-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: gruppy_li.htm)
Группа Ли

1 Группы Ли  

Физическая энциклопедия  »  Л

Элементы группы Ли (ГЛ) являются топологической группой и задаются конечным набором числовых параметров (координат) так, что групповое умножение и переход к обратному элементу выражаются с помощью гладких (бесконечно дифференцируемых) функций от этих параметров. Число параметров называется размерностью группы Ли. Параметры могут быть вещественными или комплексными, в соответствии с этим группы Ли называются вещественной или комплексной группами Ли. Каждую комплексную группу Ли можно рассматривать как вещественные группы Ли вдвое большей размерности. Примерами групп Ли являются физически важные группы трансляций, вращений (SO), конформных и унитарных преобразований разных размерностей, группа Лоренца, группа Пуанкаре и т.д. Группа Ли в целом может обладать такой топологией, что её невозможно покрыть одной системой координат. Это имеет место даже для такой простой группы Ли, как группа поворотов плоскости, SO(2). Топологически эта группа эквивалентна окружности и не может быть гладко отображена на вещественную прямую (ось координат) или какой либо интервал этой прямой.

Поэтому в общем случае на группы Ли вводят целое семейство систем координат (карт), каждая из них покрывает некоторую область группы (координатную окрестность). На пересечении любых двух координатных окрестностей, где имеют смысл сразу две системы координат, переход от одной из них к другой описывается с помощью гладких (бесконечно дифференцируемых) функций. Операция умножения в группе и переход к обратному элементу в любой системе координат описываются гладкими (бесконечно дифференцируемыми) функциями. Сказанное можно сформулировать следующим образом: группа Ли - это группа, которая одновременно является гладким многообразием, причём групповая структура согласована со структурой многообразия.

Для определения алгебры Ли пользуются матричной реализацией (линейным представлением) Г.: пусть каждый элемент g группы G представляет собой матрицу (или, что то же, линейный оператор в конечномерном линейном пространстве). Элемент g характеризуется набором числовых параметров (координат на Г.), g = S(x1, ..., xn).

Условимся выбирать эти параметры так, чтобы единице группы соответствовали нулевые значения параметров, e = g(0,...,0). Тогда инфинитезимальным оператором (генератором) группы G называется производная от функции g по одному из параметров, взятая в единице группы: Xi = [g/xi]: x1 = … = xn = 0.. Ясно, что генераторы являются матрицами (операторами) той же размерности, что и элементы группы. Оказывается, что коммутатор двух генераторов линейно выражается через генераторы: [Xi, Xj] = XiXj XjXi = SkCikjXk. Числа Cikj называются структурными константами группы. Существенно, что набор структурных констант не зависит от того, какая матричная реализация (представление) группы выбрана для определения операторов Xi. Поэтому структурные константы характеризуют не конкретное представление, а саму группу В то же время структурные константы зависят от выбора системы координат вблизи единицы группы При изменении системы координат структурные константы меняются как тензоры. Выбором системы координат обычно добиваются, чтобы набор структурных констант был по возможности более простым. Для полупростой группы Ли можно построить из генераторов скалярный квадратичный оператор С, называемый оператором Казимира: C = Sg-1pqXpXq  , где gpq =   SstCpstCqts - метрический тензор Картана.

Операторы Xi, i=1, ..., n, образуют базис алгебры Ли. Произвольный элемент алгебры является линейной комбинацией базисных элементов, X = SiciXi.

Т.о., алгебра Ли группы Ли G является касательным пространством к многообразию G в точке е.

