Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: konechnyye_gruppy.htm)
Алгебра конечных групп

1  Конечные группы

Литература

·         Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7

·         Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.. — Мир, 1985.

·         Конечная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.

·         Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

Можно посмотреть также:

·         Классификация простых конечных групп

·         Конечно определённая группа

·         Локально конечная группа

·         Представление группы

1.1      Теорема о классификации простых конечных групп 

Теорема. Любая конечная простая группа это либо одна из 26 спорадических групп, либо принадлежит одному из следующих трёх семейств:

  1. циклические группы \Z_pпростого порядка;
  2. знакопеременные группы An подстановок не меньше, чем 5 элементов;
  3. простые группы типа Ли, а именно:

·        классические группы Ли над конечным полем, а именно, группы Шевалле PSL(n,Fq), PSU(n,Fq), PSp(n,Fq) и PSO(n,Fq);

·        исключительные и скрученные формы групп типа Ли (включая группу Титса).

Теорема о классификации простых конечных групп — теорема теории групп, классифицирующая с точностью до изоморфизма простые конечные группы («элементарные кирпичики», из которых можно построить любую конечную группу, так же, как любое натуральное число можно разложить в произведение простых — см. теорему Жордана-Гёльдера). Считается доказанной в серии работ примерно 100 авторов, опубликованных в основном с 1955 по 1983 годы.

Теорема. Любая конечная простая группа это либо одна из 26 спорадических групп, либо принадлежит одному из следующих трёх семейств:

1.      циклические группы \Z_pпростого порядка;

2.      знакопеременные группы An подстановок не меньше, чем 5 элементов;

3.      простые группы типа Ли, а именно:

·        классические группы Ли над конечным полем, а именно, группы Шевалле PSL(n,Fq), PSU(n,Fq), PSp(n,Fq) и PSO(n,Fq);

·        исключительные и скрученные формы групп типа Ли (включая группу Титса).

Первое семейство простых конечных групп составляют циклические группы (или группы вычетов по модулю) с порядками, представляемыми простыми числами. Их бесконечное множество – столько же, сколько простых чисел.

Можно показать, что группы вычетов по простому модулю – это единственные коммутативные группы. В самом деле, если число элементов коммутативной группы составное, то для любого делителя d группа имеет гомоморфный образ, содержащий ровно d элементов, а т.к. d необязательно равна 1 или n, то эта группа не простая. Таким образом, всякая простая группа, кроме групп вычетов, содержит по крайней мере одну пару элементов a, b: a * b ¹ b * a.

В то время как группа четных перестановок 4-х букв не является простой, все четные перестановки двух, трех, пяти и более букв образуют некоммутативные простые группы. Эти группы  - их бесконечное количество – составляют второе семейство конечных простых групп.

Все остальные бесконечные семейства конечных групп связаны с группами типа Ли.

Всякая некоммутативная  простая группа должна содержать четное число элементов. Из него следует, что единственные простые группы, содержащие нечетное число элементов – это группы вычетов по нечетному простому модулю. Эту теорему доказали Дж.Томсон и У.Фейт из Чикагского университета в 1962 году. Доказательство содержится в более чем 250 журнальных страницах. За эту работу они получили премию Коула по алгебре.

Элементы, обладающие свойством a * a = e называют инволюциями. Инволюции есть в каждой группе с четным числом элементов. поэтому по теореме Томпсона-Фейта всякая некоммутативная группа содержит содержит инволюции. Множество таких элементов называется централизатором инволюций конечной группы.

 

БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕМЕЙСТВА ПРОСТЫХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

НАЗВАНИЕ СЕМЕЙСТВА

ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ

1. циклические группы вычетов Zp по простому модулю p

 p, где p — произвольное простое число.
 Примеры: |
Z2| = 2; |Z3| = 3; |Z5| = 5; ...

2. знакопеременные группы Altn, или чётные перестановки n букв, n>1, n¹4.

 ½(1×2×...×n).
 Примеры: |Alt5| = ½×1×2×3×4×5 = 60; |Alt6| = 360; ...

3. линейные группы Шевалле

An(q), n>1 или q<3

 qn(n+1)/2×(q2–1)×(q3–1)× ... ×(qn+1–1)/d, d = Н.О.Д.(n+1, q–1).
 Примеры: |A1(4)| = 41·(1+1)/2×(41+1–1)/[Н.О.Д.(1+1, 4–1)] = 4×15/1 = 60;
 |A1(5)| = 5×(52–1)/[Н.О.Д.(1+1, 5–1)] = 120/2 = 60; |A2(2)| = 168; ...

