-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: algebra_li.htm)
Алгебра Ли

1      Алгебра Ли

Физическая энциклопедия  »  Л

- векторное пространство, на котором определена операция, называемая коммутированием. Для элементов алгебры определены линейные операции - сложение и умножение на число. Если допускается умножение на вещественные числа, то Ли алгебра наз. вещественной; если допускается умножение на комплексные числа, то Ли алгебра наз. комплексной. Операция коммутирования сопоставляет любым двум элементам алгебры X, Y Î A третий элемент [X, Y] Î A. Эта операция билинейна (т. е. линейна по каждому аргументу), антисимметрична [Y, X] = - [X, Y] и удовлетворяет тождеству Якоби

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0.

Понятие "Ли алгебра" возникло в связи с изучением групп Ли, т. к. элементы группы Ли можно представлять в виде экспонент от элементов Ли алгебра (см. Группа). Если группа Ли реализована как группа матриц, то соответствующая ей Ли алгебра также является матричной. Это значит, что каждый элемент алгебры является матрицей, а операция коммутирования определяется как обычный коммутатор: [X, Y] = XY YX.

Основные понятия. Если в векторном пространстве А выбран базис Х1 . . ., Xn (т. е. полный набор линейно независимых элементов), то для определения на A структуры Ли алгебра достаточно задать попарные коммутаторы базисных элементов, т. е. коэффициент Ckij в формуле [Xi, Yj] = åkCkijXk. Тогда коммутаторы произвольных элементов пространства А однозначно определяются тем, что каждый такой элемент можно представить в виде линейной комбинации базисных элементов X = åiXiXi и что операция коммутирования является билинейной. Коэффициент Ckij наз. структурными константами данной Ли алгебра Они зависят от выбора базиса, но при любом выборе являются антисимметричными по нижним индексам и удовлетворяют условию

Гомоморфизмом или представлен изображением алгебры Ли A1 в алгебру Ли A2 наз. такое линейное отображение j: A1A2 (т. е. отображение, сохраняющее линейные операции), которое согласовано с операциями коммутирования в обеих алгебрах: j[X, Y] = [j(X), j(Y)]. Ядром гомоморфизма наз. подмножество в алгебре A1, которое под действием j переходит в нулевой элемент алгебры A2. Если отображение φ взаимно однозначно, то оно наз. изоморфизмом или точным представлением. В этом случае ядро отображения равно нулю. Всякая конечномерная Ли алгебра допускает точное представление в алгебру матриц (теорема Адо). Ввиду тесной связи, существующей между Ли алгебра и группами Ли, задача изучения представлений групп Ли в большой мере сводится к изучению представлений Ли алгебра Именно этим объясняется прикладное значение теории Ли алгебра и их представлений (см. Представление группы).

Если ввести в рассмотрение матрицы Сi с матричными элементами, равными структурным константам, (Ci)kj = Ckij, то условие на структурные константы, приведённое выше, можно переписать в виде [Ci, Cj] = åkCkijCk, где скобки обозначают обычный коммутатор двух матриц. Т. о., матрицы Сi осуществляют n-мерное представление базисных элементов Xi, а их линейные комбинации - представление всей Ли алгебра Это т.н. присоединённое представление ADX. Совокупность элементов, коммутирующих со всеми элементами алгебры, наз. центром Ли алгебра

Подмножество B Ì A в Ли алгебра называется подалгеброй Ли, если оно само является Ли алгебра относительно тех же операций. Это значит, что B - линейное подпространство, и операция коммутирования не выводит из B. Последнее можно записать символически: [B, B] Ì B. Если для подпространства B Ì A выполняется более сильное условие [A, B] Ì B, то B наз. идеалом в A. Если B - идеал, то фактор-пространство А/B, элементами которого являются классы X + B (т. е. множества элементов вида X + Y, где Y пробегает всё B), само является Ли алгебра Операции в этой фактор-алгебре определяются естественным образом, т. е. с помощью операций, совершённых над любыми представителями классов, например [X + B, Y + B] = [X, Y] + B.

Любая Ли алгебра содержит тривиальные (несобственные) идеалы. Один из них совпадает со всей Ли алгебра, второй состоит лишь из нулевого элемента. Если Ли алгебра не содержит идеалов, отличных от этих (т. е. не содержит собственных идеалов), то она называется простой. Алгебра наз. полупростой, если она не имеет нетривиальных коммутативных идеалов (т. е. таких, в которых все коммутаторы обращаются в нуль). Всякая полупростая Ли алгебра представляется в виде прямой суммы простых Ли алгебра

Ли алгебра А называется разрешимой, если в ней существует такая цепочка подалгебр A = A0 É A1 ÉÉ Ak = {0}, что Ai + 1-идеал в А; и фактор-алгебра Ai/Ai+1 коммутативна. Если, кроме того, все Ai - идеалы в A и фактор-алгебра Ai/Ai+1 принадлежит центру факторалгебры A/Ai+1, то алгебра A называется нильпотентной.

