Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: matematika_v_fizike.htm)
Понятия определения применение язык математики

1.    Понятия и определения математики

Из Википедии:

В этой работе я постараюсь наиболее коротко рассмотреть математические вопросы, которые встречаются в механике и физике. Практически все утверждения даются без доказательств.

Нельзя объять необъятное!
(Козьма Прутков)

В математике действуют четыре принципа идеологии Декарта, которые состоят в следующем.

• Не следует экспериментально проверять исходные положения наших [математических] теорий: это просто произвольные аксиомы, и их отношение к реальности отношения к науке не имеет.

• Столь же бессмысленно сравнивать с реальностью и окончательные выводы: вряд ли они согласуются с ней лучше исходных аксиом.

• Что действительно важно - это по строгим правилам логики преобразовывать аксиомы в конечные результаты, избегая всякого участия воображения. Чтобы сделать геометрию наукой, необходимо изгнать из нее чертежи - это следы экспериментов, с одной стороны, и пища для воображения - с другой. Вместо кривых и поверхностей нужно рассматривать идеалы и модули, делая геометрию чисто аналитической.

• Нужно немедленно запретить все другие методы преподавания, кроме моего (Декарта. - В. А.), ибо он один является политически корректным: при этом методе самые посредственные умы продвигаются столь же быстро, как и самые блестящие.

Первые два принципа, пожалуй, точно описывают отношение математики к реальности: математика оперирует абстрактными объектами, не имеющими к реальности никакого отношения. Но всегда к реальности можно применить математическую абстракцию.

Третий принцип – это математический метод. Он, скорее всего, излишне категоричный. Машине воображение не нужно, но человеку без него не обойтись. Машина оперирует правилами вывода, человек – своим практическим опытом. Он обучаем.

Четвертый принцип. Действительно, математика аполитична. Точнее, и вашим – и нашим. Политика и мировоззрение – это уже не математика, а реальность. Абстрактными математическими построениями можно смоделировать любое поведение физической системы (в т.ч. и человеческого общества), как действительное, так и ложное, выгодное кому то. С соответствующими предсказаниями и политическими (мировоззренческими) последствиями. Математика – это только мощный инструмент точного прогнозирования в рамках теории в руках человека. И ее можно применить как для добра, так и зла.

2.    Практическое применение математики

Известно крылатое выражение «В науке столько науки, сколько в ней математики». Современная наука уже немыслима без применения математических методов. Подавляющая часть работ, за которые авторы получили Нобелевские премии по различным научным направлениям, основана на содержательном использовании математических методов. Жаль, что за результаты в математике не дают эту премию.

Математические методы дают мощный инструмент для глубокого анализа физической модели. Поэтому они оказываются востребованными как на передовом крае научных исследований, так и при решении практических задач. Мощным фактором практического использования математических моделей явилось развитие современных инструментальных средств – вычислительной техники и средств передачи данных. Стремительный прогресс вычислительной техники позволил оперативно осуществлять большие объемы расчетов и реализовать сложные алгоритмы обработки данных, присущие физико-математическим методам. Разработаны специализированные пакеты прикладных программ, с помощью которых осуществляются сложные многовариантные расчеты. Не менее важным оказалось развитие средств коммуникации и передачи данных, которое значительно расширило информационную базу. Современные информационные технологии стали неотъемлемым элементом практической реализации физико-математических методов. Если раньше стояла проблема недостатка или недоступности информации, то сейчас более существенную роль играет отсев ненужной информации и выбор необходимых данных из огромного моря доступной информации

Смыслом изучения природы и применения математики в этом является получение истинных знаний. Смыслом изучения самой математики является получение истинных знаний в отношении произвольных абстрактных объектов математики, и затем на основе этих знаний получение теорий, наиболее полно отражающих законы реального мира. Знания определяются множеством истинных высказываний относительно изучаемых объектов, независимо от того, объект этот абстрактный или реальный.