4. симплектические группы Шевалле

Cn(q), n>2

 qn²×(q2–1)×(q4–1)× ... ×(q2n–1)/d, d = Н.О.Д.(2, q–1).
Пример: |C3(2)| = 2×(22–1)×(24–1)×(22·3–1)/[Н.О.Д.(2, 2–1)] =
= 512×3×15×63/1 = 1 451 520

ортогональные группы Шевалле

5. Bn(q), n>2 или q>2

6. Dn(q), n>3

 
 qn²×(q2–1)×(q4–1)× ... ×(q2n–1)/d, d = Н.О.Д.(2, q–1).
 qn(n–1)×(qn–1)×(q2–1)×(q4–1)× ... ×(q2(n–1)–1)/d, d = Н.О.Д.(4, qn–1)

исключительные группы Шевалле

7. G2(q), q>1 

8. F4(q) 

9. E6(q) 

10. E7(q) 

11. E8(q) 

 
 q6×(q6–1)×(q2–1)
 q24×(q12–1)×(q8–1)×(q6–1)×(q2–1)
 q36×(q12–1)×(q9–1)×(q8–1)×(q6–1)×(q5–1)×(q2–1)/d, d = Н.О.Д.(3, q–1)
 q63×(q18–1)×(q14–1)×(q12–1)×(q10–1)×(q8–1)×(q6–1)(q2–1)/d, d = Н.О.Д.(2, q–1)
 q120×(q30–1)×(q24–1)×(q20–1)×(q18–1)×(q14–1)×(q12–1)×(q8–1)×(q2–1)

группы Стейнберга

12. 2An(q), n>2 или q>2

13. 2Dn(q), n>3

14. 3D4(q)

15. 2E6(q)

 
 qn(n+1)/2×(q2–1)×(q3+1)×(q4–1)× ... ×(qn+1–(–1)n+1)/d, d = Н.О.Д.(n+1, q+1)
 qn(n–1)/2×(qn+1)×(q2–1)×(q4–1)×(q6–1)× ... ×(q2(n–1)–1)/d, d = Н.О.Д.(4, qn+1)
 q12×(q8+q4+1)×(q6–1)×(q2–1)
 q36×(q12–1)×(q9+1)×(q8–1)×(q6–1)×(q5+1)×(q2–1)/d, d = Н.О.Д.(3, q+1)

16. группы Судзуки

2B2(q), q=2m, m нечётно, m>1

 
 q2×(q2+1)×(q–1)

17. группы Ри

2G2(q), q=3m, m нечётно, m>1

 
 q3×(q3+1)×(q–1)
 Пример: |2G2(33)| = 273×(273+1)×(27–1) = 10 073 444 472; ...

18. 2F4(q), q=2m, m нечётно,

[для q=2, 2F4(2)']

 q12×(q6+1)×(q4–1)×(q3+1)×(q–1)
 [|2F4(2)'| = ½|2F4(2)| = ½×212×(26+1)×(24–1)×(23+1)×(2–1) = 17 971 200]

Полный список простых конечных групп состоит из 18 бесконечных семейств и 26 спорадических групп; указано и число элементов каждой группы. Обозначения бесконечных семейств буквами от A до G взяты из теории групп Ли, названных так в честь С. Ли. Семейства названы именами К. Шевалле, Р. Стейнберга (Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе), М. Судзуки (Иллинойсский университет) и Р. Ри (Университет Британской Колумбии). Спорадические простые группы названы именами Э. Матье, З. Янко (ныне — Гейдельбергский университет), Д. Хигмэна (Мичиганский университет), Ч. Симса (Университет Ратгерса), Дж. Маклафлина (Мичиган), М. Судзуки, А. Рудвалиса (Массачусетский университет в Амхерсте), Д. Хелда (Майнцский университет), Р. Лайенса и М. О'Нэна (Университет Ратгерса), Дж. Конвея (Кембриджский университет), Б. Фишера (Билефельдский университет), К. Харады (Университет шт. Огайо), Дж. Томпсона (ныне — Кембриджский университет) и Р. Грисса-младшего (Мичиганский университет). Отдельные простые группы, входящие в то или иное бесконечное семейство, обозначаются численными индексами n, p и q, где n может быть любым положительным числом, а p — любым простым числом. Индекс q должен равняться числу элементов некоторой конечной числовой системы; можно показать, что в точности одну числовую систему можно построить на множестве из q элементов только тогда, когда q — степень простого числа с целым показателем. Следовательно, обозначения семейств подразумевают простые группы только для значений q, равных 2, 22, 23, ..., 3, 32, 33, ..., 5, 52, 53, ... и т.д., но имеются и другие исключения. Например, линейная группа Шевалле A1(3) исключена из списка условиями на n и q, так как это непростая группа, а именно группа вращений правильного тетраэдра. Число n, которое называется рангом семейства, для исключительных групп Шевалле принимает лишь значения 2, 4, 6, 7 и 8. Группы Ри и группы Судзуки определены только для значений q, равных нечётной степени m числа 2 или 3. Число элементов в каждой группе семейства даётся выражением или числом во втором столбце обеих таблиц. Здесь d обозначает наибольший общий делитель (н.о.д.) двух чисел или выражений, стоящих в скобках сразу после сокращения «Н.О.Д.». В первой таблице символ группы, окружённый вертикальными чёрточками, обозначает число элементов в этой группе.