Можно определить структурные константы и не обращаясь к матричной реализации (линейному представлению) группы. Пусть в некоторой системе координат закон умножения в группе Ли имеет вид x''k = yk(x, x'), так что g (x) g (x') = g(x'')(здесь одной буквой х обозначен весь набор координат х1, ..., хn). По определению группы Ли, функции yk(x, x ') должны быть бесконечно дифференцируемы. Разложение их в ряд Тейлора имеет вид

yk(x, x') = xk + x'k + Bikjxi + x'j + …,

где многоточие обозначает члены более высоких порядков. Тогда величины Cikj = BikjBjki  являются структурными константами и определяют соответствующую алгебру Ли. Существуют также способы построения алгебры Ли по группы Ли, не использующие явно систему координат. Для изучения группы Ли важны однопараметрические подгруппы (т. е. одномерные группы Ли). Параметр t в такой подгруппе выбирают так, чтобы выполнялись равенства х(0) = е, x(t) = x(s) - x(t + s). Существует взаимно однозначное соответствие между однопараметрическими подгруппами в группе Ли G и элементами её алгебры Ли g: подгруппе х(t) соответствует касательный вектор . Экспоненциальное отображение алгебры Ли g в группу Ли G определяют так: exp X = x(1), где х(t) - однопараметрические подгруппа, соответствующая элементу X. Для матричных групп Ли отображение ехр совпадает с обычной экспонентой: exp X = Sk=0µXk/k!. Обратное отображение (определённое только в некоторой окрестности единицы) иногда обозначают ln. С помощью экспоненциального отображения в группу Ли G определяют каноническую систему координат: координатами точки g = expX служат коэффициенты разложения X = lng по базису в алгебре Ли: X = Si=1nciXk. Основное свойство экспоненциального отображения - его функториальность, которая выражается коммутативной диаграммой:

1119928-88.jpg

где j - любой гомоморфизм группы Ли G1 в группу Ли G2, а j'(e) - производная отображения в точке е. Это значит, что в канонических координатах любой гомоморфизм группы Ли записывается линейными функциями.

Наиболее важными примерами групп Ли являются группа GL (n, R) всех невырожденных (обратимых) n´n матриц с вещественными элементами и группа GL(n, С) всех невырожденных n´n матриц с комплексными элементами. Координатами в этих группах могут служить сами матричные элементы. Поэтому GL(, R) - это вещественная группа Ли размерности n2, а GL(n, C) - комплексная группа Ли размерности n2 (которую можно рассматривать как вещественная группа Ли размерности 2n2). Алгеброй Ли группы GL(n, R) [соответственно GL(n, C)] является пространство всех n´n матриц с вещественными (соответственно комплексными) элементами. Она обозначается через gl(n, R) [соответственно gl(n, C)].

В названных матричных группах Ли отражены свойства их элементов. В общем случае ставят букву L (линейность), унитарность отмечают буквой U, ортогональность - буквой О. Если матрицы имеют единичный определитель (унимодулярны), в названных группах ставят букву S. В скобках после названия указывают ранг (число строк) матриц, образующих группу. Если группа Ли G реализована как подгруппа в GL (n, R) или GL (n, С), то её алгебра Ли g является подалгеброй в gl(n, R) или gl(n, C). Например, группа О(n) ортогональных матриц и группа SO(n) ортогональных унимодулярных матриц имеют одну и ту же алгебру Ли SO(n), состоящую из всех антисимметричных веществ. матриц; группе SL(n, R) вещественных унимодулярных матриц соответствует алгебра Ли sl(n, R), состоящая из матриц с нулевым следом; группе U(n) унитарных матриц соответствует алгебра Ли и (n) антиэрмитовых матриц (т. е. таких, что X+ = - X).

Тесная связь между группами Ли и алгеброй Ли позволяет свести изучение представлений группы Ли к изучению представлений алгебры Ли. В конечном счёте задача сводится к исследованию представлений генераторов группа Задать такое представление - значит задать п матриц (или в общем случае линейных операторов) Xi, удовлетворяющих коммутационным соотношениям с заданным набором структурных констант. Именно эту методику (инфинитезимальный подход) обычно используют при изучении представлений группы Ли.

Алгебра Ли характеризует лишь локальные свойства группы Ли, т. е. такие, которые можно сформулировать в терминах достаточно малой окрестности единицы. В частности, для определения алгебры Ли достаточно ввести координаты лишь в некоторой окрестности единицы.

