Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: linejnoye_prostranstvo.htm)
Векторные и линейные пространства

1      Введение в векторные и линейные пространства.

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, квадратичные и билинейные формы, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры.

К линейной алгебре относят: теорию линейных уравнений, теорию определителей, теорию матриц, теорию векторных пространств и линейных преобразований в них, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично)

Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636). Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как матрицы, её определители и ранги. В 1750 году для решения систем линейных уравнений было предложено правило Крамера (число уравнений равно числу неизвестных и определитель от коэффициентов не равен нулю), а в 1849 году — метод Гаусса. В 1877 году Фробениус предложил понятие ранга матрицы, что позволило сформулировать теорему Кронекера — Капелли.

В XX веке основным объектом изучения линейной алгебры становится векторное пространство.

Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888).

Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности с теорией линейных представлений групп[2].

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа.

С точки зрения теории множеств линейное пространство есть прямое произведение не обязательно конечного базисного множества на некоторое тело (или поле), в частности, вещественных чисел. Элементы линейного пространства называются векторами, а само название пространства при этом получает расширение и называется "линейным векторным пространством". Линейность векторного пространства проявляется в аксиомах, которым подчиняются векторы. Но! При этом элементы определяющего его тела не являются элементами векторного пространства.

В линейном векторном пространстве заданы две операции – сложение и умножение. Свойства этих операций почти совпадают с подобными же свойствами на теле (или поле), но векторное пространство не является телом. Это отличие проявляется в том, что, несмотря на то, что сложение определено над элементами векторного пространства, умножение определено не над элементами векторного пространства: два вектора нельзя умножить. И только если базис линейного векторного пространства состоит из одного элемента, то пространство можно отождествить с используемым телом.

С определением в линейном векторном пространстве операции скалярного, а для 3-мерного пространства - векторного и смешанного произведений, пространство можно назвать уже просто векторным, подразумевая его линейность. В векторном пространстве определяются математические дисциплины "векторная алгебра" и "векторное исчисление".

Тензорная алгебра и тензорное исчисления появляются с расширением операции над двумя векторами до линейного пространства произвольной размерности. Такие произведения могут называются внутренними, внешними и прямыми произведениями.

Наше физическое пространство в первом приближении с очень большой точностью обладает линейными свойствами в отношении преобразований сложения координат относительно выбранной однородной с.о. и масштабного преобразования координат.

2      Векторные и линейные пространства.

В определении линейного векторного пространства, кроме самих векторов, непосредственно и самым тесным образом присутствуют вещественные числа как линейные множители, поэтому векторное пространство можно считать комплексным. Но не в смысле комплексных чисел, а в смысле присутствия в определений векторного пространства объектов различной природы – самих векторов как определяемых объектов и вещественных чисел, определяющих свойство линейности векторного пространства. С этой точки зрения векторная алгебра не замкнута на самом себе.

Линейные векторные пространства являются аддитивными абелевыми группами, на которых определена операция умножения на число. Через эти две операции на линейном векторном пространстве определяется понятие линейного преобразования.

Линейными преобразованиями над объектами этого пространства – векторами – называются преобразования вида:

A = ΣαnAn= αnAn

где αn – коэффициенты линейного преобразования,

An n–ый вектор (объект, участник) линейного преобразования. Количество участников линейного преобразования может быть произвольным. И даже бесконечным произвольной мощности.

2.1      Аксиомы линейного векторного пространства

Линейные преобразования над векторами обладают тем свойством, что в результате мы опять получим элемент векторного пространства. Это свойство замкнутости векторного пространства относительно своих элементов определяется свойствами

A Î V ® αA Î V,

A,B Î V ® αA + βA  Î V,

где V – векторное пространство,

A, B – математические объекты пространства – "векторы",

α, β – числа,

Пространство, построенное таким способом, мы назовем линейным пространством (не обязательно векторным!).

Специфические свойства векторного пространства заключаются в следующих аксиомах.

1)                       Относительно сложения векторов является аддитивной коммутативной группой:

A + B = B + A – коммутативность,

(A + B) + C =A + (B + C) – ассоциативность,

O + A = A + O = A – существует нулевой элемент,

A + A’ = O  – существует обратный элемент,

где O – объект "нулевой вектор".

