещественное число как некоторый предельный переход. С принятием таких операций магма переходит в разряд алгебраических систем с двумя операциями и более того, сама магма может быть гомоморфно отображена на эти числа..

Как таковые магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы магм, отличающимися дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие.

3.3      Группоид

Термин магма был предложен Бурбаки. Термин группоид старше, но использование его в качестве альтернативы ввёл Остин Ор. Однако группоид также относится и к другой алгебраической структуре, имеющей отношение к теории категорий.

Группоид — множество с одной бинарной операцией · или × : G × GG, обычно называемой умножением.

Свойствами группоидов являются возможность деления, существование нейтрального и обратных элементов, их единственность. По отношению к этим свойствам различают алгебры:

  • Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: a · (b · c) = (a · b) · c.
  • Моноид –  — полугруппа, в котором умножение ассоциативно и имеется нейтральный элемент eM: eM · a = a = a · eM.
  • Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение x · a = b имеет единственное решение для любых a и b.
  • Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.
  • Лупа — квазигруппа с единичным элементом e Î G, таким, что a · e = e · a = a.
  • Группа – это моноид с обратным элементом.

Этим, конечно, не исчерпывается весь список алгебр, потому что при изучении конкретной алгебры появляются новые свойства (например, коммутативность), по которым можно продолжить список алгебр.

3.4      Квазигруппа

Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение x · a = b имеет единственное решение для любых a и b.

Квазигруппа — непустая магма, в которой всегда возможно деление;

Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.

3.5      Полугруппа

3.6      Моноид

Моноид – полугруппа с ассоциативной операцией с единичным (или нулевым) элементом:

"a, b Î Ta × b Î T;

 (a × b) × c = a × (b × c)

1 × a = a = a × 1

3.7      Лупа

Лупа - квазигруппа с нейтральным элементом e Î G, таким, что a · e = e · a = a.

3.8      Группа

Группа – это моноид с обратным элементом или, что то же, ассоциативная лупа (всегда являющаяся квазигруппой). Для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a-1, такой, что

"a $!a–1: a × a–1 = 1 = a–1 × a

Некоторые важные понятия группы:

группа

подгруппа

гомоморфизм

действие группы

прямое произведение групп

нормальная подгруппа

факторгруппа

центр группы

абелева группа

разрешимая группа

нильпотентная группа

линейное отображение

поле

циклическая группа

алгебраическое расширение

группа перестановок

модуль над кольцом

конечная группа

См. также Словарь терминов теории групп.

 

Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, a · b = b · a. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

4     Алгебраические системы с двумя и более операциями

Алгебраическая система

Алгебры с двумя операциями - в абстрактной алгебре – также, как и магма, является базовым типом алгебраической структуры. Алгебры с двумя операциями состоит из множества М с двумя бинарными операциями M + MM и M × MM.  Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.

Обычно первая операция является аддитивной операцией сложения, и по ней множество M является векторным пространством вторая операция – мультипликативной операцией умножения. Возможные свойства каждой из операций те же, что у магм, возможно, с удвоением базового множества M на M+ и M-. Между собой они часто связаны свойством дистрибутивности: a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca.

На аддитивных магмах естественным образом определяется операция умножения на целое число, на мультипликативных – операция возведения в положительную степень. На некоторых множествах также естественно можно определить умножение на рациональное число и даже на вещественное число как некоторый предельный переход. С принятием таких операций магма переходит в разряд алгебраических систем с двумя операциями и более того, сама магма может быть гомоморфно отображена на эти числа.

Наиболее известными и изученными система с двумя операциями являются следующие:

·         Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности:

a(b + c) = ab + ac; (a + b)c = ac + bc.

·         Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.

·         Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом. Характеристика поля.

·         Идеал

·         Модуль

·         Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.

·         Булева алгебра и другие логические алгебры

·         Числа и гиперчисла

·         Векторное пространство — модуль над полем.

·         Тензоры и тензорное произведение

·         Группа и алгебра Ли.

4.1      Кольца

·         Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности:.

a(b + c) = ab + ac; (a + b)c = ac + bc.

