-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: geometriya.htm)
Геометрия

1      Геометрия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Геоме́трия (от греч. γη — Земля и μετρέω — «меряю») — раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения.

2      Классификация

Общепринятую в наши дни классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы.

  • Евклидова геометрия, в которой предполагается, что размеры отрезков и углов при перемещении фигур на плоскости не меняются. Другими словами, это теория тех свойств фигур, которые сохраняются при их переносе, вращении и отражении.
    • Планиметрия — раздел евклидовой геометрии, исследующий фигуры на плоскости.
    • Стереометрия — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
  • Проективная геометрия, изучающую проективные свойства фигур, то есть свойства, сохраняющиеся при их проективных преобразованиях. Инварианты в этой геометрии — это свойства, сохраняющиеся при замене фигур на подобные им, но другого размера.
  • Аффинная геометрия, использующая очень общие аффинные преобразования. В ней длины и величины углов не имеют существенного значения, но прямые переходят в прямые.

Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы.

По используемым методам выделяют также такие инструментальные подразделы.

2.1      История

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом.

Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.

Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.

Ф. Клейн в «Эрлангенской программе» систематизировал все виды однородных геометрий; согласно ему геометрия изучает все те свойства фигур, которые инвариантны относительно преобразований из некоторой группы. При этом каждая группа задаёт свою геометрию. Так, изометрии (движения) задаёт евклидову геометрию, группа аффинных преобразований — аффинную геометрию.

3      Классическая геометрия

Одна из легенд рассказывает, что царь Птоломей

решил изучать геометрию. Но оказалось, что

сделать это не так-то просто. Тогда он призвал

Евклида и попросил указать ему легкий путь к
математике. «К геометрии нет царской дороги»,
ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло
до нас это ставшее крылатым выражение.

 

Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».

Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеровавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны. И это была геометрия Евклида.

В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть «евклидовой» в отличие от появившейся в ХIХ веке «неевклидовой геометрии».

Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что не редко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каковы пути развития геометрии как науки?

Евклид, или Эвклид (ок. 365-300 г. до н.э.) – древнегреческий математик, автор первых  дошедших до нас теоретических трактатов по математике. К сожалению, сведения о жизни Евклида до нас не дошли. Известно только, что жил он около 300 года до нашей эры, что расцвет его творчества приходится на александрийский период развития культуры и науки, когда после смерти Александра Македонского и распада его огромной империи на первое место по своему экономическому, политическому и культурному значению выдвинулся город Александрия, новопостроенная столица Египта.

Некоторые биографические данные сохранились лишь на страницах арабской рукописи ХII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по месторождению сириец, родом из Тира».

Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V веке н.э., - первый серьезный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, сто Евклид был современником царя Птоломея 1, который царствовал с 306 по 283 годы н.э.

До наших времен дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица Птоломея 1, начавшей превращаться в один из центров научной жизни.

Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию.

Что же в течение почти двух тысяч лет ученые понимали под геометрией Евклида, что мы по настоящее время в геометрии понимаем и формулируем по Евклиду?

Во-первых, Евклид дал определение точки, линии и поверхности, а также прямой линии и плоскости; определение плоской фигуры, угла, треугольника, круга и его частей, дает классификацию плоских фигур: треугольников и четырехугольников. О традиционности этих определений свидетельствует то, что Евклид дал определение ромба и «ромбомоида» (параллелограмма, не являющегося ромбом). В этом же определении Евклид дал и определение параллельных линий.

Во-вторых, геометрия Евклида – это аксиомы геометрических построений с помощью идеальной линейки и идеального циркуля.

 

3.1       "Начала" Евклида

 

 «Начала» Евклида (греч. Stoichtia, буквально – «азбука»; переносное значение – основные начала), научное произведение, написанное Евклидом в 3 веке н.э.(полагают, что оно написано около 325 года н.э), содержащее основы античной математики; элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований.

 «Начала» Евклида состоят из тринадцати книг (отделов, или частей).

Книги I-IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы.

В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора.

В книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т.е. строится геометрически аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в «Началах» Евклида отсутствует).

В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом во 2-й половине 5 в. до н.э.).

В книге IV рассматриваются правильные многоугольники.

В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Кенийским; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине IXX века.

Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу.

В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входят теории делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел.

В книге X даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей, и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги X применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг X и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н.э.).

В книге XI излагаются основы стереометрии.

В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом.

Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует.

Последующими греческими математиками к «Началам» Евклида были присоединены книги  XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом «Начал» Евклида.

«Начала» Евклида не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Началах» Евклида не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы. Как современников, так и последователей Евклида в его работе привлекала систематичность и логичность изложенных сведений.