2)                       Относительно умножения на число является аддитивным коммутативным линейным пространством:

1 · A = A · 1 = A – существует вещественная единица,

αA = Aα – коммутативность,

b)A = α(bA) – ассоциативность,

αA + βA = (α + β)A – дистрибутивность,

αA + αB = α (A + B) – дистрибутивность,

2.2      Теоремы линейного векторного пространства

Естественными следствиями являются следующие утверждения:

O = O,

αO = O.

В силу единственности нулевого элемента ее всегда можно отождествить с числом "0". Это не вызовет каких-либо недоразумений.

Для анализа системы из нескольких векторов применяется понятие их линейной зависимости. Если для N векторов существуют N вещественных чисел ai: i £ N, что хотя бы одно из чисел ai ≠ 0:

a1A1 + a2A2 + … +aNAN = 0,

то такая система векторов называется зависимой системой. В противном случае система векторов называется независимой. Для независимых векторов все ai = 0. Понятие независимости имеет очень большое значение для анализа свойств системы векторов. Например, можно определить понятие параллельных векторов.

Два вектора A1 и A2 параллельны, если они линейно зависимы, т.е. существуют ненулевые числа a1 и a2, что

a1A1 + a2A2 = 0.

Структура векторного пространства определяется следующими теоремами.

1)      Существует некоторая минимальная система векторов en такая, что любой другой вектор этого векторного пространства можно получить как некоторая линейная функция над ними, причем единственная:

"{A, en} $!{αn}: A = Σαnen

(читается: для любого вектора A и системы базовых векторов en найдется единственное множество чисел αn, что они будут коэффициентами линейного преобразования разложением вектора A по базовым векторам);

2)      Количество элементов N = nmax этой системы называется размерностью линейного пространства. Размерность в общем случае может быть и бесконечной.

3)      Числа αn определяют координатное (табличное, списочное) представление векторного пространства:

V ~ {α1, α2, … , αn}.

Тогда любой вектор A может быть представлен в списочном (один из вариантов):

A ~ (α1, α2, … , αn)

или тензорном

A ~ Ai.

видах.

Представления в координатном виде обладают не однозначностью представления. Степень не однозначности определяется выбором базисных векторов en. Переход от одного представления к другому определяется некоторым линейным (точнее, билинейным) преобразованием. В матричном виде его можно записать следующим выражением:

.

Но нулевой элемент всегда будет определен однозначно.

3      Скалярное произведение. Прямоугольный базис

Использован материал из Википедии — свободной энциклопедии.

Скалярное произведение является расширением над векторным пространством, потому что расширяет базовый набор операций над ее элементами, включая в нее дополнительную операцию, определенную над двумя векторами с числовым результатом на определяющем ее поле.

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю.

Непосредственными расширениями скалярного произведения являются следующие

Расширение линейного векторного пространства до скалярного, векторного (и смешанного) произведений задает векторное пространство. В векторном пространстве определяются математические дисциплины"векторная алгебра" и "векторное исчисление".

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам. Аналогичное обобщение в принципе нетрудно сделать и в бесконечномерном случае.

3.1      Определение

Скалярное произведение (иногда внутреннее произведение) — операция над двумя векторами над полем C комплексных (или R вещественных) чисел, принимающая значения в C (или R), результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Число определяется как элемент поля вещественных или комплексных чисел.

Для обозначения скалярного произведения обычно используется одно из следующих обозначений: AB, áA,Bñ, (A,B) или обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния: áA|Bñ.

áA, Bñ= F(A, B): áусловияñ.

В зависимости от применяемого для мультипликативной операции поля определяется вид линейного пространства. Вещественное конечномерное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Скалярное произведение удовлетворяет следующим условиям:

  1. для любых трех элементов A1, A2 и C пространства V и любых чисел a, β из C (или R) справедливо равенство áa1A1 + a2A2, Cñ = áa1A1, Cñ + áa2A2, Cñ (линейность скалярного произведения по первому аргументу);
  2. для любых A1, A2  ~x и  ~y справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
  3. для любого A имеем áA,Añ ³ 0, причем áA,Añ = 0 только при A = 0 (положительная определенность скалярного произведения).

Заметим, что из п.2 определения следует, что áA,Añ Î R. Поэтому п.3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения. Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть áA, Añ > 0 для всех A ¹ 0.

Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством. При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.

Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой, а произведение называется индефинитным. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

Наглядно данной операции над полем вещественных чисел соответствует умножение длины вектора Ox на проекцию Oyx вектора Oy на вектор Ox (см. рис. 1).

