Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: konechnyye_gruppy_primery.htm)
Алгебра групп

1      Анализ семейств конечных групп

Таблицы получены программой с полным перебором возможных таблиц с проверкой на биективности (полноты) и ассоциативности. В таблицах умножения числа соответствуют элементам группы. Отрезок без направления соответствует подгруппе с порядком 2 (два -  двунаправленному ребру графа группы).

Необходимо отметить, что для любого целого натурального числа n имеется хотя бы одна циклическая группа порядка n. Для простых чисел n имеется точно одна группа и соответствующая таблица умножения. Для не простых чисел имеется более одной группы и таблицы умножения.

Также можно отметить, что число 2 и ее степени имеют свои особенности по сравнению с другими простыми числами, если являются множителями составного числа, определяющего порядок группы. Об этом можно догадаться уже из того, что C2 = D2.

Свои особенности имеются и для случаев, когда какое-то число входит в разложение порядка группы в степени (p-группы).

Даже из малого количества примеров видно, как резко растет число неизоморфных групп с величиной порядка, когда порядок - составное число. Полной классификации конеч­ных групп пока не существует. Однако более частные задачи классификации решены. Для примера приведем без доказательств две классификационные теоремы: одну срав­нительно простую и одну очень сложную.

1). Конечные подгруппы собственных вращений трехмерного пространства ис­черпываются списком:

Cn,Dn,T,O,Y.

В списке имеется две серии Cn,Dn с произвольным n. Остальные три группы - группы симметрии правильных многогранников: T - тетраэдра, O - октаэдра, Y - икосаэдра. Такие группы называются спорадическими, потому что они не входят ни в какие серии. Правильных многогранников всего 5, все они изображены на рис. 2.2. Если соединить центры граней куба получится октаэдр, поэтому куб и октаэдр называются дуальными многогранниками. Икосаэдр дуален додекаэдру, а тетраэдр дуален сам себе.

Рис. 2.2: Выпуклые правильные многогранники (платоновы тела): тетраэдр, октаэдр, куб (гексаэдр), додекаэдр и икосаэдр.

Дуальные многогранники имеют одинаковую симметрию, поэтому в списке только 3 группы много­гранников T,O, Y. Элементарное доказательство можно найти, например, в [17].

Группы Q и W не могут быть реализованы как группы симметрии геометрических тел.


2). Группа, которая не содержит инвариантной подгруппы, называется простой. Полный список простых конечных групп состоит из 18 серий и 26 спорадических групп. Задача классификации решена коллективными международными усилиями только в1981 году. Доказательство этой теоремы, потому что оно занимает 15 тыс. страниц. Порядок самой большой спорадической простой группы — “чудовища” Фишера примерно равен 1054.

1.1      Анализ простых групп вычетов (порядка 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …)

Имеется всего одна группа и одна таблица умножения для каждой группы, порядок которой определяется простым числом, соответствующие циклической группе перестановок Cn порядка n. Простыми числами среди первых ста являются 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 87, 89, 97. Для групп порядка 1, 2, 3 и 5 приведем нормализованные таблицы умножения и их графы. Таблицы умножения и графы у них у всех строятся по одной схеме:

 

1

 

1

2

 

1

2

3

 

1

2

3

4

5

 

 

2

1

 

2

3

1

 

2

3

4

5

1

 

 

 

 

 

3

1

2

 

3

4

5

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1

2

3

4

 

 

Рис. 11. Таблицы умножения и графы (неполные) первых четырех простых групп.

 

Графы этих групп: при n = 1 - это просто точка, при n = 2 – это просто ненаправленный отрезок прямой, при n > 2 – это просто n элементов, соединенные направленной замкнутой линией, составляющей многоугольник.

Определяющее соотношение для этих групп: 2n = 1. Группы коммутативные. Из графа видно, что группа C2 одновременно является группой диэдра D1.

Единичный след по диагонали у нечетных простых групп может быть только 1, у группы D1 след равен 2.