На Ли алгебра можно ввести внутреннее произведение, определив его равенством (X, У) = Тr(аdХ*adY), где Тr означает след оператора (матрицы). Эта симметричная (относительно перестановки аргументов) билинейная форма наз. формой Киллинга. Если воспользоваться матричной реализацией присоединённого представления, можно выразить форму Киллинга через коэффициент xi, yi разложения элементов X, Y по базису. Получим (X, Y) = åijGijXiYi, где симметричный тензор Gij =åklCkil Cljk называется метрическим тензором Картана алгебры А. Для некоторых алгебр Ли метрический тензор и форма Киллинга могут быть вырождены, т. е. Det||Gij|| = 0 (это имеет место, напр., для коммутативных л. а.). Форма Киллинга не вырождена только для полупростой Ли алгебра (критерий Картана).

Для комплексных простых Ли алгебра всегда можно выбрать базисные элементы Xi- таким образом, чтобы структурные константы Gkij были чисто мнимыми и антисимметричными по всем парам индексов. Такой набор наз. базисом Картана. При этом ранг алгебры Ли и l определяется как макс. число коммутирующих элементов в базисе Картана, l-мерная коммутативная подалгебра, натянутая на это множество элементов, наз. подалгеброй Картана,

Классификация алгебр Ли.

Имеется четыре серии простых комплексных алгебр Ли конечной размерности: Al, Bl, Сl, Dl и кроме этого пять исключительных алгебр G2, F4, Е6, E7, E8 (индексы везде обозначают ранг алгебры). Каждая комплексная Ли алгебра имеет единственную вещественную подалгебру, являющуюся Ли алгебра компактной группы Ли. Перечислим компактные группы, соответствующие сериям. Алгебра Аl, l = 1, 2, . . ., имеет размерность n = (l + 1)2-1 и связана с группой SU(l + 1) унитарных унимодулярных (т. е. имеющих единичный детерминант) (l + 1)-рядных матриц. Алгебра Bl, l = 2, 3, . . ., имеет размерность n = l (2l + 1) и связана с группой SO(2l+1) ортогональных унимодулярных матриц порядка 2l + 1. Случай l = 1 исключается, т. к. В1 = А1. Алгебра Сn, l = 3, 4, . . ., имеет размерность n = l(2l + 1) а связана с симплектической группой Sp(2l) (т.е. группой преобразований, сохраняющих невырожденную антисимметричную билинейную форму в пространстве размерности 2l). При l =1 и 2 имеет место совпадение Cl = Bl. Алгебра Dl, l = 4, 5, . . ., имеет размерность n = 2l2-l и связана с группой SO(2l). Низшие размерности исключаются, т. к. D3 = A3, а D1 и D2 не являются простыми. Группы SU(n), SO(n), Sp(n), порождаемые бесконечными сериями Ли алгебра, называются классическими группами.

Каждая комплексная простая Ли алгебра имеет несколько вещественных форм (т. е. таких вещественных Л а., из которых данная Ли алгебра получается комплексификацией). Лишь одна из них соответствует компактной группе Ли. Остальные приводят к некомпактным группам. Например, среди вещественных форм комплексной алгебры Al есть такие, которые соответствуют группам SU(p, q), p + q = l + 1, псевдоунитарных матриц, т. е. преобразований в комплексном (l + 1)-мерном пространстве. сохраняющих форму |Z1|2 + … + |Zp|2 - |Zp+1|2 - … - |Zl+1|2. Вещественные формы алгебры Bl порождают группы псевдовращений или псевдоортогональных преобразований SO(p, q), p + G = 2l + l. Это преобразования обобщённого пространства Минковского с р пространственными и q временными измерениями. Вещественные формы в Cl порождают группы Sp(2p, 2q), p + q = l. Такую группу можно определить как подгруппу в группе SU(2p, 2q), оставляющую инвариантной антисимметричную билинейную форму. Ещё одна вещественная форма в Сl состоит из антиэрмитовых матриц и порождает группу Sp*(2l). Вещественные формы в Dl порождают группы псевдовращений SO(p, q), p + q = 2l.

Кроме перечисленных, имеются некоторые специальные вещественные формы комплексных алгебр Аl и Dl. Приведённый список не полон с точки зрения классификации простых групп. Не каждая простая вещественная группа Ли является вещественной формой простой комплексной группы. Так, алгебра Dl не проста, и не проста соответствующая ей компактная подгруппа SO(4). Однако некомпактная группа SO(1, 3) (Лоренца группа) является простой. Её Ли алгебра изоморфна Sl(2, С). Обобщением этого примера является целый класс простых вещественных Ли алгебр - это комплексные Ли алгебры, рассматриваемые как вещественные.

Литература:

Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986.

А. А. Кириллов, М. Б. Менский.

 Википедиа: http://ru.wikipedia.org/wiki/АлгебраЛи.

 

 

Ссылка на этот материал: algebra_li.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 64 ^ "один" =

---Load files---
Сегодня - 14_12_2019
Время переоткрытия сайта 05 ч 05 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:2 V:3 N:2
Уникальных посетителей за текущие сутки: 2 Просмотров: 3 Этой страницы (всего): 2