Основными объектами математики являются множества, отображения (функции, операции, …) между множествами и/или их подмножествами (элементами), определения объектов конкретной теории, ее аксиомы (исходные истинные высказывания, постулаты, …) и теоремы (теоремы, леммы, следствия, …) из них. Предметом математики могут быть как конкретные теории и объектиы, так и наиболее общие математические объекты – множества, отображения, высказывания и их наиболее общие свойства. Теория, в которой заданы множество и операции над ее элементами, называется алгеброй. Есть алгебра множеств, алгебра отображений, алгебра высказываний. Есть много других алгебр.

Любое отношение порядка (см. далее) между конкретными множествами, подмножествами и их элементами, в т.ч. полная запись любой операции a · b = c, есть логическое высказывание. Но это высказывание не является знанием, а только фактом истины. Знанием являются обобщающие высказывания типа "если A, то B" с известной истинностью, где A и B – другие обобщающие высказывания. Элементарными обобщающими высказываниями являются высказывания типа "для x верно A",  "для любого y верно B", "существует z, что верно C".

Полезность использования математических теории множеств и различных алгебр в практическом применении определяется успешностью биекции объектов изучаемого предмета и/или его свойств на эти множества и алгебры. Тип множества и алгебры в этом случае имеет классифицирующий признак для теории.

3.    Язык математики

Математика является формальной наукой. Ее формальность заключается в том, что объектами изучения являются абстрактные объекты. Наиболее известный абстрактный объект – это числа. Числа сами по себе в природе не встречаются, но они позволяют изучать природу и ее законы. Это ее качество определяется ее свойствами и возможностью ее биективного отображения на любое множество с любыми свойствами упорядочения мощностью до континуума и более при применении понятии "множество функции" и "множество подмножеств". Наглядный пример – числа (цифры) 0 и 1. С их использованием работают все наши компьютеры и цифровые телекоммуникационные системы. Успешность применения математики в изучении природы определяется адекватностью ее описания формализованными математическими теориями и ее объектами.

Стержнем формальной теории является ее язык. Точное опи­сание и изучение последнего по необходимости производится сред­ствами некоторого, вообще говоря, другого языка, который принято называть метаязыком. Обычно в качестве метаязыка употребляются определенным образом ограниченные и регламентированные фраг­менты естественных языков, обогащенные разными техническими терминами. Средства, допускаемые в метаязыке, важны с точки зре­ния метаматематики. Учитывая, что нас интересуют не метаматема­тические, а прикладные теоретико-модельные аспекты формальной теории множеств, к метаязыку не предъявляются чрезмерно жест­кие требования. В частности, в дальнейшем широко используются общепринятые выразительные средства и уровень строгости обыч­ной — содержательной — математики.

3.1 Алгебры высказываний

Непременным элементом математики, кроме понятий, определенных выше, является понятие некоторого отношения элементов множества. Наиболее фундаментальным понятием является понятие "логического высказывания". Без этого понятия нет математики. Поэтому  в математике определяется особый класс множеств – множество (логических) высказываний и множество его значений, состоящее из двух элементов – «истина» (или 1) и «ложь» (или 0). Это множество совместно с определенными на ней операциями сама по себе составляет алгебру и эта алгебра является формальным инструментом анализа в математике. Любое знание определяется как некое высказывание, имеющее значение «истина» или «ложь». Методом получения новых знаний (познания) является доказательство. Доказательство есть последовательность следующих друг из друга логических высказываний, последнее высказывание которой есть доказываемое утверждение. В процессе доказывания применяются специальные высказывания, относительно которых точно известно, что они истинные (аксиомы), и правила вывода новых высказываний. Истинность специальных высказывании не доказывается, а принимается по умолчанию. Как следствие, разные математические теории могут противоречить друг другу. И в достаточно богатой математической теории возможно построить выражение, которое невозможно доказать средствами этой теории, и может появиться новая теория, включающая это высказывание или противоположное ей как еще одну истину (аксиому) (см. теорему Геделя).

Аксиоматическая теория множеств — формальная систе­ма. Составляющими такой системы являются алфавит, формулы, аксиомы и правила вывода. В качестве алфавита рассматривают фиксированный набор A символов произвольной природы — канторовское множество. Конеч­ные строки элементов A называют выражениями, иногда — предложениями, текста­ми.