 «Начала» Евклида построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства. Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путем их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например «что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (1 постулат); «И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат).

3.2      Геометрия Евклида

Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлетворяют требованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми начинается первая книга «Начал».

1.      Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение точки, по–видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).

2.      Линия есть длина без ширины.

3.      Границы линии суть точки.

4.      Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

5.      Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6.      Границы поверхности суть линии.

7.      Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

8.      Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

У Евклида постулаты и аксиомы, которые он не отождествлял (у него постулаты носят чисто геометрический характер) следуют за выше названными определениями. Вот они:

Постулаты.

1.      Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

2.      И, чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

3.      И, чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

4.      И, чтобы все прямые углы равны.

5.      И, чтобы всякий раз, когда прямая образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

В современной формулировке:

1) Аксиома принадлежности. Через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.

2) Аксиома порядка. Среди любых трёх точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.

3) Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов. Если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой.

4) Аксиома параллельных прямых. Через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.

5) Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда). Для любых двух отрезков AB и CD существует конечный набор точек A1 , A2 ,…, An , лежащих на прямой AB, таких, что отрезки AA1 , A1A2 ,…, An – 1An конгруэнтны отрезку CD, a точка B лежит между A и An .

 

Этот постулат (аксиома о параллельных)занимает особое место среди других постулатов. Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из других основных положений геометрии. Попытки доказать  V постулат продолжались вплоть до работ Н.И.Лобачевского, построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется.

 

Аксиомы.

1.      Равные порознь третьему равны между собой.

2.      И если к равным прибавить равные, то получим равные.

3.      И если от равных отнимем равные, то получим равные.

4.      И если к неравным прибавим равные, получим не равные.

5.      И если удвоим равные, то получим равные.

6.      И половины равных, равны между собой.

7.      И совмещающиеся равны.

8.      И целое больше части.

9.      И две прямые не могут заключить пространства.

С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Начал» Евклида недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из последних.

Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятием. Логические недостатки построения «Начала» Евклида полностью выяснились лишь в конце 19 в. До этого на протяжении более 2 тыс. лет «Начала» Евклида служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращенном и переработанном виде изучали геометрию.

3.3      Аксиоматика Гильберта

Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида.

Неопределяемыми в этой системе аксиом понятиями являются:

Точкаминимальный геометрический объект. Любой другой объект состоит более чем из одной точки.

Прямая линия – объект, состоящий не менее чем из двух точек.

Плоскость – объект, состоящий не менее чем из трех точек, не лежащих на одной прямой.

Пространство – объект, состоящий не менее чем из четырех точек, не лежащих ни на одной прямой и плоскости.

Эти четыре определения согласуются с тем, что одна точка есть точка, две точки однозначно определяют прямую, три точки однозначно определяют плоскость, 4 точки однозначно определяют пространство, и т.д.

Есть также 3 элементарных бинарных отношения:

Лежать между, применимо к точкам на прямой;

Содержать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям;

Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается инфиксным символом ~ или =.

Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено особое. Свойства этих объектов и отношений задаются аксиомами.

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:

I. Аксиомы принадлежности.

Ia) планиметрические:

1.      Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.

2.      Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.

3.      Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

Ib) стереометрические:

4.      Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.

5.      Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.

6.      Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.

7.      Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обеим этим плоскостям.

8.      Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

II. Аксиомы порядка.

IIa) линейные:

9.      Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С — различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.

10.  Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В.

11.  Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

IIb) Аксиома Паша. Формулировка аксиомы использует понятие «лежать внутри отрезка», причем отрезок здесь рассматривается как система двух различных точек A и B, принадлежащих одной прямой; точки, лежащие «между» точками A и B, называются точками отрезка (или внутренними точками отрезка). Понятие «между» (лежать между) описывается группой аксиом порядка, куда входит и аксиома Паша, которая формулируется следующим образом:

12.  Пусть A, B, C — три точки, не лежащие на одной прямой, и a — прямая в плоскости (ABC) этих трех точек, не проходящая ни через одну из точек A, B, C; если при этом прямая проходит через одну из точек отрезка AB, то она должна пройти через одну из точек отрезка AC или через одну из точек отрезка BC.

Аксиома Паша является аксиомой абсолютной геометрии. С помощью других гильбертовых аксиом порядка можно доказать, что прямая a не может пересечь оба отрезка AC и BC. Аксиома сформулирована Пашем (нем.).

III. Аксиомы конгруэнтности.

IIIa) конгруэнтность отрезков:

13.  Если А и В — две точки на прямой а, А’ — точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.1

14.  Если отрезки А’B’ и А"B" конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.