 

1.2      Список спорадических групп

Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп. Согласно этой теореме, простая конечная группа (в определённом смысле, «кирпичик», из которых «построены» все конечные группы) либо принадлежит, с точностью до изоморфизма, одному из 18 счётных семейств, либо изоморфна одной из 26 спорадических.

Наибольшей из спорадических групп является группа Монстр, подгруппами или факторами подгрупп которой являются все остальные спорадические группы, кроме шести. Эти 6 спорадических групп иногда называют «париями».

СПОРАДИЧЕСКИЕ ПРОСТЫЕ ГРУППЫ

НАЗВАНИЕ ГРУППЫ

ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ

группы Матье

M11 

M12 

M22 

M23 

M24 

 
 24×32×5×11 = 7 920
 26×33×5×11 = 95 040
 27×32×5×7×11 = 443 520
 27×32×5×7×11×23 = 10 200 960
 210×33×5×7×11×23 = 244 823 040

группы Янко

J1 

J2 

J3 

J4 

 
 23×3×5×7×11×19 = 175 560
 27×33×52×7 = 604 800
 27×35×5×17×19 = 50 232 960
 221×33×5×7×113×23×29×31×37×43 ≈ 8.68×1019

группа Хигмэна–Симса HS

 29×32×53×7×11 = 44 352 000

группа Маклафлина Mc

 27×36×53×7×11 = 898 128 000

спорадическая группа Судзуки Suz

 213×37×52×7×11×13 ≈ 4.48×1011

группа Рудвалиса Ru

 214×33×53×7×13×29 ≈ 1.46×1011

группа Хелда He

 210×33×52×73×17 ≈ 4 030 387 200

группа Лайенса Ly

 28×37×56×7×11×31×37×67 ≈ 5.18×1016

группа О'Нэна ON

 29×34×5×73×11×19×31 ≈ 4.61×1011

группы Конвея

C1

C2

C3

 
 221×39×54×72×11×13×23 ≈ 4.16×1018
 218×36×53×7×11×23 ≈ 4.23×1013
 210×37×53×7×11×23 ≈ 4.96×1011

группы Фишера

F22

F23

F24

 
 217×39×52×7×11×13 ≈ 6.46×1013
 218×313×52×7×11×13×17×23 ≈ 4.09×1018
 221×316×52×73×11×13×17×23×29 ≈ 1.26×1024

группа Харады F5

 214×36×56×7×11×19 ≈ 2.73×1014

группа Томпсона F3

 215×310×53×72×13×19×31 ≈ 9.07×1016

группа Фишера F2 («монстрёнок»)

 241×313×56×72×11×13×17×19×23×31×47 ≈ 4.15×1033

группа Фишера–Грисса F1 («монстр», «дружественный гигант»)

 246×320×59×76×112×133×17×19×23×29×31×41×47×59×71 ≈ 8.08×1053

 

 

Теорема о коммутативных (абелевых) группах

Основная теорема (Фробениус): всякая коммутативная конечная группа может быть представлена как прямая сумма p-групп. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.

1.3      Количество различных групп заданного порядка

Большой практический интерес представляет задача определить, сколько различных групп имеет заданный порядок n, сколько из этих групп коммутативны и сколько не изоморфны.