Если каким-либо способом (предписаниями, алгоритмами и т. п.) выделено некоторое множество «правильно составленных» выраже­ний Ф(A), то говорят, что задан язык с алфавитом A. При этом выделенные выражения называют формулами. После этого фикси­руют некоторые конечные или бесконечные совокупности формул, именуемые аксиомами, а также явно описывают допускаемые прави­ла вывода — отношения в Ф(A). Формулы, получаемые из аксиом за конечное число шагов с помощью указанных правил вывода, назы­вают теоремами. Часто используют (и мы будем поступать также) более вольный и удобный способ выражения. Именно, говорят, что теоремы формальной системы составляют наименьшее множество формул, содержащее все аксиомы и замкнутое относительно правил вывода.

Любое отношение порядка или эквивалентности между подмножествами и элементами множества, а также запись конкретного отображения в форме равенства f(M') ~ M'' или f(a, b) ~ c, где ~ знак некоторого отношения, есть логическое высказывание. Дело соглашения, считать или не считать выражение f(a, b) логическим высказыванием. Но эти отдельные высказывания не являются знанием, а только фактами истинности или ложности, которое, возможно, еще нужно подтверждать. Количество таких высказываний в принципе бесконечно и даже более – их количество может превышать мощность самого множества объекта знания, и перечислить их все  невозможно. Знанием являются обобщающие высказывания типа "если A, то B", где A и B – другие обобщающие высказывания. Элементарными обобщающими высказываниями являются высказывания типа "для любого x верно A", "существует x, что верно B". Обобщающие высказывания содержат в себе потенциально бесконечное множество простых логических фактов. Но различие между фактами и знаниями все же условное. Иногда какой либо факт стоит множества других.

Различаются языки первого порядка, второго порядка, … Нас будет интересовать специальный тип формального языка — язык первого порядка исчисления предика­тов (с равенством). Сигнатурой σ называют тройку (F,P,a), где F и P — некоторые множества, называемые множеством символов операций и множеством символов предикатов соответственно, а a — отображение F U P во множество натуральных чисел. Говорят, что u Î F U P есть n-арный или n-местный символ, если a(u) = n.

Ал­фавит языка алгебры высказываний состоит из следующих символов:

(1)    множество символов сигнатуры σ, т. е.   множество F U P;

(2)    пропозициональная переменная — символьная константа или переменная, возможно, с индексом, значением которой может быть логическое высказывание, принимающее значение истина или ложь;

(3)    пропозициональная связка — операция, позволяющая из данных суждений (высказываний) строить новые суждения (высказывания). Знаки Ø, Ú, Ù, ® - (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками;

(4)    символ равенства "=" ;

(5)    кванторы: "— квантор общности, $ — квантор су­ществования, ! – квантор единственности при кванторе существования;

Квантором называют указатель на степень общности высказывания, ограничивающий область истинности какого-либо предиката. Обобщающие высказывания получаются с помощью кванторов всеобщности (" - для всех), существования ($ - существует, $! – существует единственный):

1.   ("x)P1(x) – все x верно  P1;

Между квантором с переменной x и предикатом P(x) может находиться разделитель с понятным смыслом, указывающим на отношение между квантором общности и предикатом: "x:P(x), "x|P (x), "x P(x), … (для любого x верно высказывание P(x)):

2.   "x: P1(x) – все x, для которых P1;

3.   $x: P2(x) – существует x, для которого P2;

4.   $!x: P3(x) – существует единственное (и только!) x, для которого P3 .

Относительно приведенных высказываний можно сказать, что из 1(2) и/или 4 непосредственно следует 3:

P1P2 – из P1 следует P2;

P3P2 – из P3 следует P2.

Между квантором с переменной x и предикатом P(x) может находиться разделитель с понятным смыслом, указывающим на отношение между квантором общности и предикатом: "x:P(x), "x|P (x), "x P(x), … (для любого x верно высказывание P(x)).

Кванторы называют ограниченными, если они входят в текст в виде ("x Î y) или ($x Î y). Такая форма применения ограничивает область определения переменной при кванторе.

(6)    вспомогательные символы

а) "(" — открывающая и ")" — закрывающая скобки, выделяющие в тексте некоторую единицу языка,

б) "," — запятая как разделитель для списочной структуры языка.

Возможно применение других парных символов вместо круглой скобки и символов разделителей вместо запятой. Вспомогательные символы чаще являются элементами метаязыка.

