Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: mnozhestva.htm)
Основы теории множеств

1      Множества

 (С использованием материалов из Википедии)

Нынешние курсы математического анализа часто стро­ятся на понятии множества. Например, в учебнике Ю. Г. Решетняк «Курс математического анализа», с. 12:

«Для нас множество будет одним из первичных математических понятий,  не выражаемым через другие математические понятия. Обычно, говоря слово ,,множество‘‘, мы будем под этим понимать совокупность объектов произвольного рода, рассматриваемую как единое целое. Вместе с термином множество будут употребляться и его синонимы типа набор, система, совокупность и т. п. Напри­мер, можно говорить о множестве решений некоторого уравнения, о коллекции картин, хранящихся в музее, совокупности точек круга и т. д.

Объекты, составляющие то или иное множество, называются его элементами.

Множество считается заданным, если для любого объекта мож­но установить, является он элементом данного множества или нет».

 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов, «Ма­тематический анализ», с. 69:

«...при изучении вещественных чисел важным понятием явля­лось понятие множества. Подчеркнем, что множество мы рассмат­ривали как начальное понятие, неопределенное через другие.

В этом параграфе мы будем изучать множества произвольной природы или, как говорят, абстрактные множества. Это означает, что объекты, составляющие данное множество, или, как говорят, элементы данного множества уже не обязаны быть обязательно ве­щественными числами. Элементами абстрактного множества могут быть, например, функции, буквы алфавита, фигуры на плоскости и т. д.».

 В. А. Зорич «Математический анализ»:

«Основные предпосылки канторовской (или, как условно гово­рят, "наивной") теории множеств сводятся к следующему:

1° множество может состоять из любых различных объектов; 2° множество однозначно определяется набором составляющих его объектов;

3° любое свойство определяет множество тех объектов, которые этим свойством обладают.

Если x — объект, P — свойство, P(x) — обозначение того, что x обладает свойством P, то через {x : P(x)} обозначают весь класс объектов, обладающих свойством P.

Объекты, составляющие класс или множество, называют эле­ментами класса или множества.

Слова "класс", "семейство", "совокупность", "набор" в наивной теории множеств употребляют как синонимы термина "множество". Следующие примеры демонстрируют применение этой термино­логии: множество букв "а" в слове "я"; множество жен Адама; набор из десяти цифр; семейство бобовых; множество песчинок на Земле; совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух данных ее точек; семейство множеств; множество всех множеств.

Различие в степени определенности задания множеств наводит на мысль, что множество — не такое уж простое и безобидное поня­тие. И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто противоречиво.

1.1      Объект, категория, класс, множество

В основе наивной теории множеств лежат классические представления Г. Кантора: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» и множество — это «соединение в некое целое опре­деленных хорошо различимых объектов нашего созерцания или на­шего мышления». Общеизвестно, что подобные концеп­ции чересчур широки. Это обстоятельство обходится известной дета­лизацией различий множеств и немножеств. Например, для обозна­чения неприемлемых — «слишком больших» — совокупностей мно­жеств применяется термин «класс». При этом подразумевается, что класс не обязан быть множеством. Иными словами, при формали­зации понятий наивной теории множеств более полно и тщатель­но регламентируются процедуры, позволяющие вводить то или иное «канторовское» множество в математический обиход. Все допущен­ные в математику множества совершенно равноправны. Само собой, отсюда никак не следует, что все множества равны или не имеют от­личий. Просто множества однотипны, обладают общим статусом — они элементы «класса всех множеств».

Объект, множество, категория, класс – это часто просто синонимы и обозначают одно и то же. Но в математике при ее развитии привилось их некоторое отличие. Обычно под объектом понимается все что угодно. Это наиболее общее понятие. Объект может иметь свою внутреннюю структуру, которая определяет ее свойства. Объект – это не только множество. Множество – некоторая категория объектов, обладающих определенными аксиоматически свойствами. Категория объединяет объекты вне зависимости от внутренней структуры составляющих объектов, но объединяющиеся некоторым морфизмом, например, категория "множества" с морфизмом "отображения". Под классом понимается некоторое отношение эквивалентности между составляющими класс объектами с общими свойствами, например, класс параллельных прямых. Поэтому

Объект в принципе может обозначать все что угодно, конечно, в пределах разумного. Под объектом в математике могут пониматься как множества, так и множества множеств без определенных заранее каких-то свойств, а также и любые их части. В частности, объект – это непустая часть множества. Если быть точнее, то это понятие не применяется для обозначения собственно произвольного подмножества как такового, а для определения особых выделенных образований в различных рассматриваемых в математике и физике теоретических множествах – "пространствах". Пространство в данном случае – это некоторое максимальное множество, на котором определена теория. Каких–либо особых выделенных свойств или определений "объект" в них не имеет.

По Смиту и Токи, объект — конкретный опознаваемый предмет, единица или сущность (реальная или абстрактная), имеющая четко определенное функциональное назначение в данной предметной области. В еще более общем плане объект можно определить как нечто, имеющее научно четко очерченные границы

Структура – это внутреннее устройство объекта, что включает в себя как элементы объекта, так и отношения между ними. Пример – алгебраическая структура.

Множество – интуитивно понятное общеупотребительное математическое понятие, один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. В формулировке Георга Кантора под «множеством» понимается соединение в некое целое нескольких определённых хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).

Множество состоит из отдельных элементов. Минимальным множеством является пустое множество без элементов (пустое множество), обозначаемое как Æ, максимальным – некоторое множество, которое в рамках рассматриваемой задачи невозможно дополнить другими элементами. Ее можно обозначить как M. Для множеств определены операции объединения È, пересечения Ç, дополнение до максимального множества – черта над символом множества, или вычитание – арифметический знак "–" (минус), прямые произведения множеств × (или вообще без определенного знака), выборка (выделение) подмножества множества по некоторому признаку (свойству): "a:A, $a:A или подмножеств множества (в т.ч. максимальная выборка – множество всех подмножеств множества).