·         Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.

  • Почти-кольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)
  • Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
  • Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю (кольцо без делителей нуля).

4.2      Тело

Кольцо A, в котором 1 ≠ 0 и всякий ненулевой элемент обратим, называется кольцом с делением или телом.

  • Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.

4.3      Поле

  • Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

4.4      Идеал

4.5      Модули

4.6      Решётки

5     Числовые алгебры

5.1      Число и гиперчисло

Важным классом множеств являются числа, а именно – простые виды чисел: натуральные, положительные, целые, рациональные, вещественные. Они являются совершенно упорядоченными множествами – см. далее.

Числа являются очень естественным классом множеств, на которых естественно вводятся операции сложения, умножения, возведения в степень и обратные к ним с вполне определенными свойствами. Возведение в степень на кольцах выводит за пределы множества элементов кольца, но для чисел это не так. Комплексные, вещественные и алгебраические числа образуют поле.

Большим и тоже важным классом чисел являются гиперчисла (составные и/или гиперкомплексные). Некоторые из этих чисел обладают свойствами поля и/или тела. Но некоторые не являются даже кольцами. Я бы выделил гиперкомплексные числа из состава составных, определив их алгебраическую структуру как тело.

Множество гиперчисел является векторным пространством по сложению с базисом, состоящим из вещественных и мнимых базовых элементов. Умножение гиперчисел определяется таблицей умножения базовых единиц. Эта таблица обладает тем свойством, что в каждой строке и столбце ее должны присутствовать все базисные элементы этого векторного пространства без повторения.

Интересным множеством чисел являются числа Клиффорда, представляющие ассоциативную алгебру. Множество чисел Клиффорда размерности N представляют собой множество тензоров размерности N ранга меньше или равные N.

Наибольший интерес с точки зрения механики (и физики) имеют гиперчисла с размерностью три, кратные ему и ее целым степеням, а также четыре и кратные ему.

 

5.2      Векторное (аффинное) пространство и векторная алгебра, матрицы и тензоры,  алгебра Клиффорда

Векторным (аффинным) пространством называется пространство, полученное как прямое произведение некоторого множества на вещественное число:

V = M ´ R

В векторном пространстве определены две операции – сложение и умножение на вещественное число. Размерность N векторного пространства определяется мощностью базового пространства M. Аффинное пространство конечномерно.

Важным понятием векторного пространства является понятие линейной зависимости системы векторов. Имеется следующая теорема: любые n > N векторов линейно зависимы.

Естественным расширением векторных пространств до алгебры двух операций являются векторная алгебра в 3- и 4-мерном пространствах, матричное и тензорное исчисления, алгебра Клиффорда. Матрицы представляются обычно как множество линейных преобразований векторов, тензоры – как прямое произведение векторных пространств, но у них есть и свои особенности за счет появления дополнительных специфических функций и  операции.

Наибольший интерес с точки зрения механики (и физики) имеют векторные пространства (матрицы, тензоры) с размерностью три, кратные ему и ее целым степеням, а также четыре и кратные ему.

5.3      Норма

Не на всех множествах определено какое-либо упорядочение элементов. Но возможно упорядочение по норме числа. Введение нормы в пространстве E над полем K означает задание на E функции, сопоставляющей каждому элементу x неотрицательное число ||x||,  таким образом, что:

1.    ||x|| = 0 → x = 0;

2.    "x, y Î E: ||x + y||||x|| + ||y||;

В векторном пространстве эта норма должна обладать свойством:

3.    ||lx|| = |l| · ||x| |.

Норма вводится на векторных пространствах. Говорят, что множество, снабженное нормой, является нормированным векторным пространством, или, короче, нормированным пространством.

Две нормы v и v' называются эквивалентными, если существует два таких положительных числа a и b, что

a · v(x) ≤ v' ≤ b · v(x)

Свойство нормы быть эквивалентными определяет на множестве норм отношение эквивалентности.