В языке первого порядка выделяют формулы и термы.

В языке второго порядка применяются кванторы общности.

Терм — выражение формального языка (системы), является формальным именем объекта или именем формы. Понятие терма определяется индуктивно. Термом называется символьное выражение: t(X1, X2, … , Xn), где — имя терма, называемая функтор или «функциональная буква», а X1, X2, … , Xn — термы, структурированные или простейшие. В логике первого и второго порядков терм определяется рекурсивно следующим образом:

  1. всякая индивидная константа есть терм;
  2. всякая свободная переменная есть терм;
  3. если fi Î Fn-местная функциональная константа и t1, t2, …, tn — термы, то fi(t1,t2,...,tn) также есть терм;
  4. термами являются только те выражения, которые получены согласно пп. 1—3.
  5. других соглашений, кроме соглашений о применении скобок и преобразовании любого терма в функцию над своими аргументами, нет.

Термами являются элементарные высказывания с различной степенью общности, например:

"Иван брат Петра", "Люди смертны" и т.д.

Широким классом элементарных высказываний являются отображения и отношения между математическими объектами:

f(a, b) – двухместное отображение,

x = y, xy, … - факты отношений;

f(a, b) = c, f(a, b) ≤ c, … – факты отображений или функциональных отношений и т.д.

Пропозициональное выражение, или формула – это пропозициональная переменная либо связка пропозициональных выражений с помощью знаков операций с применением скобочной записи. Пропозициональные выражения получаются применением логических операций к элементарным и другим пропозициональным выражениям. Определяется индуктивно следующим образом:

  1. если P — пропозициональная переменная, то P — формула;
  2. если A — формула, то ØA — формула;
  3. если A и B — формулы, то A ® B, A Ú B, A Ù B — формулы;
  4. если j — формула сигнатуры σ, а x — переменная, то ("x)φ, ($x)φ — также формулы сигнатуры σ.
  5. формулами являются только те выражения, которые получены согласно пп. 1—4;
  6. других соглашений, кроме соглашений о применении скобок и преобразовании любой формулы в функцию над своими аргументами, нет.

Формула называется ограниченной, если в нее входят только ограниченные кванторы.

Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.

Предикатом называют пропозициональное выражение, в котором используются высказывания, логические связки между высказываниями и кванторы существования $ и всеобщности " и принимающее только два значения: "истина" или "ложь". Для обозначения предикатов применяются логические связки между высказываниями: Ø — не, Ù — или, Ú — и, É - если, а также $ - квантор существования и " - квантор всеобщности.

Таким образом, предикат без квантора существования - это функция с областью значений "Ложь" и "Истина" {или 0,1}, определённая на n-й декартовой степени множества M. Таким образом, каждую n-ку элементов множества M предикат характеризует либо как "истинную", либо как "ложную". Число аргументов предиката называют его арностью.

Вхождение переменной x в формулу j связано в j или входит в область действия квантора, если x входит в подформулу j ви­да ("x)φ или ($x)φ. В противном случае вхождение x свободно в j. Говорят, что x свободно (связано) в j, если существует сво­бодное (связанное) вхождение x в j. При желании подчеркнуть, что в формуле j свободными являются переменные x1,…, xn, мы пишем j = j(x1,…, xn), или просто j(x1,…, xn).    Слова «предложение» и «утверждение» неформально трактуют как синонимы слова «формула». Формулу без свободных переменных называют высказыванием. Говоря об истинности или ложности формулы j, имеют в виду универсальное замыкание формулы j, которое полу­чается навешиванием квантора всеобщности на каждую свободную переменную формулы j. Обратите внимание, что квантификация допустима лишь по отношению к переменным. Слова «первый по­рядок» подчеркивают именно эту синтаксическую особенность рас­сматриваемого языка.