Между множествами могут быть также определены операции прямой суммы и прямого произведения. Прямая сумма M1 Å M2 практически означает то же самое, что и объединение M1 È M2, прямое произведение M1 Ä M2 есть упорядоченное множество пар элементов {m1, m2}: m1 Î M1, m2 Î M2.

Множества частично упорядочены. Между множествами определены отношения равенства (=), неравенства (≠), "является частью" (Ì, Í), "не является частью" (Ë), "включает в себя" (É, Ê) и "пересекаются" (имеется в виду не пустое пересечение - символа не имеется),. Эти отношения определяют между множествами отношение упорядочения (см. далее) типа "подмножество" (слева: Ì, Í, справа: É, Ê). Два множества не обязательно упорядочены, но могут иметь общие элементы, т.е. пересекаются: или не имеют общих элементов (#). Свойства этих отношений определены аксиомами.

Множества и определенные выше операции и отношения можно определить как алгебра множеств (или более широко теория множеств).

Одним из самых известных математических множеств являются множества чисел – положительных, целых, рациональных, вещественных, комплексных и т.д. В обиходе под множествами можно понимать некоторую совокупность предметов, обладающих каким либо свойством общности.

Подмножество – подчиненное к множеству понятие, представляющее некоторое отношение упорядочения между ними. В обиходе подмножество представляет собой непустую часть множества, связанную с ним отношением "является частью", но в математике пустое множество является подмножеством любого множества.

Подмножество само по себе тоже является множеством. Для подмножеств определены те же операции, что и для множеств (см. выше). Пустое множество и "полное" подмножество называются несобственными подмножествами, все остальные – собственными подмножествами. По отношению к подмножествам могут быть определены классы по некоторому признаку эквивалентности или свойству.

Элемент (или точка) множества – минимальное непустое подмножество множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Элементарность подмножества множества обозначается символом Î, не элементарность или не принадлежность – символом Ï. Меньше элемента только пустое множество. В геометрии за элементы можно принять геометрические фигуры, пусть даже состоящие и из других фигур. По отношению к элементам могут быть определены классы эквивалентности по некоторому признаку или свойству.

Через эти определения объектов математики и их отношений между собой определяется алгебра множеств.

Класс (от лат. classis — группа) – множество всех объектов, обладающих определенными свойствами, между которыми можно установить некоторое отношение эквивалентности по этим свойствам. Представителем класса может быть любое конкретное множество из этого класса. Но классы объектов типа "множества всех множеств" и подобные им обладают противоречивыми свойствами. Мощность таких объектов не ограничена ничем.

Еще более общим понятием является понятие "категория" (см. ч. 2.4 "Морфизмы и теория категорий"). Тео́рия катего́рий - раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Категория C — это класс объектов, что для всех состоящих в ней объектов определена однозначная ассоциативная с единичным объектом операция морфизма. 

Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств.

1.2      Аксиоматические теории множеств

Аксиоматические теории множеств точно регламентируют кор­ректные способы формирования множеств и правила вывода логически правильных высказываний о ней. Образно говоря, аксио­матики описывают миры — универсумы — множеств, которые при­званы служить адекватными отображениями наших интуитивных представлений о «канторовом рае» — универсуме наивной теории множеств. Интересующие нас аксиоматики строятся и изучаются как формальные теории. Необходимо специально отметить, что, несмотря на свою очевидную ограниченность и во многом благодаря ей, формальный подход доказал свою исключительную плодотворность (теоремы Г¨еделя, независимость континуум-гипотезы и аксиомы вы­бора, булевозначный анализ и т. п.).

Язык классической теории множеств — язык первого порядка, сигна­тура которого содержит лишь один бинарный предикатный символ Î и не имеет прочих предикатных или функциональных символов. Таким образом, теория множеств — это простой пример теории пер­вого порядка. Обычно пишут  вместо  и говорят, что х элемент или член у. В этой связи говорят также о принадлеж­ности или членстве множеств. Таким образом, формулы теории множеств суть формальные тексты, составленные из атомных фор­мул вида  и  посредством пропозициональных связок и кванторов.

Современная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая  математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Godel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

Смотрите также:

Теория внутренних множеств IST Нельсона.

Классическая теория внешних множеств EXT Хрбачек.

Классическая теория внешних множеств  NST Каваи.

 

2      Отображения множеств

2.1      Отображение, функция, операция

Отображение – сопоставление одним элементам множества других элементов этого же или другого множества. Например:

Здесь обычно

a – элемент некоторого множества A. Такое отображение называется одноместным.

a = {a1, a2, …, an} - элемент прямого произведения нескольких (обычно конечного числа) множеств. Такое отображение называется многоместным:

(a1, a2, …, an) Î A1 ´ A2 ´  …  ´ An.

b – элемент множества результатов отображения B.

Но нет никаких ограничений на то, чтобы a и c были подмножествами некоторых множеств.

Обратное отображение существует не всегда или не однозначна.

Другое название отображения – это функция.

Некоторые маломестные малозначные функции называются отношениями. Отношения в общем случае являются логическими высказываниями.

Композиция двух отображений тоже есть отображение. Если все отображения объединить под понятием "множество отображений" F, то композиция отображений элементов множества E (последовательное выполнение нескольких отображений) тоже есть отображение. Композиция отображений часто обозначается символом "":

Отображение инъективно, если из xy → φ(x) ≠ φ(y).

Отображение сюрьективно, если из "y$х: φ(x) = y.

Отображение биективно, если оно инъективно и сюрьективно.

Множество отображений коммутативно, если φ1φ2 = φ2φ1 = φ.

Множество отображений ассоциативно, если φ1φ2φ3 = φ2φ1φ3 = φ.