Порядок группы'

Число групп

Коммутативных

Некоммутативных

1

1

1

0

2

1

1

0

3

1

1

0

4

2

2

0

5

1

1

0

6

2

1

1

7

1

1

0

8

5

3

2

9

2

2

0

10

2

1

1

11

1

1

0

12

5

2

3

13

1

1

0

14

2

1

1

15

1

1

0

16

14

5

9

17

1

1

0

18

5

2

3

19

1

1

0

20

5

2

3

21

2

1

1

22

2

1

1

23

1

1

0

24

15

3

12

25

2

2

0

1.4      Число различных n-групп порядка np

·         Число неизоморфных групп порядка n равно 1: группа Cn.

·         Число неизоморфных групп порядка n2 равно 2: группы Cn∙n и Cn´Cn.

·         Число неизоморфных групп порядка n3 равно 5, из них три абелевы группы: Cn∙nn, Cn∙n´Cn и Cn´Cn´Cn и две неабелевы: при n > 2 — E+n∙nn и E-n∙nn; при n = 2 — D4, Q8.

·         Число неизоморфных групп порядка n4 равно 15 при n > 2, число групп порядка 24 равно 14.

·         Число неизоморфных групп порядка n5 равно 2n + 61 + 2GCD(n − 1,3) + GCD(n − 1,4) при p ≥ 5. Число групп порядка 25 равно 51, число групп порядка 35 равно 67.

·         Число неизоморфных групп порядка n6 равно 3n2 + 39n + 344 + 24GCD(n − 1,3) + 11GCD(n − 1,4) + 2GCD(n − 1,5) при n ≥ 5. Число групп порядка 26 равно 267, число групп порядка 36 равно 504.

·         Число неизоморфных групп порядка n7 равно 3n5 + 12n4 + 44n3 + 170n2 + 707n + 2455 + (4n2 + 44n + 291)GCD(n − 1,3) + (n2 + 19n + 135)GCD(n − 1,4) + (3n + 31)GCD(n − 1,5) + 4GCD(n − 1,7) + 5GCD(n − 1,8) + GCD(n − 1,9) при n > 5. Число групп порядка 27 равно 2328, число групп порядка 37 равно 9310, число групп порядка 57 равно 34297.

·         При n ¥ число неизоморфных групп порядка np асимптотически равно p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}.

2  Примеры семейств групп

2.1      Циклическая группа

Группа называется циклической, если существует такой элемент a, что любой элемент b этой группы можно получить с помощью циклической формулы:

b = an

Циклическая группа порядка n обозначается через Cn. Имеются две предельные циклические группы: 1) тривиальная C1 порядка 1 – состоит из единственного единичного элемента, и 2) бесконечного порядка – не имеет определяющих соотношений.

Циклические группы порядка n по другому называются группами вычетов по модулю n.

Если порядок n является простым числом, то группа является простой группой. Действительно, поскольку простое число не имеет других делителей, кроме 1 и самого себя, всякий гомоморфный образ группы вычетов по простому модулю n должен состоять либо из одного, либо из n элементов. а это и означает ее простоту.

Циклическая группа C2 определена в пространстве как операция поворота на 180º или отражения. Отражение может производиться относительно точки, прямой, плоскости. Это единственная абстрактная группа порядка 2.

Циклические группы Cn в двухмерном пространстве определены как группы самосовмещений многоугольников без отражений.

Группы C1 и C2 существенно отличаются от других циклических групп для порядков n > 2: в первой вообще нет связей, во второй граф группы не является направленным.. В силу этого четные группы, особенно с множителем, равным степеням числа 2, требуют особого рассмотрения.

Если порядок группы n не является простым числом, то такая группа может иметь несколько элементов, которые образуют подгруппы этой группы. Порядок таких подгрупп равен делителям порядка группы.

Рис. 2. Графические образы циклических групп C1, C2 и C3.

При n ¥ мы получим бесконечную группу C¥, уже не являющуюся циклической, изоморфную аддитивной группе целых чисел N: {0, ±1, ±2, ±3, … ±n, ...}. У такой группы существует бесконечное множество подгрупп, изоморфных исходной, состоящей из элементов 0, ±1a, ±2a, ±3a, … ±na, ..., где a – образующая подгруппы.

Рис. 2. Графический образ бесконечной группы C¥.