1.2      Анализ нечетных групп Gn·m·…·k с порядком, полученным как произведение нескольких взаимно простых чисел nm≠…≠k≠2

Имеется единственная таблица умножения для таких групп Gn·m·…·k – это циклическая группа Cn·m·…·k прямого произведения групп Cn´Cm´´Ck или группа движений nm∙…∙k -угольника Cn·m·…·k.

1.3      Анализ простых степенных групп Cnp

Более общим и более сложным является случай, когда порядок группы — степень простого числа; такие группы принято называть p-группами.

1.4      Анализ простых групп Cn2: G9, G25, G49

Число неизоморфных групп порядка n2 равно 2: группы Cn2 и Cn´Cn.

Такие группы похожи на предыдущие, но в силу взаимной непростоты сомножителей, точнее, равенства n = n, появляется еще одна группа Cn2 = Cn´Сn. Ее нельзя свести к циклической группе Cnn. Например, для n = 3 эта группа имеет уже два графа движений, а не один (см. для примера группу G9). Это верно и для всех простых n > 3.

1.5      Анализ четных групп G2n при простом n

Возможны по крайней мере две группы и две таблицы умножения четных групп G2n:

1) это циклическая группа C2n = C2´Cn как произведение групп G2 и Gn = G2´Gn – это с двумя соосно направленными одинаковыми связанными графами. Такая группа одновременно является и группой призмы. Группа циклическая определяет группу многоугольника. Единичный след по диагонали равен 2.

2) группа диэдра Dn с противоположно направленными одинаковыми связанными графами:

 

Рис. 15. Схема образования групп G2n. Эллипсы показывают графы исходных групп Gn, причем стрелки показывают их взаимную ориентацию. Левый рис. показывает образование группы при соосной ориентации исходных групп, правый – при противоположной ориентации образующих групп. Вертикальные линии обозначают группу C2, связывающую эти две составляющие.

 

Для групп G2, G4 и G6 это соблюдается точно. Для группы G2 эти группы совпадают. Если в разложении общего порядка 2n число n – четное, то порядок группы пропорционален 4: C2n = C2∙2m =  C4m, и поэтому существуют и другие виды групп, наведенные группой порядка 4. Единичный след по диагонали у циклических групп равен двум: 12 = n2 = 1, у.

Группа диэдра определяет группу движений многоугольной призмы – вращения и переворачивание. Единичный след по диагонали равен n + 2.

Имеется по крайней мере две группы и две таблицы умножения четных групп G2n – это циклическая группа C2n и группа диэдра Dn. Для групп G2, G4 и G6 и далее это соблюдается точно.

1.6      Анализ групп G4n с порядком, кратных числу 4: G4n

Возможны по крайней мере пять группы и пять таблиц умножения четных групп G2n для простого n:

1) циклическая группа порядка C4n: a4n = 1,

2) группа 2n-угольной призмы P2n = C2´C2n: a2 = b2n = aba-1b-1 = 1,

3) группа D2´Cn:

4) группа 2n-угольного диэдра D2n: a2 = b2n = (ab)2 = 1.

5) двойной диэдр Dn2

Две последние группы совпадают для всех n ≠ 2. Кроме этого, возможно, существуют другие, эксклюзивные, группы. Таким образом, возможно существование до пяти групп.

1.7      Анализ групп G6n с порядком, кратных числу 6

Возможны по крайней мере пять групп и пять таблиц умножения четных групп G6n для простого n. Они определяются разложениями порядка 6n = 2´3n = 3´2n = 2´3´n. Свои особенности проявятся при равенстве n 2 или 3:

1)      C6nциклическая группа,

2)      C3n´C2 – прямое произведение групп,

3)      C6´Cn – прямое произведение групп,

4)      Cn´C3´C2 – прямое произведение групп,

5)      D3n - группа диэдра.