Основные операции Ú и Ù над высказываниями обладают свойствами кольца (см. далее) над числовым множеством {0,1} с эквивалентностью Ú ~ + и Ù ~ ∙. В дополнение к этим операциям имеются одноместная операция логического отрицания "Ø" (логическое нет) и/или двуместная операция вычитания "/" (логическое или-не). Таблица истинности операций:

Ú

0

1

 

Ù

0

1

 

/

0

1

0

0

1

 

0

0

0

 

0

1

0

1

1

1

 

1

0

1

 

1

1

1

Учитывая, что это множество обладает свойствами 0Ú0 = 0 и 1Ù1 = 1, можно сказать, что это множество является кольцом. Учитывая единственность этих элементов, можно сказать, что это множество является еще и телом, а учитывая коммутативность этих операций, является еще и полем.

Если переменные могут принимать k различных значений, а не только истина или ложь, то алгебру называют многозначной алгеброй логики (алгеброй k-значной логики). Следовательно, булева алгебра — частный случай алгебры логики с k = 2, операции в булевой алгебре называют также булевыми функциями.

Элементарное высказывание – высказывание, которое не может быть получено как пропозициональное высказывание с применением связок.

Доказательство. Относительно истинности или ложности конкретных высказываний ничего определенного нельзя сказать до тех пор, пока каким-либо способом не будет определено их логическое значение. Одним из этих способов присвоения конкретного значения является просто аксиоматическое присвоение некоторому высказыванию определенного значения. Это значит, что любое высказывание должно быть либо аксиомой, либо ее значение должно быть определено на основе анализа пропозициональной формы, либо выведено (доказано) каким-либо иным способом. В быту истинность высказывания типа "Петр брат Ивана" определяется компетентностью или авторитетностью источника высказывания, в математике – путем вычисления значения пропозиционального выражения либо доказательства применением правил вывода новых утверждений с известным конечным результатом.

Другой метод доказательства – индуктивный. Он применим к счетному множеству, индексированному целыми числами: если высказывание истинно для 1 и из истинности для n следует истинность для n+1, то истинно для всех n:

(x1:yÙxn:yxn+1:y) → "n:xn:y.

Между логическими высказываниями и алгеброй множеств имеется однозначная связь эквивалентности типа x ~ X, где x – элемент множества M, X – высказывание «x принадлежит множеству M».

Одной из важнейших функций метаязыка является вве­дение новых сокращающих символов и установление соответствующих синтаксических правил. Дело в том, что формализация да­же несложных фрагментов содержательной математики приводит к громоздким текстам, запись и прочтение которых проблематичны по физическим и психологическим причинам. Это обстоятельство вы­нуждает вводить большое количество сокращений и, по сути дела, просто строить более удобный сокращенный вариант исходного сим­волического языка. При этом необходимым требованием является принципиальная возможность однозначного перевода сокращенного изложения на формализованный язык. В соответствии с нашими планами мы не будем останавливаться подробно на способах введе­ния сокращений, точных описаний функциональных выражений и т. п. Например, в дальнейшем, как и ранее, мы применяем символ присваивания :=, не вдаваясь в сопутствующие тонкости.

Приведем примеры сокращения некоторых формальных текстов языка теории множеств. Словесные толкования этих текстов апеллируют к интуитивным наивным представлениям о множествах. Прежде всего отметим следующие общепринятые сокращения:

($!x) := ($x) j(x) Ù ("x)("y)(j(x) Ù j(y) ® x = y);

($x Î y) j := ($x) (x Î y Ù j);

("x Î y) j := ("x) (x Î y ® j);

где j — некоторая формула.   Полагают также x ¹ y := Ø(x = y) и x Ï y := Ø(x Î y).  

Для простейших теоретико-множественных операций приняты обычные соглашения:

(x Ì y) := ("z) (z Î x® z Î y);

u = Ux := ("z) (z Î u « ($y Î x) z Î y));

u = ∩x := ("z) (z Î u « ("y Î x) z Î y));

u = yx := y\x := ("z) (z Î u « (z Î y Ù z Ï x));

Пустое множество Æ  не содержит элементов, так что

u = Æ := ("x) (x Î u « (x ¹ x));

Если j — формула, то совокупность j(x) всех подмножеств x, удо­влетворяющих условию j, описывается выражением z Î j' (x)) ↔ (z Ì x Ù j(z)) . В частности, если fin(y) означает свойство множе­ства y быть конечным, fin(x) — это совокупность всех конечных подмножеств x.