Операция – это двухместное отображение, или сопоставление двум элементам одного или разных множеств элемента этих же или третьего множества. Оператор операции умножения часто обозначается пустым символом: a×b ~ ab. Другие широко употребительные обозначения операций: +, Å,  –, ∙, , ×, Ä, /, : и пустой символ. Возможно много других обозначений операций. Первые три обозначения операций обычно применяются к аддитивным операциям типа "сложение" и "вычитание", следующие – к мультипликативным операциям типа "произведение, умножение" и "деление". У каждой операции возможно существование обратной операции, когда по результату и одному из операндов определяется другой операнд.

У множества может быть определена не одна операция, а несколько. Свойства операций изучаются алгеброй. В алгебре операции изучаются в отношении к своим свойствам и по ним производится классификация алгебр. Наиболее известные свойства отдельных операций:

Пусть a и b принадлежат множеству T. Тогда:

·         "a, b: ab Î T – свойство замкнутости операции.

По количеству операций и их свойствам различают:

·         одна операция - группоиды, моноиды, …,

·         две операции - кольца, поля, …

Наличие нейтральных (единичный или нулевой) и обратных элементов. Пусть a и b принадлежат множеству T. Тогда:

·         Существует нейтральный (единичный) элемент: 1×a = a = a×1

По отношению к аддитивным операциям вместо элемента "1" обычно применяется "нулевой" символ "0": 0 + a = a = a + 0.

·         Для любого a существует обратный элемент a' такой, что aa' = 1.

Обратная операция может существовать не всегда.

·         Разрешимость уравнения ax = y и xa = y относительно x.

Операции на множествах по отношению к двум операндам могут обладать свойством коммутативности и идемпотентности:

·         Коммутативность: ab = ba,

Свойством коммутативности [от позднелат. commutativus - меняющий(ся)] обладает умножение матриц, подстановок, преобразований, векторное умножение не коммутативно. Термин коммутативный ввёл в 1815 г. Ф. Сервуа (1775-1833) французский математик. По отношению к двум операциям это может быть сформулировано в виде:

abba = 0 - коммутативность;

ab + ba =0 - антикоммутативность;

·         Идемпотентность: aa = a.

По отношению к этим свойствам можно определить их антивиды с тождеством С(a,b) = - С(b, a), при возможности определения операции "-", где C – обозначение тождества.

По отношению к умножению трех операндов можно определить свойства ассоциативности:

·         Ассоциативность: (ab)c = a(bc).

Свойством ассоциативности обладает умножение матриц, подстановок, преобразований. Векторное умножение не ассоциативно. Термин "ассоциативный" в 1843 году ввёл Гамильтон Уильям Роуан (Hamilton William Rowan) (04.08.1805 - 02.09.1865) - ирландский математик, член Ирландской Академии Наук.

·         тождество альтернативности (альтернативная алгебра):

(aa)b = a(ab) – левая альтернативность,

(ab)b = a(bb) – правая альтернативность;

·         тождеством эластичности (эластичная или центральная ассоциативность): a(ba) = (ab)a. Любая коммутативная алгебра обладает этим свойством: (ab)a = (ba)a = a(ba);

·         тождество слабой ассоциативности a2(ba) = (a2b)a;

·         степенная ассоциативность: произведение aaa = an не зависит от расстановки скобок. Любая коммутативная алгебра обладает этим свойством: (aa)a = a(aa);.

По отношению к видам ассоциативности можно определить их антивиды с тождеством С[(a,b),c] = - С[a, (b,c)], при возможности определения операции "-", где C – обозначение тождества.

По отношению к двум операциям на трех операндах могут быть определены следующие свойства:

·         Свойство дистрибутивности:

(a + b)c = aс + bc.

c(a + b) = ca + cb.

·         Удовлетворение тождеству Якоби (коммутативная и антикоммутативная алгебры Якоби):

a(bc) + b(ca) +c(ab) = 0.

Альтернативное свойство:

a(bc) + b(ca) - c(ab) = 0.

·         Удовлетворение тождеству Мальцева (антикоммутативная Алгебра Мальцева):

(ab)(ac) + (b(ac))a + ((ac)a)b = ((ab)c)a + ((bc)a)a + ((ca)b)a.

2.2      Морфизмы. Основные определения и свойства

Морфизм – это отношение между математическими объектами:

HomC(A, B) ~ AB

Здесь HomC – категория морфизма, A и B – объекты морфизма.

Гомоморфизм (от греч. homós — равный, одинаковый и morphe — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные соотношения.

Например, рассмотрим группы (G1, *), (G2, ×). Отображение f: G1 → G2 называется гомоморфизмом групп G1 и G2, если оно одну групповую операцию переводит в другую: f(a*b) = f(a) × f(b). В этом случае не требуется, чтобы образ отображения f(G1) совпадал с группой G2. Он может быть подгруппой в G2. Не требуется и взаимной однозначности отображения, так что одному элементу в f(G1) может соответствовать более чем один прообраз в G1. Множество прообразов единицы, f-1(12), образует в G1 инвариантную подгруппу, наз. ядром гомоморфизма. Факторгруппа G1/f-1(12) изоморфна группе f(G1).

Изоморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм.

Во всех науках имеются свои определения понятия изоморфизма. В математике изоморфизм — достаточно сложное понятие. Пусть М — математическая модель, состоящая из объектов a, b … и включающая операции О, Р…, результаты которых О(a, b…), Р(a, b …) являются элементами модели М и М' — вторая модель с операциями О'(a', b'…), Р'(a', b'…). Если существует взаимно однозначное отображение aa' множества элементов модели М в множество элементов модели М' относительно указанных операций и если при этом (О(a, b …) → О'(a', b'…), P(a, b …) → Р'(a', b'…)), то модели М' и М называются изоморфными. Если верно и обратное, то модели М' и М называются гомоморфными.

Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм

Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Автоморфизм — изоморфизм на само множество

Эндоморфизм — гомоморфизм на само множество.