2      Анализ конкретных конечных групп

2.1.1              Анализ групп G1, G2, G3, G5, … G31

Имеется всего по одной – циклической – группе с порядками 1, 2, 3, 5, 7, 111, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и т.д. (см. п. 3.1). Графическое представление первой группы состоит из одного точки, представляющего единичный элемент, вторая - из двух элементов, соединенных линией. Первые две группы обладают не направленным графом представления группы, все остальные направленными графами в виде многоугольников.

 {}

 

2.1.2        Анализ группы G4

Имеется всего две группы и две таблицы умножения порядка 4 G4, соответствующие группе диэдра D2 = C2´C2 и циклической группе C4. Группы коммутативные, не простые.

 

1

2

3

4

 

1

2

3

4

2

1

4

3

 

2

3

4

1

3

4

1

2

 

3

4

1

2

4

3

2

1

 

4

1

2

3

Диэдр D2

 

Циклич.группа C4

Рис. 16. Таблицы умножения групп G4.

 

Граф первой группы – это просто квадрат. Определяющее соотношение этой группы – это a2 = b2 = 1. Эта группа является одновременно диэдром D2. У него есть специальное название – четверная группа.

Рис. 17. Графы групп G4.

 

Несмотря на то, что группы призмы и диэдра для G4 совпадают, циклическая группа  C4 отличается от них в силу особенности числа 2 – ее четности. Поэтому существует еще одна группа порядка 4 – это ориентированный квадрат. Определяющее соотношение этой группы – a4 = 1. Эта группа также определяет группу базисных нормированных элементов комплексных чисел: {i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1}:

Четверна́я гру́ппа Кле́йнагруппа четвёртого порядка, играет важную роль в высшей алгебре. Обозначается V4. Является прямым произведением циклических групп второго порядка C2 × C2. Представляет собой простейшую группу диэдра (D2)[2]. Была введена в математику Феликсом Клейном в 1884 г.[5] .

Свойства.

Является наименьшей по порядку нециклической группой.

Любая группа четвертого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна.

Симметрическая группа S4 имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппызнакопеременную группу A4 и четверную группу Клейна D2, состоящую из подстановок ( ), (12)(34), (13)(24), (14)(23)[2].

Данная группа встречается и во многих других разделах математики. Примеры изоморфных ей групп:

Приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7.

Группа самосовмещений или поворотов ромба (в пространстве)[3].

Группа поворотов тетраэдра на угол π вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом)[4].

2.1.3        Анализ группы G6

Имеется всего две группы и две таблицы умножения порядка 6 = 2 ∙3:

1) G6, соответствующие циклической группе C6 и

2) группе диэдра D3 = C2´C3 (~ S3).

Группа C6 коммутативная, D3 – не коммутативная. Таблиц умножения, выделяющих какой-либо структурный компонент группы, несколько. Среди них имеются изоморфные (эквивалентные), поскольку существенно различных среди них только 2. Для данной размерности рассмотрим различные изоморфные варианты таблиц умножения для примера.

Для группы  порядка 6 возможны три циклических варианта создания таблиц умножения порядка 6 в соответствии с возможными цикличностями формата 2´3, 3´2, 6´1 с единичным следом 2 и еще один дополнительный не эквивалентный им циклический вариант формата 3´2 порядка 3 с единичным следом 4:

1

2

3

4

5

6

 

1

2

3

4

5

6

 

1

2

3

4

5

6

 

1

2

3

4

5

6

2

1

4

3

6

5

 

2

3

1

5

6

4

 

2

3

4

5

6

1

 

2

3

1

5

6

4

3

4

5

6

1

2

 

3

1

2

6

4

5

 

3

4

5

6

1

2

 

3

1

2

6

4

5

4

3

6

5

2

1

 

4

5

6

2

3

1

 

4

5

6

1

2

3

 

4

6

5

1

3

2

5

6

1

2

3

4

 

5

6

4

3

1

2

 

5

6

1

2

3

4

 

5

4

6

2

1

3

6

5

2

1

4

3

 

6

4

5

1

2

3

 

6

1

2

3

4

5

 

6

5

4

3

2

1

Треугольная призма

 

Шестиугольник

 

Диэдр D3

Рис. 18. Таблицы умножения групп G6. Первые три таблицы представляют группу C6, последняя – группу D3.