2.2      Симметрическая и знакопеременная группы подстановок

Симметрической группой Sn называется группа, состоящая из всех отображений заданного множества. Группа диэдра D3 является симметрической группой S3. Это группа самосовмещений треугольника. У него всего шесть положений – и этим исчерпываются все возможные самосовмещения. Порядок симметрической группы из n элементов равна факториалу n!

Симметрические группы, за исключением n = 1, не могут быть простыми, потому что у нее всегда имеется собственная подгруппа. Такой подгруппой является знакопеременная группа.

Знакопеременная группа An – это группа, состоящая из всех четных перестановок множества из n элементов. Знакопеременная группа является подгруппой симметрической группы. Множество нечетных перестановок не образует группу. Порядок знакопеременной группы из n элементов равна половине факториала ½n! Знакопеременная группа для всех n ¹ 4 является простой группой.

2.3      Группа диэдра

Группой диэдра Dn называется группа с определяющими соотношениями с образующими a и b:

a2 =1; bn = 1; abab=1.

Диэдр Dn при n > 1 не может быть получен как прямое произведение групп меньшего порядка. Этот тип групп является эксклюзивным для каждого порядка. Только при n = 1: D1 = C1´C1. Группа диэдра не является простой группой.

Диэдр Dn соответствует группе самосовмещений правильного n-угольника с возможностью отражения относительно оси симметрии многоугольника. При отражении изменяется направление положительного вращения многоугольника.

Имеются две предельные группы диэдра: 1) тривиальная D0 порядка 1 – состоит из единственного единичного элемента 1: 12 =1, и 2) бесконечного порядка D¥ – с определяющими соотношениями:

a2 =1; abab=1.

 

Рис. 2. Графические образы диэдров.

Группа D1 состоит из двух элементов 1 и a: a2 = 1. Эта группа изоморфна циклической группе C2.

Группа D2 называется четверной группой и состоит из четырех элементов: D2 = С2´ С2.Представляет собой квадрат со связанными противоположными двусторонними ребрами. Если n>2, то группа диэдра не коммутативна.

Группа диэдра D3 является симметрической группой S3 самосовмещений треугольника.

Графически элементы диэдра представляются вершинами n–угольного цилиндра с противоположными направлениями обхода вершин на его основаниях, соответствующих первому соотношению, с двусторонними ходом на вертикальных ребрах, соответствующих второму соотношению, что соответствует одностороннему обходу ребер боковых граней.

Двойной диэдр DD = Dm определяется как сумма двух одинаковых диэдров, связанных между собой подгруппой C2 во взаимно противоположных направлениях. Например, двойной диэдр DD3 порядка 12:

Можно также выделить класс диэдров произвольной степени Dmn (не Dnm), где m определяет группу многомерного ненаправленного куба степени m, а n – порядок элементарного циклического элемента диэдра. В таком диэдре любые две соседние диэдрические элементы связаны противонаправленно, как в простом стандартном диэдре.

2.4      Группы подстановок (перестановок)

Существуют также группы перестановок (или подстановок) M. Любая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок. Группа перестановок получается как биективное отображение конечного множества на себя. Ее можно записать в виде двойной строки, где верхняя строка соответствует аргументу, а нижняя строка – значению перестановки. Любую группу перестановки можно определить как произведение независимых циклов, не содержащих общих членов:

Цикл, в который входят только два члена, называется транспозицией.

Группа перестановок не обязательно определяется независимыми циклами. Но произведения независимых циклов перестановочны, произведения зависимых циклов могут быть не перестановочными. Можно показать, что с помощью транспозиций (1,a1)(1,a2)…(1,an) можно определить любую перестановку.

Перестановка называется четной, если число транспозиций в любом из ее представлений четно. В противном случае называется нечетной.

Любая перестановка определяет некоторую группу и может считаться ее образующей. Любая группа перестановок циклическая.

Порядок группы перестановок может быть и бесконечной.

2.5      Группы кристаллических решеток

(Использован материал из Википедии — свободной энциклопедии).

Кристалли́ческая решётка вспомогательный геометрический образ, вводимый для анализа строения кристалла. Решётка имеет сходство с канвой или сеткой, что даёт основание называть точки решётки узлами. В зависимости от типов химической связи между узлами различают следующие типы решёток:

  • ионные,
  • атомные,
  • молекулярные,
  • металлические.