Гомеоморфи́зм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) в топологии — это взаимно–однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно. Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.

Пусть (X, Tx) и (Y, Ty) - два топологических пространства. Функция f: XY называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также f и f−1 непрерывны. Пространства X и Y в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными. Например, любой круг гомеоморфен любому квадрату, любые два отрезка гомеоморфны, но отрезок не гомеоморфен ни окружности, ни прямой. Прямая гомеоморфна любому интервалу (то есть отрезку с удалёнными концами). На основе понятия гомеоморфизма определяется важнейшее понятие топологического свойства как такого, которое, будучи присуще какой–либо фигуре, присуще и любой фигуре, ей гомеоморфной. Примеры топологических свойств: компактность (бикомпактность) и связность.

Диффеоморфизм - взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение f: MN гладкого многообразия M в гладкое многообразие N, обратное к которому тоже является непрерывно дифференцируемым. Обычно под гладкостью понимается C-гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, например Ck при любом k Î N.

Свойства морфизмов изучаются теорией категорий.

2.3      Теория категорий

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Категория C — это класс объектов OC, что:

·  для каждой пары объектов A, B задано множество морфизмов (или стрелок) HomC(A, B), причём каждому морфизму соответствует единственные A и B;

·  для пары морфизмов f Î HomC(A, B) и g Î HomC(B, C) определена композиция g f Î HomC(A, C);

·  для каждого объекта A задан тождественный морфизм IdA Î HomC(A, A) ;

·  причём выполняются две аксиомы:

- операция композиции ассоциативна: h (g f) =  (h g) f) и

- тождественный морфизм действует тривиально: f IdA = IdA f  = f для f Î HomC(A, B)

Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой. Кроме того, в принципе возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру.

Примеры категорий

Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.

Group — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру.

VectK — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.

Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.

Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда xy (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).

Способы описания категорий. Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

Диаграмма аксиом категорий

Отношение морфизма обладает свойством двойственности. Для категории C можно определить двойственную категорию CO, в которой:

·  объекты совпадают с объектами исходной категории;

·  морфизмы получаются «обращением стрелок»:

HomC(A, B) ~ BA

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто двойственное явление обозначается тем же термином с приставкой ко-.

 

3      Мощность множества

Мощность – отношение эквивалентности между множествами с точки зрения количества элементов. По этому признаку множества можно объединить в классы эквивалентности по мощности. Классы эквивалентности по мощности называются трансфинитными числами. Классы мощности (и трансфинитные числа) полно упорядочены между собой, причем у любого множества трансфинитных чисел имеется точная нижняя грань.

Если существует биективное отображение между двумя множествами, то их мощности равны. Существуют следующие классы по мощности и примеры для них:

1)      пустое множество – множество без элементов;

2)      конечные множества – множества с конечным числом элементов;

3)      счетные множества – множества, эквивалентные множеству натуральных чисел;

4)      с мощностью континуум – множество вещественных чисел;

5)      кардинальное множество – множество подмножеств континуума. Примером является множество всех функций на множестве вещественных чисел.

6)      и т.д. Мощности больше кардинального имеют достаточно малое применение в математике и тем более в прикладных науках.

 

4      Отношения

4.1      Отношения как функции

Отображение (функция) некоторого достаточно малого количества элементов множества (x1, … xn) на конечное множество R

R(x1, … xn) → R

с малым количеством элементов называется отношением. Ограничение на это количество в большинстве случаев определяется числом 3. Наиболее распространены одноместные, двухместные и трехместные отношения. Количество значений определяется обычно числами 2 и 3, потому что минимальное количество логических значений равно 2: истина - ложь, определено - не определено. Например, двузначным одноместным отношением является отношение "большой". Двухзначными двухместными отношениями являются отношения "меньше или равно", "больше".  Двухзначным трехместным отношением является отношение "находится между". Двухместные отношения традиционно записываются в инфиксной форме: R(x1, x2) ~ x1 R x2. Для многоместных отношений может применяться скобочная запись. Например, множество, состоящее из нескольких элементов, заданных перечислением, записывается в виде M(x1, … xn) ~ {x1, … xn}.

Два множества с установленными отношениями между элементами будут эквивалентными, если существует изоморфное отображение между ними, сохраняющее отношение. Более слабым и менее полезным условием является существование гомоморфного отображения между ними.

Имеются следующие способы представления отношений (более подробно можно посмотреть на сайте http://www.madi.ru/study/kafedra/asu_new/metod_new/mil/, Милов Л.Т):

·         многоместной функцией с конечным множеством значений,

·         правилом, например, многоугольники, имеющие одинаковые цвет и число вершин,

·         перечислением, (например, {1,2} {1,4} {2,5} ...),

·         таблицей (табличное представление),

·         матрицей отношения (или таблицей попарных сравнений),

·         графом (для бинарных отношений).

Эти способы представления отношений, кроме первых двух, в основном применимы в отношении конечных множеств.

Отношения могут обладать множеством классифицирующих свойств. Первыми и, конечно, главными являются "-местность" и "-значность" отношения. Традиционно отношением порядка считается "2-местность" и "1-значность". В частности, отношением порядка является отношение эквивалентности.

4.2      Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности "=" является отношением упорядочения, потому что оно обладает всеми тремя вышеперечисленными свойствами отношения упорядочения, и употребляется также и самостоятельно. Пусть x – элемент или подмножество множества X. Отношение эквивалентности есть отношение между элементами или подмножествами множества, обладающее свойствами:

1)      "xÎ M: x = x (рефлексивность);

2)      "x, y, z Î M: (x = y) Ù (y = z) → x = z (транзитивность);

3)      "x, y Î M: (x = y) →  (y = x);  (симметричность).

Отношение эквивалентности является логическим высказыванием.