Любая норма определяет на множестве E некоторую топологию, и эквивалентные нормы определяют эквивалентные топологии. Вот точная формулировка важного результата, который может быть при этом получен:

Всякая последовательность Коши, которая сходится по норме v, сходится также и по эквивалентной норме v'.

Принимая во внимание, что пространство вещественных чисел R полно, так как в нем сходится всякая последовательность Коши, заключаем, что векторное пространство является полным нормированным векторным пространством, т.е. пространством Банаха.

5.4      Группа и Алгебра Ли

АЛГЕБРА ЛИ - векторное пространство, на котором определена операция, называемая коммутированием. Для элементов алгебры определены линейные операции - сложение и умножение на число. Если допускается умножение на вещественные числа, то алгебра Ли называется вещественной; если допускается умножение на комплексные числа, то алгебра Ли называется комплексной. Операция коммутирования сопоставляет любым двум элементам алгебры X, Y Î A третий элемент [X, Y] Î A. Эта операция билинейна (т. е. линейна по каждому аргументу), антисимметрична [X, Y] = – [Y, X] и удовлетворяет тождеству Якоби [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0.

Понятие "Алгебра Ли" возникло в связи с изучением групп Ли, т. к. элементы группы Ли можно представлять в виде экспонент от элементов алгебры Ли (см. Группа). Если группа Ли реализована как группа матриц, то соответствующая ей алгебра Ли также является матричной. Это значит, что каждый элемент алгебры является матрицей, а операция коммутирования определяется как обычный коммутатор: [X, Y] = XYYX.

6     Математическая логика

В математике имеется особый класс множеств – множество (логических) высказываний, и множество его значений, состоящее из двух элементов – «ИСТИНА» (или 1) и «ЛОЖЬ» (или 0). Алгебры, построенные с использованием этих логических констант, определяют класс алгебр математической логики. Эти алгебры является формальным инструментом познания в математике.

В связи с этим алгебры математической логики можно было бы определить как прикладную математику, основанную на отображении "множества высказываний" на двухэлементное алгебраическое булево множество "логические значения" с определенными в ней операциями с определенной логической интерпретацией.

Любое знание определяется как некое высказывание, имеющее значение «истина» или "ложь". Статус "ИСТИНА " имеют высказывания, не вызывающие каких-либо возражений в их верности (аксиомы, теоремы и следствия из них). Истинные высказывания не обязательно являются абсолютной истиной, но они должны быть истинны в пределах некоторой не противоречивой (аксиоматической) теории. Эти "истины" могут не совпадать с "истинами" другой теории.

Статус "ЛОЖЬ " имеют высказывания, не вызывающие каких-либо возражений в их неверности. Статус всех остальных высказываний не определен.

Методом получения новых знаний (познания) является доказательство. Доказательство есть последовательность логически следующих друг из друга логических высказываний, последнее высказывание которой есть истина. Путь доказательства от начального высказывания до результата в математике определяется правилами вывода.

Не всякое высказывание в конкретной математической  теории можно доказать. Можно определить высказывание, которое в ней не выводится. Тогда приходится принимать данное высказывание либо истинной, либо ложной. От этого выбора будет зависеть судьба этой теории. Например, в геометрии есть постулат о параллельных прямых. В евклидовой геометрии все параллельные прямые либо совпадают, либо не имеют общих точек. А в более общей геометрии (в частности, Лобачевского) параллельные прямые могут пересекаться. Соответственно имеются две геометрии.

Кстати, любое отношение порядка или эквивалентности между подмножествами и элементами множества, а также запись конкретного отображения в форме равенства f(M') ~ M'' или f(a, b) ~ c, где ~ знак некоторого отношения, есть логическое высказывание. Дело соглашения, считать или не считать выражение f(a, b) логическим высказыванием. Но эти высказывания не являются знанием, а только фактами истинности или ложности, которое еще нужно подтверждать. Количество таких высказываний в принципе бесконечно, и перечислить их все  невозможно. Знанием являются обобщающие высказывания типа "если A, то B", где A и B – другие обобщающие высказывания. Элементарными обобщающими высказывания являются высказывания типа "для любого x верно A", "существует x, что верно B". Обобщающие высказывания содержат в себе потенциально бесконечное множество простых логических фактов. Приведем некоторые определения.