Рис. 1. Скалярное произведение векторов.

Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение (см. ниже).

3.2      Геометрические понятия векторного пространства

Насчет скалярного произведения можно заметить, что оно вводит в векторном пространстве некоторую геометрию, которая в исходном пространстве изначально не присутствует. А именно, для любого вектора определяется понятие "длина вектора" и для любых двух векторов определяется понятие "ортогональности". В векторном пространстве появляется геометрическая структура.

  • Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма:

(термин "длина" обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

  • Углом между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

.

В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

    .

  • Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.

В современном аксиоматическом подходе эти производные понятия вводятся уже на основе понятия скалярного произведения векторов.

3.3      Свойства

|BC|^2 = \vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2 = \langle\vec{AC} - \vec{AB},\vec{AC} - \vec{AB}\rangle = \vec{AC}^2 + \vec{AB}^2 - 2 \langle\vec{AC},\vec{AB}\rangle = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 |AB| |AC| \cos\hat A

  • Угол между векторами:

\alpha = \arccos \frac{\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle}{\sqrt{\langle\mathbf a, \mathbf a\rangle\langle\mathbf b,\mathbf b\rangle}}

Оценка угла между векторами:

в формуле  \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 
|\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)} знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

  • Проекция вектора a на направление, определяемое единичным вектором e:

a_e = \langle\mathbf a,\mathbf e\rangle,

  • условие ортогональности[2] (перпендикулярности) векторов a и b:

\mathbf a\bot \mathbf b \Leftrightarrow \langle\mathbf a,\mathbf b\rangle = 0

  • Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора a и b, равна

 \sqrt{\langle\mathbf{a}, \mathbf{a}\rangle\langle\mathbf{b},\mathbf{b}\rangle - \langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle^2}\

Для любых элементов x и y линейного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство

  \vert \langle x,y \rangle \vert ^2 \le \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle

4      Векторное и смешанное произведения

Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю.

4.1      Определение

Векторное произведение вектора а на вектор b — это вектор c, определяемый так:

1) длина вектора c равна произведению длин векторов а и b на синус угла j между ними (берётся тот из двух углов между а и b, который не превосходит p);

|c| = |a| · |b| · sinj;

2) вектор c перпендикулярен каждому из векторов а и b;

3) тройка векторов а, b, c, согласно с ориентацией пространства, всегда правая или всегда левая (см. Векторное исчисление).

Особенностью способов обозначения векторного произведения является применение квадратных скобок "[", "]" и/или знака умножения "крестик" ´. Вот наиболее употребительные формы обозначения векторного произведения:

a ´ b, [a, b], [ab], (a ´ b), [a ´ b].

Векторное произведение, как и скалярное, является расширением над векторным пространством, потому что расширяет базовый набор операций над ее элементами, включая в нее дополнительную операцию, определенную над двумя векторами с результатом на этом же векторном пространстве. Из определения векторного произведения можно сделать вывод, что он является объектом 3-мерного векторного пространства со скалярным произведением. Это следует из того, что только в 3-мерном пространстве можно определить единственный ортогональный вектор к двум не компланарным векторам, а ортогональность определяется через скалярное произведение.

 Векторное произведение широко применяется в геометрии, механике и физике. Например, момент импульса и сила Лоренца, математически записываются в виде векторного произведения.. Момент MOT силы F, приложенной к точке T относительно точки О, есть векторное произведение

MOT = [, F].

4.2      Cвойства векторного произведения

1) Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности  и, в отличие от скалярного произведения векторов, является псевдовектором (является антикоммутативным).

[a, b] = -[b, a].

Векторное произведение не обладает свойствами ассоциативности.

 \left[ \left(\alpha \mathbf a \right),\; \mathbf b \right] = \left[ \mathbf a,\; \left(\alpha \mathbf b \right) \right] = \alpha \left[ \mathbf a,\; \mathbf b \right] .

Векторное произведение обладает свойствами дистрибутивности по сложению.

 \left[ \left( \mathbf a + \mathbf b \right),\; \mathbf c \right] = \left[ \mathbf a,\; \mathbf c \right] + \left[ \mathbf b,\; \mathbf c \right]

Некоторые тождества.