Из этих свойств видно, что отношение эквивалентности есть отношение симметричного упорядочения. Отношением эквивалентности на множестве определяется класс эквивалентности. Говорят, что два элемента x1 и x2 принадлежат одному классу эквивалентности, если они эквивалентны.

Эквивалентность не означает тождественность. Действительно, возьмем евклидову плоскость. В качестве элементов множества X возьмем все прямые. Отношением эквивалентности назовем параллельность прямых линий. Тогда все прямые, параллельные некоторой прямой, будут находиться в отношении эквивалентности к ней и друг к другу.

Отношение эквивалентности как отношение упорядочения создает только тривиальную дискретную топологию связанных классом эквивалентности слипшихся точек.

4.3      Отношение упорядочения

Теорию упорядоченных множеств создал Г. Кантор. В 1883 он ввёл понятие вполне упорядоченного множества и порядкового числа, а в 1895 = понятие упорядоченного множества и порядкового типа. В 1906=07 С. О. Шатуновский сформулировал определения направленного множества (у Шатуновского = расположенный комплекс) и предела по направленному множеству (амер. математиками Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом эти же понятия были рассмотрены независимо от Шатуновского, но значительно позднее = в 1922). Общее понятие частично упорядоченного множества принадлежит Ф. Хаусдорфу (1914).

Понятие частично упорядоченного множества является фундаментальным для современной математики и встречается во многих прикладных вопросах. В математике широко используется свойство упорядоченности "меньше или равно" вещественных чисел, в физике понятие причинно-следственной связи "детерминированность" тесно связано с понятием упорядоченности, да и в быту мы часто встречаемся и неосознанно применяем это свойство в отношении объектов действительности. Понятие "упорядочение" относится к операциям типа "отношение упорядочения" со значениями в двухэлементном множестве и поэтому ее можно интерпретировать и как некоторое высказывание.

Важность понятия "упорядочение" возрастает в связи с тем фактом, что множество любой мощности можно совершенно упорядочить. Это верно для любого конечного множества.  По индукции оно верно для множества целых чисел. Т.к. мощность целых чисел счетна, то и любое другое счетное множество можно совершенно упорядочить.

Т.к. мощность множества всех функций на множестве любой мощности со значениями на этом же множестве определяется следующим трансфинитным числом и множество этих функций можно совершенно упорядочить, то по индукции множество любой мощности можно совершенно упорядочить.

4.3.1        Аксиомы

Множество называется частично упорядоченным, если между некоторыми его элементами существуют отношения ≤ ("меньше или равно"), удовлетворяющее следующим соотношениям:

1)      "xÎ M: xx (рефлексивность порядка);

2)      "x, y, z Î M: (xy) Ù (yz) → xz (транзитивность порядка);

3)      "x, y Î M: (xy) Ù (yx) → x = y (антисимметричность порядка).

Отношение упорядочения можно определить как между элементами, так и между элементом и подмножеством и между подмножествами:

(aM1)|"a, bÎM1:(a b)

(M1M2)|"aÎM1, bÎM2:(M1 M2) ® (ab).

Кроме отношения упорядочения , которое назовем прямым, существует отношение обратного упорядочения с символом ≥ ("больше или равно") с теми же свойствами, причем отношения эквивалентности по обеим отношениям упорядочения совпадают.

Отношение, удовлетворяющее условиям рефлексивности и транзитивности, называют предпорядком. Антисимметричный предпорядок — это порядок. Симметричный предпорядок — это эквивалент­ность. Отношение, удовлетворяющее условиям рефлексивности, транзитивности и антисимметричности, также называют нестрогим, или рефлексивным порядком. В качестве альтернативы двухзначному отношению "меньше или равно" можно ввести трехзначные не рефлексивные, но транзитивные отношения "больше" (знак > ~ ù£)) или "меньше" (знак < ~ ù³) или даже 4-значное отношение с использованием дополнительных отношения "не упорядочены" (знак #). Иначе, если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности:

"xù(x < x)

то получим определение антирефлексивного строгого порядка.

Отношение упорядочения является логическим высказыванием, которое может быть истинным или ложным. Ложность двухзначного отношения "меньше или равно" означает не просто "больше", а "больше" или "не упорядочены". В частности, если a и b — действительные числа, то имеет место одно и только из соотношений:

a < b, a = b, a > b.

В случае, если a и b - элементы произвольного частично упорядоченного множества, то существует четвёртая логическая возможность: не выполнено ни одно из указанных трех соотношений. В этом случае элементы a и b называются несравнимыми. Возможность существования несравнимых элементов объясняет смысл термина «частично упорядоченное множество».

Через отношение упорядочения можно определить топологию на множестве. В качестве базы топологии можно взять множество, состоящее из пересечений верхних и нижних конусов сечения (см. далее).

Два упорядоченных множества будут эквивалентными, если существует изоморфное отображение между ними, сохраняющее упорядочение. В силу возможности определения наведенной упорядочением топологии (см. далее) такой морфизм можно назвать гомеоморфизмом.

С отношением упорядочения связано трехместное отношение "находиться между". Пусть a < b < c или c < b < a. Тогда говорится, что элемент b находится между элементами a и c и записывается как <a,b,c> или <c,b,a>.

Для некоторых элементов множества можно определить отношение "следующий элемент" и "предыдущий элемент", непосредственно связанный с отношением упорядочения. Следующим элементом для элемента x называется элемент y: x  y такой, что между x и y не имеется ни одного другого элемента. Предыдущим элементом для элемента x называется элемент y: y  x такой, что между x и y не имеется ни одного другого элемента. Элементы a и b, связанные отношением предыдущий – следующий, называются соседними. Следующих и предыдущих элементов для любого элемента может быть ни одного, один и любое другое количество. Для элементов совершенно упорядоченного множества (см. далее) это количество не более одного. Если их более одного, то они между собой не упорядочены.