Первая таблица состоит из явно обозначенных ячеек 2´2. Четвертая – из одной ячейки 6´6, остальные состоят из ячеек 3´3. Эти таблицы не исчерпывают всех возможных таблиц умножения, но они являются представителями их классов. Первая, вторая и третья таблицы эквивалентны между собой и эквивалентны с циклической группой C6 порядка 6, четвертая – отлична от них и является таблицей умножения диэдра D3.

Первая таблица геометрически определяет призму с двумя движениями – поворот вокруг оси и отражение относительно центральной плоскости.

Вторая таблица эквивалентна первой таблице, только с другой нумерацией элементов.

Третья таблица имеет очень наглядную таблицу умножения. Геометрически эта таблица определяет вращение правильного шестиугольника. У него шесть положений. Среди ее движений имеются, кроме движений порядка 6, движения порядка 3 и 2 (выделены штриховой линией: порядка 3 – длинная штриховка, порядка 2 – короткая штриховка).

Рис. 19. Графы, представляющие первые три таблицы умножения.

 

Несмотря на то, что эти два рисунка очень разные, они дают одну и ту же группу. Циклическая группа порядка 6 в ней идет по диагоналям боковых граней в выбранном направлении (например, по часовой стрелке). Циклическая группа порядка 2 есть отражение относительно центральной плоскости. Циклическая группа порядка  3 – поворот по часовой стрелке вокруг оси. Движение 4 = 2·3, 5 = 3·3, 6 = 2·5 = 3·2·3.

Определяющим соотношением циклической группы является выражение a6 = 1.

Для циклической группы С6 имеются вариации таблиц умножения, отличающиеся порядком элементов в кластерах (выделены цветом):

 

1

2

3

4

5

6

 

1

2

3

4

5

6

 

1

2

3

4

5

6

2

1

4

3

6

5

 

2

1

4

3

6

5

 

2

1

4

3

6

5

3

4

5

6

2

1

 

3

4

6

5

1

2

 

3

4

6

5

2

1

4

3

6

5

1

2

 

4

3

5

6

2

1

 

4

3

5

6

1

2

5

6

2

1

4

3

 

5

6

1

2

4

3

 

5

6

2

1

3

4

6

5

1

2

3

4

 

6

5

2

1

3

4

 

6

5

1

2

4

3

Рис. 20. Другие вариации первых трех таблиц умножения.

 

Но все они эквивалентны предыдущим и получаются перестановкой строк и столбцов в парах  3,4 и/или 5,6 или пар столбцов и строк: 3,4 на 5,6 и наоборот. Следовательно, все они эквивалентны.

Все эти варианты эквивалентных таблиц умножения даны только для примера, чтобы показать, что есть эквивалентные таблицы умножения и что эквивалентные таблицы получаются перенумерацией элементов группы.

Рассмотрим еще и четвертую таблицу умножения с циклом 3´2 (3+3) из рис. 18, определяющая диэдр:

 

1

2

3

4

5

6

2

3

1

5

6

4

3

1

2

6

4

5

4

6

5

1

3

2

5

4

6

2

1

3

6

5

4

3

2

1

Рис. 21. Таблица умножения диэдра D3.

 

Эта таблица не эквивалентна ни одной из предыдущей группы таблиц, хотя бы потому, что на этой нет циклических путей порядка 6. Эти таблицы отличаются от предыдущих также единичным следом по диагонали - он равен 4. Нарисуем пути для этой таблицы. Здесь явно видна структура диэдра D3. Геометрически это повороты 3-гранной призмы с переворотом вокруг одной из высот треугольника центрального сечения (рис.17а):

 

Рис. 22. Графы движений диэдра D3. Определяющие соотношения для диэдра:

a3 = b2 = (ab)2 = 1.