Решёткой является совокупность точек (атомов), которые возникают из отдельной произвольно выбранной точки кристалла под действием группы трансляции. Это расположение замечательно тем, что относительно каждой точки все остальные расположены совершенно одинаково. Применение к решётке в целом любой из присущих ей трансляций приводит к её параллельному переносу и совмещению. Для удобства анализа обычно точки решётки совмещают с центрами каких-либо атомов из числа входящих в кристалл, либо с центрами молекул. Кроме трансляции, в решетках могут присутствовать симметрии относительно отражений и вращений. Отражения могут происходить относительно точки, линии, плоскости. Вращения в кристаллических решетках допустимы не любые а только определенного порядка, а именно порядка 2 – на 180°, 3 - 120°, 4 - 90° и 6 - 60°.

Существует огромное количество кристаллических структур. Их объединяет главное свойство кристаллического состояния вещества — закономерное положение атомов в кристаллической решётке. Одно и то же вещество может кристаллизоваться в разных кристаллических решётках и обладать весьма различными свойствами (классический пример графит — алмаз). В случае простых веществ это явление называется аллотропией, в общем случае любых химических соединений — полиморфизмом. В то же время, разные вещества могут образовывать однотипные, или изоморфные, решётки, как, например, решётки многих металлов: меди, алюминия, серебра, золота. Иногда происходит замещение атомов в кристаллической решётке на атомы другого химического элемента с образованием твёрдого раствора.

В зависимости от пространственной симметрии, все кристаллические решётки подразделяются на семь кристаллических систем. По форме элементарной ячейки они могут быть разбиты на шесть сингоний. Все возможные сочетания имеющихся в кристаллической решётке поворотных осей симметрии и зеркальных плоскостей симметрии приводят к делению кристаллов на 32 класса симметрии, а с учётом винтовых осей симметрии и скользящих плоскостей симметрии на 230 пространственных групп.

Помимо основных трансляций, на которых строится элементарная ячейка, в кристаллической решётке могут присутствовать дополнительные трансляции, называемые решётками Браве. В трёхмерных решётках бывают гранецентрированная (F), объёмноцентрированная (I), базоцентрированная (A, B или C), примитивная (P) и ромбоэдрическая (R) решётки Браве. Примитивная система трансляций состоит из множества векторов (a, b, c), во все остальные входят одна или несколько дополнительных трансляций. Так, в объёмноцентрированную систему трансляций Браве входит четыре вектора (a, b, c, ½(a+b+c)), в гранецентрированную — шесть (a, b, c, ½(a+b), ½(b+c), ½(a+c)). Базоцентрированные системы трансляций содержат по четыре вектора: A включает вектора (a, b, c, ½(b+c)), B — вектора (a, b, c, ½(a+c)), а C — (a, b, c, ½(a+b)), центрируя одну из граней элементарного объёма. В системе трансляций Браве R дополнительные трансляции возникают только при выборе гексагональной элементарной ячейки и в этом случае в систему трансляций R входят вектора (a, b, c, 1/3(a+b+c), —1/3(a+b+c)).

Гранецентрированная

Объёмноцентрированная

Базоцентрированная

Примитивная

Рис. 3. Решётки Браве.

В 1943 году А. Ф. Капустинский для приближенного теоретического вычисления ионной решётки предложил формулу[1]:

~\mathrm{Q=\frac{281,2\cdot Z_1\cdot Z_2\Sigma n}{r_1+r_2}\cdot \bigg(1-\frac{0,345}{r_1+r_2}\bigg),}ккал/г·форм

где ~\mbox{Z}_1 и ~\mbox{Z}_2 — заряды ионов; ~\mbox{r}_1 и ~\mbox{r}_2 — радиусы ионов; ~\mathrm{\Sigma n} — сумма ионов, которая образует элементарную ячейку (формулу кристалла).

2.5.1        Классификация решёток по симметрии

Сингонии:

·         триклинная сингония — наименьшая симметрия, нет одинаковых углов, нет осей одинаковой длины;

·         моноклинная сингония — два прямых угла, нет осей одинаковой длины;

·         ромбическая сингония — три прямых угла (поэтому ортогонально), нет осей одинаковой длины;

·         гексагональная сингония — две оси одинаковой длины в одной плоскости под углом 120°, третья ось под прямым углом;

·         тетрагональная сингония — две оси одинаковой длины, три прямых угла;

·         тригональная сингония — три оси одинаковой длины и три равных угла, не равных 90°;

·         кубическая сингония — высшая степень симметрии, три оси одинаковой длины под прямым углом.