Частично упорядоченное множество называется направленным, если для всяких его элементов х и у существует такой элемент z, что zх и zу. Понятие направленного множества позволяет дать весьма общее определение предела. Пусть f(p) - функция, заданная на направленном множестве М; с называется пределом f(p) по направленному множеству М, если для всякого c- < c < c+ найдётся такой p элемент, что для всех p из М таких, что р* > р выполняется неравенство f(p) Î (c-, c+). Это определение позволяет установить все обычные свойства предела и охватывает весьма широкий класс частных случаев.

4.3.2        Ограниченность. Грань множества

Важным свойством множества, также как и любого его подмножества, является его ограниченность.

Пусть M1 – подмножество M и c – элемент множества M. Элемент c называется верхней гранью (супремум ~ supMM1) этого множества, если "c:(c M1), и нижней гранью (инфимум ~ infMM1) этого множества, если "c:(c M1). Если элемент c Î M1, то к определению прибавляется прилагательное "точная". Если для любых двух элементов множества имеются и точная верхняя, и точная нижняя грани, то такое множество называется решеткой. Если это верно и по отношению к непустым подмножествам, то такое множество называется полной решеткой. Каждая полная решетка является решеткой.

По отношению ко всему множеству M точную верхнюю грань называют наибольшим элементом множества и обозначают как правило символом "1" = maxM. Можно также определить максимальный элемент M: это такой элемент, больше которого в множестве M нет.

Можно ввести также и определения для наименьшего и минимального элементов.  Элемент множества M называется наименьшим, если он меньше любого другого элемента M и обозначают как правило символом "0" = minM.. Можно также определить минимальный элемент M: это такой элемент, меньше которого в множестве M нет.

Важно, что в случае, когда M не является линейно упорядоченным, понятия наименьшего (наибольшего) и минимального (максимального) элементов различны. В частности, наименьших (наибольших) элементов всегда не более одного, а для минимальных (максимальных) это не так.

Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его подмножество обладает первым элементом (т. е. элементом, за которым следуют все остальные). Все конечные упорядоченные множества вполне упорядочены. Натуральный ряд, упорядоченный по возрастанию (а также некоторыми др. способами), образует вполне упорядоченное множество. Важность вполне упорядоченных множеств определяется главным образом тем, что для них справедлив принцип трансфинитной индукции (см. Трансфинитные числа).

Теорема (Цермело). Каждое множество может быть вполне упорядочено.

Множество называется индуктивно упорядоченным, если всякое его совершенно упорядоченное подмножество имеет верхнюю грань, или максимальный элемент.

4.3.3        Сечение. Конус сечения

Отношением упорядочения множество M можно разделить на два не пересекающихся подмножества M1 и M2 такие, что:

"a,b:(aÎM1) Ú (bÎM2) ® (ab),

Такое разделение называется сечением множества. За пределами этих двух подмножеств окажутся те элементы, которые упорядочены не со всеми элементами этих подмножеств. Для сечения верно также утверждение с обратным отношением:

"a,b:(aÎM1) Ú (bÎM2) ® (b a),

Подмножество M2 назовем верхним конусом сечения, M1 - нижним конусом сечения.

Множество называется совершенно упорядоченным (другие названия – линейно упорядоченное или цепь) если между любыми его элементами существует отношение упорядоченности.

Отношением упорядочения совершенное множество можно разделить точно на 2 части M1 и M2 такие, что:

"a:(aÎM1) Ú (aÎM2),

"a,b:(aÎM1) & (bÎM2) ® (ab).

Сечение упорядоченного множества можно провести либо по конкретному элементу c, который будет являться верхней гранью M1 или нижней гранью M2, либо без привязки к конкретному элементу. В первом случае существует три возможности для классификации сечений:

1) Элемент c является точной нижней гранью M2, и для этого сечения не существует точной верхней грани M1 (полуоткрытое или дедекиндово сечение)

2) Элемент c является точной верхней гранью M1, и для этого сечения не существует точной нижней грани M2 (полуоткрытое или дедекиндово сечение);

3) Множества M1 имеет точную верхнюю грань и M2 имеет точную нижнюю грань и элемент c принадлежит одному из множеств M1 или M2 (закрытое сечение или скачок)

Более предпочтительным является сечение не по конкретному элементу, а в точном соответствии с определением сечения. В этом случае возможны уже четыре возможности классификации сечения. Первые три те же, оставшаяся такая:

4) Сечение открыто с обеих сторон сечения, т.е. у соответствующих сечений не имеется точной верхней и точной нижней грани (открытое сечение или щель).

По этим признакам можно классифицировать упорядоченные множества.

1)      Любое сечение является закрытым. Такое множество можно назвать дискретно упорядоченным. Любое конечное множество может быть только таким или не упорядоченным;

2)      Любое сечение является полуоткрытым. Такое множество называется плотно упорядоченным. Пример – вещественные числа.

Не существует упорядочения, любое сечение которого открыто.

3)      Если между любыми двумя упорядоченными элементами найдется хотя бы один промежуточный, то такое множество называется полно упорядоченным. Пример – рациональные и вещественные числа.

4)      Эти  определения можно применять для любого подмножества, отрезка и даже локально для внутренней точки x отрезка, его содержащего.

Через отношение упорядочения можно определить топологию на множестве. В качестве предбазы топологии в этом случае можно взять множество, состоящее из всех (верхних и нижних) конусов сечений. В качестве базы топологии можно взять множество, состоящее из пересечений любого конечного числа конусов сечения. Наиболее интересным и инвариантным из них, пожалуй, является определение топологии с базой, полученной из открытых конусов сечений. В противном случае получим тривиальную дискретную топологию, состоящую из вершин (нижних или верхних граней) всех конусов. А такой вершиной может быть любая точка множества.

Кроме сечения с помощью конусов можно определить сечение другим способом.

Отношением упорядочения множество M можно разделить на два не пересекающихся подмножества M1 и M2 такие, что:

"a,b:(aÎM1) Ù (bÎM2) ® (ab) Ú ( a # b).