Таким образом, мы нашли, что имеется всего 2 различных типа групп шестого порядка:

1)      Циклическая группа C6 (а также группа C2´C3 или лист Мебиуса LM3 - все они эквивалентны).

2)      Группа диэдра D3

2.1.4        Анализ группы G8

Число 8 можно получить следующими способами: 8 = 2´2´2 = 2´4. Для групп порядка 8 возможны 5 вариантов групп:

1) циклическая группа порядка C8: a8 = 1,

2) 4-угольная призма C2´C4 = P4: a2 = b4 = aba-1b-1 = 1,

3) группа диэдра D4: a2 = b4 = (ab)2 = 1,

4) кубический диэдр DDDn ~ C2´C2´C2: a2 = b2 = c2 = 1,

5) кватернион Q: a4 = b4 = (ab)4 = 1.

Первые 4 типа получаются удвоением групп порядка 4, пятая – кватернион – эксклюзивная группа.  Нарисуем их графические образы:

 

Рис.23. Графы групп порядка 8.

 

Все группы не простые. Во всех группах есть подгруппы порядка 2 и 4, и только в группе C8 есть цикл порядка 8. В третьей группе имеется три двойных независимых цикла, и больше нигде такого нет. В пятой есть два двойных цикла.

Определяющие соотношения:

1.      Циклическая группа C8: a8 = 1.

2.      4-угольная призма C2´C4: a2 = b4 = aba-1b-1 = 1.

3.      Кубическая группа C2´C2´C2: a2 = b2 = c2 = (ab)2 = (ac)2= (bc) = 1.

4.      Группа диэдра D4: a2 = 1, b4 = 1, abab = 1.

5.      Кватернион Q: a4 = b4 = (ab)4

Группа кватерниона определяет группу базисных нормированных элементов гиперкомплексных чисел размерности 4: {1, i, j, k, -1, -i, -j, -k}.

2.1.5        Анализ группы G9

Для группы порядка 9 = 32 возможны 2 варианта:

1) циклическая группа порядка 9 C9: a9 = 1 и

2) группа  C32  = C3´C3, в которой нет циклов порядка 9: все циклы имеют порядок 3. В обеих группах имеются подгруппы порядка 3 C3. Нарисуем их графические образы:

Рис. 14. Графы групп C9 и C32 = C3´С3.

Единичный след по диагонали у группы G9 может быть только 3: 22 = 52 = 12 = 1.

Определяющие соотношения: C32 = C3´C3: a3 = 1, b3 = 1, aba-1b-1 = 1.

2.1.6        Анализ группы G10

Для группы  порядка 10 = 2 ∙5 возможны два вида групп:

1) циклическая группа порядка 10 C10: a10 = 1 и

2) группа диэдра C2´C5: a2 = b5 = (ab)2 = 1.

Призма P5 и циклическая группа C10 эквивалентны в силу нечетности второго составляющего произведения  C5. Кроме них, в силу четности общего порядка, возможна структура группы диэдра D5. Других групп не может быть. Нарисуем их графические образы:

 

 

 

Рис.24. Графы групп порядка 10.

 

2.1.7        Анализ группы G12

Число 12 можно получить следующими способами: 12 = 2´2´3 = 2´6 = 4´3. Для групп  порядка 12 возможны  следующие группы:

1) циклическая группа порядка 12 C12 = C3´C4: a12 = 1,

2) призма C2´C6 = C2´C2´C3P6: a2 = b6 = aba-1b-1 = 1 с подгруппами C2, C3 C4 и C6,.

3) диэдр D6 = C2´D3: a2 = b6 = (ab)2 = 1.

4) двойной диэдр DD3 с определяющими соотношениями: a2 = b2 = c3 = acac = bcbc = 1,

5) тетраэдр Gtetr (Tetraedr) = T - группа, порождаемая двумя элементами P, Q с соотношениями a4 = 1,    a2 = b3,    bab = a. Группа тетраэдра устроена так же, как и группа четных перестановок четырех букв или знакопеременная группа A4 множества из 4 элементов:

1234

2341

3412

4123

1432

4321

3214

2143

1324

3241

2413

4132

.