15.  Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ — два отрезка той же прямой, или другой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’.

IIIb) конгруэнтность углов:

16.  Если даны угол ÐABC и луч B’C', тогда существует ровно два луча, B’D и B’E такие, что ÐDB’C' = ÐABC и ÐEB’C' = ÐABC.

Следствие. Каждый угол конгруэнтен сам себе.

17.  Треугольники ΔABC = ΔA’B’C', если AB = A’B', AC = A’C', и ÐBAC = ÐB’A’C'.

IV. Аксиомы непрерывности.

18.                   Аксиома Архимеда. Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A1,…,An на AB таких, что: AjAj+1 ≥ CD, 1 ≤ j < n, и AB лежит между A1 и An.

(Суть этой аксиомы заключается в том, что, отложив достаточное число раз меньший из двух заданных отрезков, можно покрыть больший из них. Иначе говоря аксиома Архимеда заключается в отсутствии бесконечно малых величин).

19.                   Полнота линии. Добавление хотя бы одной дополнительной точки в прямую линию вызовет противоречие с одной из аксиом принадлежности, порядка, первыми двумя аксиомами конгруэнтности или аксиомой Архимеда.

V. Аксиома параллельности.

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

20.  Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.

В школьных учебниках обычно приводится другая формулировка, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу

В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Гильберт изначально (1899) включил 21–ю аксиому:

21.  «Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена A, B, C, и D так, чтобы точка B лежала между точками A и C, а также между A и D; точка C — между A и D, а также между B и D.»

Э.Х. Мур (англ.) доказал в 1902 году, что эта аксиома избыточна.

4      Геометрия Лобачевского

Лобачевский Николай Иванович родился: 01.12.1792, в Нижнем Новгороде. Умер: 24.02.1856, в Казани. Детство Лобачевского было тяжелым и бедным. В Казанской гимназии он был казеннокоштным студентом, что накладывало определенные обязанности и ограничения. Самым простым было учиться лучше других. Но уже с самого начала жизни Лобачевский интересовался геометрией. Это неудивительно, ведь его отец был землемером. Лобачевский проявил также большую склонность к языкам – например, французский он выучил за три месяца. Он писал стихи – его поэмы о Волге считаются одними из лучших. Но при этом он не забывал учиться – в 1807 году он студент, а в 1811 – магистр.

В 1811 году окончил Казанский университет и был оставлен при нем для подготовки к профессорскому званию. В 1814-46 году преподавал в этом университете (с 1816 года - профессор, заведовал астрономический обсерваторией университета, в 1820-22, 1823-25 – декан физико-математического факультета, в 1827-46 – ректор). С 1846 - помощник попечителя Казанского учебного округа.

Лобачевский оказал влияние на развитие астрономии. Лобачевский является создателем новой геометрической системы - неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского, изложенной в его труде «О началах геометрии» (1829). Первым попытался использовать данные астрономических наблюдений (параллаксы звезд) для определения свойств пространства и времени и решения вопроса о том, какая из двух геометрий – классическая евклидова или созданная им – соответствует реальным условиям в физическом пространстве. Однако имевшиеся в его распоряжении величины параллаксов, опубликованные французским астрономом – любителем Дасса – Мондидье, были весьма завышенными и далекими от реальности.

Лобачевский пришел к выводу, что в пределах пространства, ограниченного расстояниями до ближайших звезд, различие в обеих геометриях настолько мало, что выявить его методами того времени невозможно. Вопрос о геометрии физического пространства, впервые поставленный Лобачевским, был решен в теории относительности, созданной в xx в. А.Энштейном: геометрия Вселенной определяется распределением вещества в ней и не является евклидовой.

В Казанском университете Лобачевский, наряду с математическими дисциплинами, читал лекции по астрономии, расширяя и углубляя их содержание. Его лекции, например, были посвящены определению элементов орбит, их вековым изменениям, теории приливов и отливов, теории возмущенного движения комет и спутников планет. Проводил в 1811-42 астрономические наблюдения, в частности наблюдал комету 1811 и комету Энке в 1832, но дневники его наблюдений сгорели во время пожара обсерватории Казанского университета.

Также он вместе со своим учеником М.В.Ляпуновым участвовал в экспедиции  в Пензу для наблюдения полного солнечного затмения 8 июля 1842. Подробно описал свои наблюдения и размышления по поводу загадочных в то время явлений протуберанцев и солнечной короны. Занимался также усовершенствованием методов обработки астрономических наблюдений. Будучи ректором Казанского университета, способствовал развитию астрономии в Казани. По его инициативе при университете в 1833-37 годах была построена новая обсерватория, одна из лучших по тому времени. Она начала работать в 1838, на год раньше Пулковской.