Подмножества M1 и M2 назовем нижним и верхним полуплоскостями, а само разделение назовем сечением на две полуплоскости. При таком сечении в нижней полуплоскости окажутся все нижние конуса, в верхней – все верхние конуса сечений.

Сечение на две полуплоскости может определять некоторое подмножество M*, каждый элемент которого нижней гранью для некоторых элементов верхней полуплоскости и/или верхней гранью для некоторых элементов нижней полуплоскости. Такое подмножество назовем плоскостью сечения. Элементы ее, принадлежащие нижней полуплоскости, назовем нижней границей, а элементы принадлежащие верхней полуплоскости, назовем верхней границей. Для некоторых сечений такой границы не существует, но для любого упорядоченного множества с мощностью более единицы граница имеется хотя в единичном числе. Полуплоскости с исключенными граничными точками назовем открытыми полуплоскостями.

4.3.4        Сегмент, интервал, отрезок

Сегментом называется множество OM, включающее вместе с любыми двумя ее упорядоченными точками все элементы c, находящиеся между этими точками:

OM : "a,b Î OM, "c (<a, c, b>→ c Î OM)

Сегмент не является совершенно упорядоченным подмножеством. Конус сечения является сегментом.

Сегмент является замкнутым снизу (сверху), если имеется точная нижняя (верхняя) грань этого множества, открытым снизу (сверху), если не имеется точной нижней (верхней) грани. Открытость сегмента снизу обозначается левой круглой скобкой, открытость сегмента сверху обозначается правой круглой скобкой. Замкнутость сегмента снизу обозначается левой квадратной скобкой, замкнутость сегмента сверху обозначается правой квадратной скобкой. Существуют следующие виды сегментов, определяемых подмножествами:

O(M) – открытый с обеих сторон (линия),

O(M] – открытый снизу, закрытый сверху (луч отрицательный)

O[M) – открытый сверху, закрытый снизу (луч положительный),

O[M] – закрытый с обеих сторон (собственно отрезок).

Отрезком называется совершенно упорядоченное, плотное на соответствующем отрезку интервале (которое невозможно дополнить ни одной другой точкой множества) подмножество.

Отрезок O является ограниченным снизу, если найдутся такие элементы M, что

$c Î M , "a Î O, c < a,

и неограниченным снизу в противном случае. То же самое можно сказать относительно ограничения сверху. Подобные же определения имеются и для ограниченности сверху.

Интервалом называется отрезок без граничных точек.

Иногда сегмент можно полностью определить с помощью двух точек – a и b. Это возможно, если точка a является точной нижней гранью сегмента или верхней гранью для меньших элементов, а b является точной верхней гранью сегмента или нижней гранью для меньших элементов. Существуют следующие виды сегментов, определяемых двумя точками:

(a, b) – открытый (интервал),

(a, b] – открытый снизу (полуотрезок – полуинтервал),

[a, b) – открытый сверху (полуотрезок – полуинтервал),,

[a, b]- закрытый (отрезок).

В них элемент при круглой скобке не принадлежит сегменту, а является точной гранью снизу для меньших элементов или сверху для больших элементов. Поэтому определение сегмента через открытость ее грани при точке не означает на самом деле реальную открытость сегмента как отсутствие соответствующей точной грани сегмента. Следовательно, при определении сегмента двумя точками не всегда будет правильно определяться ее открытость или закрытость по грани.

Не любой сегмент можно определить с помощью двух точек. Например, на множестве рациональных чисел интервала между двумя иррациональными числами невозможно определить двумя рациональными числами.

4.3.5        Непрерывность

Точка x имеет бесконечно близкий элемент, если существует отрезок, содержащий ее, и между любым элементом этого отрезка и им существуют и другие точки. Если существует бесконечно близкий элемент сверху, то такая точка называется непрерывной сверху. Если существует бесконечно близкий элемент снизу, то такая точка называется непрерывной снизу. Если существуют бесконечно близкие элементы и сверху, и снизу, то такая точка называется непрерывной. Непрерывная с одной стороны точка может иметь следующий и/или предыдущий элементы.

Отрезок называется непрерывной, если все ее точки – непрерывные. Непрерывный отрезок может быть ограниченным снизу и/или сверху.

Точка называется изолированной, если у него нет бесконечно близких элементов. Множество упорядоченных изолированных точек тоже может быть ограниченным или неограниченным сверху и/или снизу.

4.4      Классификация отношения упорядочения

Упорядоченные множества, имеющие одинаковый порядковый тип, обладают и одинаковой мощностью, так что можно говорить о мощности данного порядкового типа. Конечные упорядоченные множества одинаковой мощности имеют один и тот же порядковый тип, так что каждой конечной мощности соответствует определённый конечный порядковый тип. Положение меняется при переходе к бесконечным множествам. Два бесконечных упорядоченных множества могут иметь одну и ту же мощность, но разные порядковые типы.

Наименьшим упорядоченным множеством является пустое множество.

Все конечные совершенно упорядоченные множества одинакового типа дискретно упорядочены и эквивалентны.

Всякое счетное совершенно упорядоченное множество эквивалентно подмножеству дробных чисел на интервале [0, 1].

Классифицировать произвольное упорядоченное множество очень сложно. Проще классифицировать совершенно упорядоченные множества. Для этого его надо разделить на более простые, почти однородные участки. Такими участками являются ограниченные и не ограниченные, во первых, изолированные точки. Изолированные точки могут отличаться мощностью и типом ограниченности: Nm или просто m – из m элементов,  N+ - ограниченные снизу, N- - ограниченные сверху. Во вторых, непрерывные открытые отрезки. Непрерывные участки сами по себе могут отличаться друг от друга своим типом непрерывности (плотностью, мощностью, и т.д.). Приведем список непрерывных участков: R – рациональные, Q – вещественные, Q-R – вещественные с выколотыми рациональными точками. Порядок расположения таких участков определяет класс упорядочения. Например, простой замкнутый отрезок опишется следующим образом: N1QN1 или 1Q1.