Отображение j: G1G2 одной группы Ли на другую группу Ли называется изоморфизмом групп Ли, если оно взаимно однозначно, согласовано с групповым умножением в каждой группе и является гладким (т. е. в любой системе координат выражается гладкими функциями). Группа Ли G1 и G2 в этом случае наз. изоморфными. Две группы Ли называется локально изоморфными, если изоморфизм определён в некоторой окрестности единицы (но, вообще говоря, не продолжается на всю группу). Локально изоморфные группы Ли имеют одинаковые (изоморфные) алгебры Ли. Обратно, если две группы Ли имеют изоморфные алгебры Ли, то они локально изоморфны.

Группа Ли называется односвязной, если любая замкнутая кривая в этой группе может быть непрерывной деформацией стянута в точку. Для любой группы Ли G совокупность G0 тех её элементов, которые можно соединить с единицей непрерывной кривой, образует максимальную связную подгруппу в G, называется связной компонентой единицы группы G. Подгруппа G0 инвариантна в G, а фактор-группа G/G0 дискретна. Например, для группы О(n) связной компонентой единицы является подгруппа SO(n). Фактор-группа O(n)/SO(n) состоит из двух элементов. Связная группа Ли G является разрешимой (соответственно нильпотентной, почти простой, полупростой), если и только если её алгебра Ли g разрешима (соответственно нильпотентна, проста, полупроста).

Среди всех связных групп Ли, локально изоморфных данной группе G, есть ровно одна односвязная группа  называется универсальной накрывающей группы G. Все прочие группы, локально изоморфные G, являются фактор-группами  по различным дискретным инвариантным подгруппам, принадлежащим центру группы . Например, все коммутативные связные группы Ли размерности n локально изоморфны. Односвязной группой среди них (универсальной накрывающей для всех них) является Rn - евклидово n-мерное пространство со сложением в качестве групповой операции (или группа трансляций этого пространства). Произвольная группа из этого класса имеет вид Rn/G, где G- некоторая решётка (дискретная подгруппа) в Rn. Если группа G порождена k линейно независимыми векторами, то Rn/G изоморфна Rn Ä Tk.

Всякая группа Ли локально изоморфна некоторой матричной группе. Для многих типов группы Ли это утверждение верно не только локально, но и в целом (глобально). В частности, все разрешимые, все компактные и все комплексные группы Ли допускают глобальную матричную реализацию.

Всякая связная односвязная группа Ли является полупрямым произведением связной односвязной полупростой группы Ли на связную односвязную разрешимую группу Ли. Все полупростые группы Ли полностью описаны (см. Ли алгебра), а классификация разрешимых группа Ли доведена до размерности 6.

2      Классификация простых групп Ли

Простая группа Ли — группа Ли, не имеющая нормальных подгрупп, кроме тривиальных, состоящих из единицы группы и всей группы. Близким понятием является «полупростая группа Ли», которая не имеет абелевых инвариантных подгрупп, опять-таки, кроме тривиальных.

Имеется четыре серии простых комплексных алгебр Ли конечной размерности: Al, Bl, Сl, Dl. Простые группы Ли относительно легко поддаются классификации, что было проделано Эли Картаном в начале XX века. Наиболее наглядна классификация по схемам Дынкина.

Простые группы Ли делятся на 4 бесконечных ряда:

·         SU(n) — специальные унитарные группы порядка n;

·         SO(2n) — специальные ортогональные группы чётного порядка;

·         SO(2n+1) — специальные ортогональные группы нечётного порядка;

·         Sp(2n) — симплектические группы;

а также 5 исключительных групп Ли: G2, F4, E6, E7, E8.

Источники:

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике. — М.: 1983 Т. 2.

Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.. — Мир, 1985.

Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964;

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986.

А. А. Кириллов, М. Б. Менский.

Википедиа, http://ru.wikipedia.org/wiki/ГруппаЛИ

 

 

Ссылка на этот материал: gruppy_li.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "четыре" x 2 =

---Load files---
Сегодня - 06_12_2019
Время переоткрытия сайта 03 ч 19 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:1 V:1 N:3
Уникальных посетителей за текущие сутки: 1 Просмотров: 1 Этой страницы (всего): 3