Представление

Описание

 \left[ \left[ \mathbf a,\; \mathbf b \right],\; \mathbf c \right] + \left[ \left[ \mathbf b,\; \mathbf c \right],\; \mathbf a \right] + \left[ \left[ \mathbf c, \mathbf a \right],\; \mathbf b \right]= 0

тождество Якоби, выполняется в R3 и нарушается в R7

 \left[ \mathbf a,\; [ \mathbf b,\; \mathbf c ] \right]~=~\mathbf b (\mathbf a,\; \mathbf c) - \mathbf c (\mathbf a,\; \mathbf b)

формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа

 |[\mathbf a, \, \mathbf b]|^2 + (\mathbf a, \, \mathbf b)^2 = |\mathbf a|^2 |\mathbf b|^2

Это частный случай мультипликативности |\mathbf{vw}| = |\mathbf{v}| |\mathbf{w}|нормы кватернионов

2) Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

"a, b ¹ 0:  [a, b] = 0 ® b = aa: a Î R, a ¹ 0.

"a: [a, a] = 0,

3) Модуль векторного произведения [a, b] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b.

4) Если e - единичный вектор, ортогональный векторам a и b и выбранный так, что тройка a, b, e - правая, а S - площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

c = Se.

5) Если c — какой-нибудь вектор, P - любая плоскость, содержащая этот вектор, e - единичный вектор, лежащий в плоскости P и ортогональный к c, g - единичный вектор, ортогональный к плоскости P и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости P вектора a справедлива формула

[a, c] = Prea · |c| · g.

4.3      Смешанное произведение векторов

6) При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c. Такое произведение трех векторов называется смешанным.

V = |a · (b ´ c)|.

Этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

V = a · (b ´ c) = (a ´ b) · c.

Смешанное произведение векторов a, b и c и обозначают (a, b, c) либо áa, b, cñ.

4.4      Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора a и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

 \mathbf a = (a_x,\; a_y,\; a_z)

\mathbf b = (b_x,\; b_y,\; b_z)

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x).

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}

или

[ \mathbf a,\; \mathbf b ]_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k,

где \varepsilon_{i j k} — символ Леви-Чивиты.

Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид

[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = (a_z b_y - a_y b_z,\; a_x b_z - a_z b_x,\; a_y b_x - a_x b_y).

Для запоминания, аналогично:

[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = - \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}

или

[ \mathbf a,\; \mathbf b ]_i = - \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k.

Формулы для левой системы координат можно легко получить из формул правой системы координат, записав те же векторы a и b во вспомогательной правой системе координат (\mathbf i' = \mathbf i, \mathbf j' = \mathbf j, \mathbf k' = - \mathbf k):

[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i' & \mathbf j' & \mathbf k' \\ a'_x & a'_y & a'_z \\ b'_x & b'_y & b'_z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & -\mathbf k \\ a_x & a_y & -a_z \\ b_x & b_y & -b_z \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}.

 

Лит.; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968.

 

5      Полилинейная алгебра и форма. Тензоры.

Полилинейная алгебра — часть линейной алгебры, изучающая такие обобщения векторов, билинейных и квадратичных форм, как полилинейные формы, тензоры, тензорное произведение.

5.1      Полилинейная  форма

Пусть L есть векторное пространство над полем  K (чаще всего рассматриваются поля K = R и K = C).

Полилинейной формой называется скалярная функция  F: L1×L2× … ×Ln ® K, линейная по каждому из аргументов:

"i: F(x1, x2, … xi + xi, ... xn) = F(x1, x2, … xi, ... xn) + F(x1, x2, … xi, ... xn),

"i,l: F(x1, x2, … lxi, ... xn) = lF(x1, x2, … xi, ... xn).

Здесь  xi Î L – различные вектора как аргументы функции (не путать с коэффициентами разложения определенного вектора по базисным векторам!), l Î K – число из поля K. А также F Î K (из условия).

Скалярная потому, что результат является числом из тела K.

Заметьте: вектора xi заданы независимо от наличия или отсутствия базисных векторов.

Из этих уравнений можно сделать некоторые выводы.

1.       

5.2      Линейная форма

.

Наиболее простой полилинейной формой является линейная форма. Даже назвать ее полилинейной формой неудобно. Но по форме она есть чистейшая полилинейная форма.

Пусть L есть векторное пространство над полем  K (чаще всего рассматриваются поля K = R и K = C) и e1, e2, … en - базис в L.

Функция F: L ® K называется линейной формой, если её можно представить в виде

F(x + x’) = F(x) + F(x’),

F(lx) = lF(x).