Классификация по симметрии

Классификация по Браве

триклинная сингония
(none)

примитивная

 

Triclinic

моноклинная сингония
(1 diad)

примитивная

базоцентрированная

 

Monoclinic, simple

Monoclinic, centered

ромбическая сингония
(3 perpendicular diads)

примитивная

базоцентрированная

объёмноцентрированная

гранецентрированная

Orthorhombic, simple

Orthorhombic, base-centered

Orthorhombic, body-centered

Orthorhombic, face-centered

гексагональная сингония
(1 hexad)

 

базоцентрированная

 

Hexagonal

тригональная сингония
(1 triad)

примитивная

 

Rhombohedral

тетрагональная сингония
(1 tetrad)

примитивная

 

объёмноцентрированная

 

Tetragonal, simple

Tetragonal, body-centered

кубическая сингония
(4 triads)

примитивная

 

объёмноцентрированная

гранецентрированная

Cubic, simple

Cubic, body-centered

Cubic, face-centered

Рис. 4. Классификация кристаллических решеток по Браве.

 

Простейшие кристаллические решётки

Основная статья: Список структурных типов

Плотнейшую гексагональную упаковку имеет более 30 чистых элементов, например: бериллий, кадмий, титан и др. Особенно она характерна для металлов.

2.5.2        Решётка алмаза

Решётка алмаза представляет собой две кубические гранецентрированые решётки Браве, сдвинутые на четверть длины пространственной диагонали куба. Кроме алмаза этой решёткой обладают такие химические элементы как кремний, германий, а также одна из аллотропных модификаций олова, так называемое серое олово.

2.5.3        Литература

·         Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 3-е, дополненное. — М.: Наука, 1976. — 584 с. — («Теоретическая физика», том V). — Глава XIII

·         Н. Ашкрофт, Н. Мермин Физика твёрдого тела. Том I.

·         Ф. Ф. Греков, Г. Б. Рябенко, Ю. П. Смирнов Структурная кристаллография — Л.:издательство ЛГПИ, 1988.

2.6      Группы многоугольников и многогранников

Группы многоугольников являются группами движений плоских правильных многоугольников произвольного порядка и изоморфны циклическим группам.

Группы многогранников являются группами движения трехмерных фигур и определяются вращениями  и отражениями правильных многогранников в трехмерном пространстве. Такие группы представляют собой группы движений правильных многогранников. Их всего 5: тетраэдра, гексаэдра (куб), октаэдра, додекаэдр, икосаэдра. Их также называют Платоновыми телами:

Рис. 5. Правильные многогранники или Платоновы тела.

 

Группы многогранников в своих движениях ограничены свойствами пространства, в которую они вложены, поэтому у них имеются только два вида групповых движения – вращение и отражение. Группа тетраэдра A4 имеет порядок 12, группы гексаэдра (куб) и октаэдра имеют порядок 24, группы додекаэдра и икосаэдра имеют порядок 60.

Название многогранника

Порядок группы симметрии

В

(вершины)

Р

(ребра)

Г

(грани)

В+Г-Р=2

(формула Эйлера)

Вид

грани

Правильный тетраэдр

12

4

6

4

2

Правильный

треугольник

Правильный октаэдр

24

6

12

8

2

Правильный

треугольник

Правильный икосаэдр

60

12

30

20

2

Правильный

треугольник

Правильный гексаэдр (куб)

24

8

12

6

2

Правильный квадрат

Правильный додекаэдр

60

20

30

12

2

Правильный пятиугольник

 

Кроме групп правильных многогранников, имеются также группы полуправильных (не совсем правильных) и звездчатых многогранников. Полуправильные многогранники называются Архимедовыми телами. Они получаются отрезанием вершин правильных многогранников таким образом, что получающиеся в результате грани имеют форму правильных многоугольников. Первый способ – отрезание примерно на расстоянии ⅓ от вершин. При этом получаются Платоновы тела 1-го рода. Группы многогранников при этом остаются прежними:

Рис. 5. Полуправильные многогранники или усеченные Платоновы тела 1-го рода.

Второй способ – отрезание на расстоянии ½ от вершин. При этом получаются Платоновы тела 2-го рода. Группы многогранников при этом остаются прежними. При этом тетраэдр остается тетраэдром, а куб и октаэдр переходят в кубооктаэдр, додекаэдр и икосаэдр переходят икосододекаэдр:

 

Рис. 5. Полуправильные многогранники или усеченные Платоновы тела 2-го рода.