Это первый уровень классификации – уровень упорядоченной прямой суммы классифицирующих признаков. На этом уровне все точки исходного множества эквивалентны с точки зрения теории множеств.

Следующий уровень классификации классифицирует уже это полученное упорядоченное множество "классификатор первого уровня", состоящий из в общем то не эквивалентных точек: каждая точка имеет многозначный функциональный классифицирующий признак. Здесь уже могут появиться классифицирующие признаки типа произведений и степеней простых классифицирующих признаков.

В конце концов получаем совершенно упорядоченную дискретную последовательность максимальных классифицирующих признаков упорядоченного множества. Но нельзя сказать, что мы получим однозначный результат. Для получения однозначного результата необходимо стандартизовать алгоритм классификации. Но существует бесконечное множество множеств, про которые можно сказать только то, что они упорядоченные. Примеры таких множеств – множества, упорядоченные по разному в различных своих областях. Хотя и для них можно придумать классификационный признак – аддитивно (или композиционно) упорядоченные множества.

Классифицирующими признаками отношения упорядочения являются связность (для всех пар элементов множества), полнота, плотность, автоотношение (к самому себе), симметричность, транзитивность, цикличность, однородность и различные формы их отрицания. Возможно большое количество отношений с соблюдением одновременно целого перечня определенных выше простых свойств.

1.      Отношение R называется рефлексивным, если для всех х пара (x, x) входит в R (на нижеследующих рисунках обозначается P).

2.      Отношение R называется симметричным, если всегда, когда пара (x, y) входит в R, то и пара (y, x) входит в R (инверсия R совпадает с R) (на нижеследующих рисунках обозначается C).

3.      Отношение R называется транзитивным, если всегда, когда две пары (x, y) и (y, z) входят в R, то и пара (x, z) тоже входит в R (на нижеследующих рисунках обозначается Tr).

4.      Отношение R называется циклическим, если для любого x0 существует путь x0 R x1 R x2 RR xn RR x0 (на нижеследующих рисунках обозначается Ц),

5.      Отношение R называется однородным, если для любых двух различных элементов x, y существует изоморфное отображение f: f(x) = y, сохраняющее отношение.

Кроме этих, основных, возможно наличие других свойств, противоположных, не совпадающих или с более суженными по сравнению с ними свойствами. Вот некоторые из них:

6.      Отношение R называется антирефлексивным, если для всех х пара (x, x) не входит в R (АР).

7.      Отношение R называется антисимметричным, если в него входит не более одной из каждых двух пар (x, y) или (y, x) (АнтиС).

8.      Отношение R называется асимметричным, если оно и антисимметрично, и антирефлексивно (AC).

9.      Отношение называется связным (полносвязным), если для любых х,  y в него входит хотя бы одна из двух пар: (x, y) или (y, x) (П).

10.  Отношение называется слабосвязным (слабо полносвязным), если для всех неравных х, y в него входит хотя бы одна из двух пар: (x, y) или (y, x) (СП).

11.  Отношение R называется ацикличным, если из наличия какого-либо пути между вершинами соответствующего графа следует отсутствие обратной дуги (обратного пути) между этими вершинами (в графе отсутствуют любые циклы) (АЦ).

12.  Отношение R называется негатранзитивным, если отсутствие дуг от x к y и от у к z приводит к отсутствию дуги от x к z (НТ).

13.  Отношение R называется сильно транзитивным, если оно одновременно транзитивно и негатранзитивно.

 

 

14.  Бинарное отношение R называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

15.  Отношение толерантности (безразличия) определяется наличием свойств рефлексивности и симметричности (Т).

 

 

16.  Доминированием (строгим упорядочением) называется антисимметричное отношение, обладающее свойством антирефлексивности (АР).

17.  Качественным порядком называется отношение, имеющее свойства антирефлексивности, асимметричности и транзитивности. Качественный порядок является транзитивным отношением доминирования.

18.  Слабым порядком называется любое асимметричное негатранзитивное отношение. Другими словами, отношение слабого порядка является частным случаем отношения доминирования, при котором дополнительно требуется негатранзитивность.

19.  Строгим порядком (строгим предпочтением, сильным порядком, строгим линейным порядком) называется антирефлексивное, транзитивное, слабосвязное бинарное отношение. Строгий порядок является частным случаем слабого порядка (строгого частичного предпочтения) с дополнительным условием слабосвязности (СП).

 

 

20.  Квазипорядком (нестрогим частичным предпочтением) называется рефлексивное и транзитивное бинарное отношение.

21.  Отношением нестрогого частичного порядка называется отношение, имеющее свойства рефлексивности, антисимметричности и транзитивности. Нестрогий частичный порядок является антисимметричным квазипорядком

22.  Нестрогим упорядочением называется рефлексивное отношение, обладающее свойством слабосвязности. Нестрогое упорядочение можно определить также как полносвязное отношение.

23.  Бинарное отношение R называется нестрогим качественным порядком, если оно негатранзитивно и полносвязно. Нестрогий качественный порядок является негатранзитивным нестрогим упорядочиванием.

24.  Нестрогим слабым порядком называется полносвязное транзитивное и негатранзитивное отношение. Нестрогим слабым порядком называется полносвязное транзитивное отношение. Нестрогим слабым порядком называется транзитивное нестрогое упорядочение.

25.  Нестрогим порядком (нестрогим линейным порядком) называется антисимметричное, транзитивное, полносвязное бинарное отношение. Нестрогим порядком называется антисимметричный нестрогий слабый порядок. Нестрогим порядком называется антисимметричное нестрогое упорядочение.

 

Обзор свойств некоторых видов отношений.

 

Ссылка на этот материал: mnozhestva.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "десять" умножить на "девять" равно:

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 18 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25