Единственной функцией, удовлетворяющей этому условию для функции одного аргумента, является линейная функция, учитывающая разложение этого вектора по базисным векторам:

F = ax = aixi.

где x = x1e1 + x2e2 +…+ xnen разложение вектора по базису, а a = ai - некоторые элементы поля K.

5.3      Квадратичная форма

Пусть L есть векторное пространство над полем  K  и e1, e2, … en - базис в L.

Функция  F: L ® K называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

F = aijxixj.

где x = x1e1 + x2e2 +…+ xnen, а aij - некоторые элементы поля K.

5.4      Билинейная  форма

Пусть L есть векторное пространство над полем  K (чаще всего рассматриваются поля K = R и K = C).

Билинейной формой называется функция F: L1×L2 ® K, линейная по каждому из аргументов:

F(x1, x2 + x2) = F(x1, x2) + F(x1, x2’),

F(x1 + x1, x2) = F(x1, x2) + F(x1, x2),

F(x1, lx2) = lF(x1, x2).

F(lx1, x2) = lF(x1, x2).

здесь  xi Î L и l Î K.

6      Аффинное пространство

Аффинное пространство – линейное пространство, в котором введена линейная операция преобразования векторов – функция смещения векторов на определенный вектор:

{A, B}A' = AB.

Пространства с так определенными преобразованиями называются аффинными.

Эта операция тоже линейная, но уже не векторная: ее не векторность проявляется в том, что нулевой вектор не наследует себя и свои аксиоматические свойства при преобразованиях векторного пространства.

После того, как мы выше определили координатное представление векторного пространства через числа αn и базовые векторы en, смещение начала координат векторного пространства определить через преобразования координат векторов.

A = αnAn → A' = A – B = αnenbnen = (αnbn)en,

где B – вектор смещения.

7      Галилеево пространство

Следующей ступенью в построении линейных пространств будет построение галилеева пространства. Для этого потребуется еще одна дополнительная координата A0 = α(0)e0 с индексом 0 (значение индекса = 0 – это просто соглашение): A = (α0, αi). Она обладает тем свойством, что является независимой от остальных координат, и общая размерность пространства увеличится на единицу. В силу этого свойства множество линейных преобразований обобщенного пространства дополнится линейными членами с индексом 0.

Особенностью введенной новой координаты с индексом 0 является то, что он преобразуется независимо от других координат:

A'0 = α0A0α(0)0,

а в преобразованиях других координат он присутствует явно.

A' = αnenv0e0 – βn1n

A'0 = α(0)e0 – β(0) ∙10

Эти преобразования называются галилеевыми. С математической точки зрения эти преобразования тоже являются линейными. Такие пространства мы назовем галилеевыми пространствами.

8      Клиффорда пространство

Клиффорда пространство отличается от векторного пространства тем, что вещественные числа становятся полноправными элементами пространства. Как следствие, появляется аксиоматически определенная операция умножения произвольных элементов пространства друг на друга. Пространство становится действительно замкнутой относительно всех используемых элементов и применяемых операций: можно складывать и умножать любые элементы множества пространства Клиффорда. Но это уже не векторное пространство, но – линейное пространство И в то же время это – поле. Можно сказать, векторное поле. Элементы такого пространства получили общее наименование – числа Клиффорда. Элементами Клиффордова пространства являются тензоры. Размерность и валентность тензоров ограничена размерностью векторного пространства +1 (размерность тела).

Аксиомы пространства Клиффорда определены так, что ее элементы составляют тело, т.е. имеют обратные элементы и 1 ≠ 0.

Наиболее известными числами Клиффорда являются гиперкомплексные числа – комплексные, кватернионы, октонионы и седенионы.

9      Гиперчисла

При аксиоматическом переопределении свойств операции умножения чисел можно получить различные числовые алгебры. Такие алгебры получили общее наименование – гиперчисла. В их число входят и гиперкомплексные числа.

Не все они являются полями. В зависимости от свойств нулевого и единичного элементов они могут быть (или не быть) телами, кольцами. Но все же являются линейными пространствами, потому что удовлетворяют ее аксиомам.

 

Ссылка на этот материал: linejnoye_prostranstvo.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 91 plus 8 equally:

---Load files---
Сегодня - 20_08_2019
Время переоткрытия сайта 13 ч 57 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:5 V:6
Уникальных посетителей: 5 Просмотров: 6