Всего имеется 5 групп с подгруппами C2, C3 C4 и C6, и только первая имеет цикл порядка 12. Группы со 2-го по 4-й получаются как прямое произведение групп меньших размерностей, пятая – эксклюзивна для этой размерности. Нарисуем их графические образы:

 

Рис.25. Графы групп порядка 12.

2.1.8        Анализ группы G14

Для группы  порядка 14 возможны два вида групп:

1) циклическая группа порядка 14 C10: a14 = 1 и

2) группа диэдра C2´C7: a2 = b7 = (ab)2 = 1.

2.1.9        Анализ группы G15

Имеется всего одна – циклическая - группа порядкам 15. Есть много графических представлений этой группы. Вот некоторые из них для порядка 15.

В циклической форме (не полный граф - показаны только по одному циклу порядка 3, 5):

Рис. 12. Группа прямого произведения C3´C5 = C15 = C5´C3. Для него a15 = b5 = c3.

 

В тороидальной форме:

Рис. 13. Группа прямого произведения C3´C5 = C15. На левом графе b5 = c3 = 1, на правом графе b15 = 1, при этом c3 = 1, c = b5 и cbc-1b-1 = 1.

 

Группа прямого произведения определяет группу движений тороидального многогранника без шага, а циклическая группа определяет группу тороидального многогранника с шагом

2.1.10    Анализ группы G16

Число 16 можно получить следующими способами: 16 = 2´2´2´2 = 2´8 = 4´4. Для групп  порядка 12 возможны  14 различных групп:

2.1.11    Анализ группы G18

Для группы порядка 18 возможны 5 различных групп. Это количество определяется разложением 18 = 2´9 = 6´3 = 2´3´3. Это группы

1)      C18 – циклическая группа порядка 18 (максимальный цикл равен 18),

2)      C2´C9 – 9-угольная призма (максимальный цикл равен 9),

3)      C3´C6 – прямое произведение групп (максимальный цикл равен 6),

4)      C2´C3´C3 – прямое произведение групп (максимальный цикл равен 3),

5)      D9 - группа диэдра (максимальный цикл равен 9).

2.1.12    Анализ группы G20

Число 20 можно получить следующими способами: 20 = 2´10 = 4´5 = 2´2´5. Для групп  порядка 20 возможны 5 вариантов групп:

1) циклическая группа порядка C20 = C4´C5: a20 = 1 (максимальный цикл равен 20),

2) группа 10-угольной призмы P10 = C2´C10 = C22´C5: a2 = b10 = aba-1b-1 = 1 (максимальный цикл равен 10),

3) группа 10-угольного диэдра D10 = C2´D5: a2 = b10 = (ab)2 = 1 (максимальный цикл равен 10).

4) группа D2´C5 (максимальный цикл равен 5):

5) двойной диэдр DD5 (максимальный цикл равен 5).

2.1.13    Анализ группы G21

Для группы  порядка 21 = 3´7 возможны два вида групп:

1) циклическая группа порядка 21 C21 = C3´C7: a21 = 1 и

2)

2.1.14    Анализ группы G22

Для группы  порядка 22 = 2 ∙11  возможны два вида групп:

1) циклическая группа порядка 22 C22: a22 = 1 и

2) группа диэдра C2´C11: a2 = b11 = (ab)2 = 1.

2.1.15    Анализ группы G24

Число 24 можно получить следующими способами: 24 = 2´12 = 3´8 = 4´6 = 2´2´6 = 2´3´4 = 2´2´2´3. Этим групповым типом движения обладают правильные многогранники – куб (4´6 – 6 граней ´ 4 положения квадрата) и октаэдр (8´3 – 8 граней ´ 3 положения треугольника). Для групп  порядка 24 возможны  15 различных групп:

1.      C24 – циклическая группа порядка 24 (максимальный цикл равен 24),

2.      C2´C12 – 12-угольная призма (максимальный цикл равен 12),

3.      C2´C3´C4 – прямое произведение групп (максимальный цикл равен 4),

4.      C2´C2´C2´C3 = C2´C2´C6 - прямое произведение групп (максимальный цикл равен 3),

5.      C2´D6 -

6.      C2´C2´D3 -

7.      C2´T -

8.      C3´C8 – прямое произведение групп (максимальный цикл равен 8),

9.      C3´D4октаэдр?

10.  C3´Q –

11.  C4´C6 – (максимальный цикл равен 6),

12.  C4´D3

13.  D2D3

14.  D12 - группа диэдра (максимальный цикл равен 12).

15.  DD6двойной диэдр

2.1.16    Анализ группы G25

Для группы порядка 25 = 52 возможны 2 варианта:

1) циклическая группа порядка 25 C9: a9 = 1 и

2) группа  C52  = C5´C5, в которой нет циклов порядка 25: все циклы имеют порядок 5. В обеих группах имеются подгруппы порядка 5 C5. Графические образы группы G9 подобны графам группы порядка 9.

Единичный след по диагонали у группы G25 может быть только 5: 22 = 52 = 12 = 1.

Определяющие соотношения: C52 = C5´C5: a5 = 1, b5 = 1, aba-1b-1 = 1.

2.1.17    Анализ группы G26

Для группы  порядка 26 = 2 ∙13 возможны два вида групп:

1) циклическая группа порядка 26 C26C2´C13: a26 = 1 и

2) группа диэдра D11: a2 = b13 = (ab)2 = 1.

2.1.18    Анализ группы G27

Для группы порядка 27 = 33 возможны 5 вариантов групп: E+n∙n∙n и E-n∙n∙n;

1-3) 3 циклические абелевы группы порядка 27: Cn∙n∙n, Cn∙n´Cn и Cn´Cn´Cn и

4,5) две неабелевы группы порядка 27: E+n∙n∙n и E-n∙n∙n В обеих группах имеются подгруппы порядка 3 C3.

2.1.19    Анализ группы G28

Число 28 можно получить следующими способами: 28 = 2´14 = 4´7 = 2´2´7. Для групп  порядка 24 возможны 5 вариантов групп:

1) циклическая группа порядка C28 = C4´C7: a28 = 1 (максимальный цикл равен 28),

2) циклическая группа порядка C28 = C2´C2´C7 или группа 14-угольной призмы P14 = C2´C14 = C2´C2´C7: a2 = b14 = aba-1b-1 = 1 (максимальный цикл равен 14),

3) группа 14-угольного диэдра D14: a2 = b14 = (ab)2 = 1 (максимальный цикл равен 14).

4) двойной диэдр DD7 (максимальный цикл равен 7).

2.1.20    Анализ группы G30

Число 30 можно получить следующими способами: 30 = 2´15 = 3´10 = 2´3´5 = 6´5 . Для групп  порядка 30 возможны следующие варианты групп:

1) циклическая группа порядка C30 = C2´C15(призма)= C3´C10 = C5´C6 = C2´C3´C5: a30 = 1 (максимальный цикл равен 30). В силу взаимной простоты делителей числа 30, число циклических групп единственно.

2) группа 15-угольного диэдра D15: a2 = b14 = (ab)2 = 1 (максимальный цикл равен 15).

3) диэдр C3´D5 (максимальный цикл равен 5).

4) диэдр C5´D3 (максимальный цикл равен 5).

2.1.21    Анализ группы G60

Этим групповым типом движения обладают правильные многогранники – додекаэдр (12´5 – 12 граней ´ 5 положения пятиугольника) и икосаэдр (20´3 – 20 граней ´ 3 положения треугольника). Ее можно описать как группу вращений правильного додекаэдра, переводящих его в себя. Группа додэкаэдра устроена так же, как и группа четных перестановок пяти букв. К тому же эта группа является наименьшей некоммутативной простой группой.

 

Ссылка на этот материал: konechnyye_gruppy_primery.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 8 x "пять" =

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 18 ч 13 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25