В 1895 году Казанское физико-математическое общество учредило премию имени Лобачевского за выдающиеся работы в области геометрии. В настоящее время эту премию присуждает АН СССР.

4.1      Отношение Лобачевского к геометрии Евклида

«Начала» – величайший памятник деятельности Евклида. Однако не все написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Великолепной была его попытка дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом сразу же подвергался критике, некоторые из них оказались совсем не нужными, например, что «все прямые углы равны между собой».

Так называемый пятый постулат Евклида вызвал особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как показало историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии.

Идея неевклидовой геометрии пришла в голову не только Лобачевскому. Одним из «конкурентов» был Гаусс. Гаусс узнал о Лобачевском, прочитав «Геометрические исследования по теории параллельных линий Николая Лобачевского». Гаусс говорил, что, читая этот труд, он видел в первую очередь себя.

Лобачевский впервые упоминает о так называемой неевклидовой       геометрии в своих мемуарах «О началах геометрии» (1829).

Он определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата. Впоследствии, от чего и происходит две Геометрии: одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от углов.

Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место в реальном мире – «употребительная» или «воображаемая», для чего он решил измерить сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и, считая один из углов этого треугольника прямым, а другой – равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма отличается на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. «После того, - пишет Лобачевский, - можно вообразить, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений всей геометрии и дозволяет принятые начала рассматривать как бы строго доказанными».

Это объясняет, что под «строгим доказательством теоремы о параллельных» в докладе 1826 года Лобачевский понимал невозможность установить экспериментальным путем, какая из двух геометрий имеет место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можно пользоваться «употребительной геометрией», не рискуя впасть в ошибку.

Наиболее полно изложена система Лобачевского в его «Новых началах с полной теорией параллельных» (1835-18380). Изложение геометрии Лобачевского основывается на чисто топологических свойствах прикосновения и сечения, конгруэнтность и равенство отрезков определяются по существу с помощью движения.

В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новых определенных интегралов, которым он специально посвятил работу «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (Казан. университет, 1836), многие, из которых были включены в дальнейшие справочники.

4.2      Вклад Н.И.Лобачевского в развитие науки

Если геометрия Евклида является только часть геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир – не мир Евклида, как принято считать? Почему же мы не замечаем разницы?

Как пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное,  как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами – и ошибки достигали 1/6.

Как мы уже знаем, на поверхностях с отрицательной кривизной работает геометрия  Лобачевского. Но именно эту кривизну имеют  графики интенсивности  всех  электромагнитных полей. Состояние поверхности плазмы  также описывается  геометрией  Лобачевского.

Но наглядно геометрию Лобачевского можно устроить и на бумаге. Если нарисовать окружность, то мы можем, не выходя за ее пределы, провести сколько угодно прямых, не пересекающих  данную. Взяв сферу, можно построить стереометрическую модель. Такая модель называется модель Клейна.

Все эти модели служат одной цели – полнее представить наш мир, не прибегая к вселенским  масштабом.

Только в XIX веке Н.И.Лобачевский и другие математики пришли к мысли, что эти следствия образуют непротиворечивую геометрию, которую мы в настоящее время называем геометрией Лобачевского,  и V поступает не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида. Критика теории отношений Евклида, которая у него была оторвана от теории числовых отношений, состояло в предложении объединить эти две теории в единую теорию, для чего, и следовало рассматривать геометрические величины как числа нового типа, мы в настоящее время эти числа называем действительными, или вещественными (Евклид знал только натуральные числа). Также подвергалось критике стремление Евклида избегать движение и наложение, к которому призывал Аристотель, эта установка Евклида критиковалась многими  последующими  геометрами, которые в своих трудах пользовались движением. Но все же, Евклид кое-где применял движение, следуя за своим предшественником.

Создание и разработка геометрии Лобачевского поставили вопрос об исследовании всей структуры системы аксиом, как евклидовой геометрии, так и других возникающих к этому времени геометрий и выяснение независимости этих аксиом друг от друга.

Литература.

Геометрия Лобачевского

5      Сферическая геометрия

6      Проективная геометрия

7      Аффинная геометрия

8      Псевдоевклидова геометрия

9      Геометрия Римана

 

Ссылка на этот материал: geometriya.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "двадцать" to divide on "двадцать" =

---Load files---
Сегодня - 06_12_2019
Время переоткрытия сайта 14 ч 03 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:6 V:8 N:1
Уникальных посетителей за текущие сутки: 6 Просмотров: 8 Этой страницы (всего): 1