Усекая кубооктаэдр примерно на ⅓ от вершины, мы можем получить Платоново тело 3-го рода – ромбокубооктаэдр, а усекая ее же на ½, получим ромбоусеченный кубооктаэдр:

 

Рис. 5. Полуправильные многогранники или усеченные Платоновы тела 3-го рода от усеченного кубооктаэдра.

Подобным же образом можно усечь и икосододекаэдр, при этом получим ромбоикосододекаэдр и ромбоусеченный икосододекаэдр.

Рис. 5. Полуправильные многогранники или усеченные Платоновы тела 3-го рода от усеченного икосододекаэдра.

Кроме выпуклых многогранников, на основе Платоновых тел можно получить и различные не выпуклые звездчатые многогранники: трехмерный крест, звездчатый октаэдр, большой додекаэдр, малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр.

Звёздчатый многогранник — это выпуклый пирамидальными формами многогранник. Звёздчатые формы делятся на неправильные многогранники (подавляющее большинство) и полуправильные, именуемые в дань исследовавшим их математикам "телами Кепплера-Пуансо". Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Формы многогранников широко используются в декоративном искусстве, в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений и в архитектуре.

First stellation of octahedron.png

First stellation of dodecahedron.png

Second stellation of dodecahedron.png

Third stellation of dodecahedron.png

Sixteenth stellation of icosahedron.png

First stellation of icosahedron.png

Рис. 5. Полуправильные многогранники или звездчатые Платоновы тела.

Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например Снежинки — это плоские проекции звёздчатых многогранников, а некоторые молекулы и подавно имеют правильные структуры обьёмных фигур. Есть много видов звёздчатых многогранников. Наиболее известные - это трехмерный крест и 7 тел Кепплера-Пуансо: Стэлла Октангула, 3 звёздчатые формы икосаэдра и 3 звёздчатые формы додекаэдра. Они получены путём пересечения продлённых граней правильных октаэдра, икосаэдра и додекаэдра соответственно.

В пространствах большей размерности существуют свои группы вращений, которые могут быть определены вращениями и отражениями своих «многогранников».

Литература.

Можно посмотреть сайт http://wenninger.narod.ru/

2.7      Группы ортогональных базисов

Группы ортогональных базисов размерности n имеют всего 2n элементов. Из них 2 элемента составляют циклическую группу порядка 2 – эта группа обычно состоит из  элементов {1,-1} и n-1 циклических групп in порядка 4 или 2, пересекающихся с первой группой на элементах ±1:

en2 = ±1,

enem ± emen = 0,

enem = ±ek.

Эти соотношения задаются таблицей умножения элементов группы и на месте знака ±  первого соотношения для наиболее изучаемых типов групп стоит знак "-", а второго соотношения - знак "+". Для гиперболических чисел – наоборот.

Не всякие множества ортогональных базисов с операцией умножения являются группами, а только базисы ассоциативных гиперкомплексных чисел. Но для некоторых множеств базисов справедливы свойства частичной ассоциативности. Конечно, это уже не группы, а просто моноиды. Приведем примеры групп ортогональных базисов.

Группа базиса вещественного числа – это циклическая группа порядка 2 ~ {1,a} и состоит из 2-х элементов {+1, -1}: a ~ -1; a2 = -12 =1:

 

Рис. 6. Группа базиса вещественного числа является циклической группой порядка 42.

 

Группа базиса комплексного числа – это циклическая группа порядка 4 и состоит из 4-х элементов {+1, +i, -1, -i} ~ {+1, a,  a2, a3}:-12 = 1, i2 = -1. Граф этой группы представляет собой частично направленный тетраэдр:

 

 

 

 

 

Рис. 7. Группа базиса комплексного числа является циклической группой порядка 4.

Группа базиса кватерниона – это группа порядка 8 и состоит из восьми элементов {+1, +i, +j, +k, -1, -i, -j, -k }. Эта группа дает вращения в 3- и 4-мерном пространствах. Его образующие:

-12 =1

i2 = j2 = k2 = ijk = -1;

Группа бикватерниона имеет порядок 16.

Группа октавы имеет порядок 32.

Группа чисел Клиффорда и гиперболических чисел размерности n имеет порядок 2n.

Ссылка на этот материал: konechnyye_gruppy.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 35 to erect in degree "ноль" =

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 15 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25