В приведенных выше текстах использован весьма употребительный прием сокращения — пропуск части скобок. Стоит подчеркнуть, что здесь и в дальнейшем мы придержи­ваемся свободной точки зрения на введение и сокращение скобок. Иначе говоря, их появление и ликвидация, как правило, управляют­ся соображениями удобства, а также требованиями к уровню фор­мализации текущего фрагмента текста.

Сокращения могут участвовать в формулах, в сокращениях, в сокращениях сокращений и т. п. Изобретение и введение символов во многом являются искусством и, как всякое искусство, не могут быть формализованы полностью. Тем не менее систематизация и кодификация правил определения сокращений необходимы как с теоретической, так и с практической точек зрения.

В отношении множества логических высказываний и теорий, их изучающих, имеется множество различных алгебр. Можно назвать следующие:

1. Алгебра логики - раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Высказывания могут быть истинными, ложными или содержащими истину и ложь в разных соотношениях. Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики являются высказывания. В двузначной логике высказывания строятся над множеством {B, Ø, Ù, Ú, 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены те же операции, что и в булевой алгебре (см. далее).

2. Алгебры многозначных логик отличаются от булевой тем, что в них множество значений логической функции не исчерпывается значениями ЛОЖЬ и ИСТИНА. Существуют логические алгебры с большим количеством логических значений и даже бесконечным. Например, 3-значная со множеством значений {Истина, Ложь, Неопределенное}. Логическую алгебру с бесконечным количеством значений можно интерпретировать как вероятностную: число от 0 до 1 будет определять вероятность истинности соответствующего логического высказывания (содержащими истину и ложь в разных соотношениях). Но наиболее распространены именно булевы алгебры.

3. Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями Ù (аналог конъюнкции), Ú (аналог дизъюнкции), унарной операцией Ø (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или ЛОЖЬ) и 1 (или ИСТИНА) такими, что для всех a, b и c из множества A верны аксиомы коммутативности, ассоциативности, взаимной дистрибутивности, поглощения и дополнительности. Всего в булевой алгебре над двумя операндами возможно определить 24 = 16 операций, и у всех у них имеются соответствующие названия и символьные обозначения, несколько различающиеся между различными алгебрами.

4. Под исчислением высказываний понимается формальный язык для представления отношений в некоторой предметной области, в котором используются высказывания, логические связки между высказываниями, принимающее только два значения: "истина" или "ложь". Основное преимущество исчисления высказываний - хорошо понятный мощный механизм математического вывода, который может быть непосредственно запрограммирован. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка. Логика высказываний является простейшей логикой, максимально близкой к человеческой логике неформальных рассуждений и известна ещё со времён античности.

5. Исчисление предикатов. Под исчислением предикатов понимается формальный язык для представления отношений в некоторой предметной области, в котором используются высказывания, логические связки между высказываниями и кванторы существования $ и всеобщности " и принимающее только два значения: "истина" или "ложь". Преимущества те же.

Таким образом, логика предикатов оперирует логическими связками между высказываниями, например, она решает вопросы: можно ли на основе высказывания A получить высказывание B и т.д.

Рассмотренный нами язык называется исчислением предикатов первого порядка и позволяет связывать знаком квантора переменные, соответствующие объектам из предметной области, но не предикаты или функции. На исчислении предикатов первого порядка построена аксиоматическая теория множеств ZFC.

6. Исчисление предикатов первого порядка (логика первого порядка) -  формальное исчисление, объектами которого являются высказывания, их функции и предикаты. В языке исчисления предикатов используются символы переменных, множества функциональных и предикатных символов, кванторы всеобщности и существования, пропозициональные связки, скобки и запятые. Основу логики первого порядка составляют булева алгебра и алгебра логики.

7. Исчисление предикатов второго порядка позволяет связывать знаком квантора не только переменные, соответствующие объектам из предметной области, но и предикаты или функции. Примером исчисления предикатов второго порядка может служить выражение "Единственное качество Джона — это честность", которое записывается так:

$P(P(Джон) Ù качество(P) É P = честность)

На исчислении предикатов второго порядка построена аксиоматическая теория множеств NBG.

 

 

Ссылка на этот материал: matematika_v_fizike.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "сорок" ^ "ноль" =

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 16 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25