Утверждение (высказывательная форма) – основная единица, неделимая с точки зрения информации, семантического смысла знаний.

Высказывание – повествовательное утверждение, про которое можно однозначно сказать, что оно истинно или оно ложно (логические переменные).

Предикат – выражение с логическими переменными, имеющие смысл при любых допустимых значениях этих пременных.

Выражения: х > 5, x > y – предикаты.

                      7>5 – высказывание.

Основные предложения алгебры логики (x – объект, y - логическое высказывание):

Фактические высказывания:

x = y, xy, … - факты логических отношений

f(a, b) = c, f(a, b) ≤ c, … – факты отображений или функциональных отношений

Обобщающие высказывания:

"x:y – все х, для которых y;

$x:y – существует х, для которого y;

$!x:y – существует единственное (и только!) х, для которого y.

Относительно этих высказываний можно сказать, что из 1 и (или) 3 непосредственно следует 2.

y1y2 – из y1 следует y2;

y3y2 – из y3 следует y2.

Логика первого порядка (исчисление предикатов) — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций, и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высшего порядка.

Логика второго порядка — расширяет логику первого порядка, позволяя проводить квантификацию общности и существования не только над атомами, но и над предикатами.

Методы доказательства.

Методом получения новых знаний (познания) является доказательство. Доказательство есть последовательность логически следующих друг из друга логических высказываний, последнее высказывание которой есть истина.

Система логических аксиом логики первого порядка состоит из аксиом исчисления высказываний дополненной двумя новыми аксиомами:

  • "xA ®  A[t / x],
  • A[t / x] ® $xA,

где A[t / x] — формула, полученная в результате подстановки терма t вместо переменной x в формуле A.

Правил вывода 2:

\frac{A, A \to B}{B}

  • Правило обобщения (GEN):

\frac{A}{\forall x A}

Последние два примера высказываний являются методами доказательства. Следующий  метод доказательства – индуктивный. Он применим к счетному множеству, индексированному целыми числами: если высказывание истинно для 1 и из истинности для n следует истинность для n+1, то истинно для всех n:

(x1:yÙxn:yxn+1:y) → "n:xn:y.

6.1      Булева алгебра

Основные операции булевой алгебры.

Основные операции Ú (логическое или) и Ù (логическое и) над высказываниями обладают свойствами кольца (см. далее) над числовым множеством {0,1} с эквивалентностью Ú ~ + и Ù ~ ∙. В дополнение к этим операциям имеются операции одноместная операция логического отрицания (логическое нет) или двуместная операция вычитания / (логическое или не). Таблица истинности операций:

Ú

0

1

 

Ù

0

1

 

/

0

1

0

0

1

 

0

0

0

 

0

1

0

1

1

1

 

1

0

1

 

1

1

1

Обратного по отношению к операции «и» элемента у логического элемента «ложь» не имеется, у элемента «истина» она равна ему же. Следовательно, это множество является еще и телом, а учитывая коммутативность основных операций, является еще и полем.

6.2      Алгебра логики

6.3      Алгебра высказываний и предикатов

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция \neg приобретает смысл вычитания из единицы (НЕ – NO); Ú — немодульного сложения (ИЛИ – OR); Ù, & — умножения (И - AND); \leftrightarrow, ~ — равенства; \oplus — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее ИЛИ — XOR); \mid — непревосходства суммы над 1 (то есть A \mid B  = (A + B) <= 1).

Между алгеброй логики и алгеброй множеств имеется однозначная связь эквивалентности типа x ~ X, где x – элемент множества M, X – высказывание «x принадлежит множеству M».

Смотри также:

 

Ссылка на этот материал: algebra.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 94 сложить с 1 равно:

---Load files---
Сегодня - 14_12_2019
Время переоткрытия сайта 04 ч 58 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:2 V:3 N:10
Уникальных посетителей за текущие сутки: 2 Просмотров: 3 Этой страницы (всего): 10