Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: April 23 2018. -------
Ссылка на этот материал: oboznachyeniya.htm)
Сокращения в математике и физике

1.    Соглашения по обозначениям

1.1    Принятые сокращения

КМГ, МГ – классическая механика галилеева;

КМН, КМ, МН – классическая механика ньютонова;

РКМН, РКМ, РМН – расширенная классическая механика ньютонова;

КМ – квантовая механика;

ПОГ – принципы относительности Галилея;

КГТО, ГТО – классическая (галилеева) теория относительности;

РГТО – расширенная галилеева теория относительности;

ГПТК – галилеевы преобразования тензоров и координат;

СТО – специальная теория относительности, а также механика СТО;

ОТО – общая теория относительности, а также механика ОТО;

РТГ – релятивистская теория гравитации;

ЭМП – электромагнитное поле;

ЭД – электродинамика;

ОТП – общая теория поля;

с.о. – система отсчета;

с.к. – система координат;

м.т. – материальная точка;

м.о. – материальный объект;

с.м.т. – система материальных точек;

с.с. – сплошная среда;

т.т. – твердое тело,

о.д.з – область допустимых значений,

в т.ч. – в том числе,

и т.д. – и так далее.

1.2    Перечень математических обозначений

В математике повсеместно используются символы и знаки для упрощения и сокращения текста. Символы и знаки – это элементы языка математики, и принципиальной разницы между ними нет. Символы, знаки и их сочетания применяются в основном для обозначения элементов, подмножеств и выполняемых над ними преобразований. Это могут быть вполне определенные объекты - константы, а могут быть и не вполне определенными объектами или переменными, обозначающими аргумент в преобразованиях. Преобразования символизируют определённые математические действия со своими аргументами. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся и устоявшихся математических обозначений. Кроме указанных символов,  для некоторых используются их зеркальные отражения, например, A Ì B  обозначает то же, что и B É A. Некоторые символы используются еще и в перечеркнутом виде – при этом они будут обозначать свою противоположность (обычно логическую): сравните знаки = и ≠.

Символом в современном понимании считается единый типографский знак, нанесенный на клавишу клавиатуры с определенным графическим начертанием и/или находящееся в таблице шрифта с единым кодом для машинной обработки. Но более общее понимание включает не только изображение нам клавиатуре, но и на любом другом носителе информации – например, в книге. Наиболее известные из них – это символы алфавита различных языков. Это английский, русский, греческий, … - рассматривать их мы здесь не будем. А также цифры, знаки пунктуации и другие спецсимволы. Они все нанесены на клавиши стандартных клавиатур. Другие находятся в соответствующих таблицах стандартных и нестандартных шрифтов. К символам также можно отнести широко известные наименования функций типа тригонометрических, экспоненциальных и т.д. Есть еще одна очень шировая область видов символов и знаков – это иероглифы. Это очень древняя культура письменной передачи информации.

По способу применения символы можно разделить на несколько групп. Это префиксные и постфиксные функциональные, инфиксные операционные, скобочные и специальные. К отдельной группе можно отнести индексные, т.е. применяющиеся на месте индексов. В качестве индексных могут применяться практически все символы.

Роль символов при  передаче информации в книгах может быть различным и отличаться от книги к книге. Обычно роль этих символов оговаривается отдельно в начале книги. Часто смысл, который передает символ, можно определить по контексту.

К самым распространённым символам относятся следующие символы (список далеко не полный, смотрите также по ссылке в Википедиа: http://ru.wikipedia.org/wiki/..., http://ru.wikipedia.org/wiki/..., и к тому же эти обозначения не являются абсолютно обязательными к применению).

Разделители и скобки

( ), [ ], { }, á ñ, < >,

« », '' ", ′ ′

Различные виды парных и не парных скобок. Использование различное: выделение, объединение, уточнение, приоритет, списки, индексы, множества и другие списочные структуры.

|, || , . , ′, ", ‘, ”, :, ;,  пробел

Разделение элементов (структур) друг от друга, в частности, разделители элементов списковых структур;

Математика, геометрия

+, -, ·, *, ´, :, /, ^, √

Прямые и обратные математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, вычисление корня и других обратных операций;

an

другая форма записи операции возведения в степень;

º

тождественное равенство, конгруэнтность;

¹

неравенство;

~, », @

численно равны, приблизительно равны;

<, ≤, =, ≥, >

отношения порядка "меньше – больше" между двумя аргументами;

a/b, ,

1) формы записи операции деления и

2) формы точной записи рационального числа.

2,718

Пример записи точного вещественного числа в десятичной системе. Запись состоит из целой и дробной частей. Обычно из существования точной формы записи числа в одной системе счисления не следует существование точной формы записи числа в другой системе счисления;

Замечания:

1)   вместо запятой возможно применение точки.

2)    подобная форма записи может быть применена для записи чисел и при другом основании;

0,678(12345)

пример периодической десятичной дроби с периодом (12345);

3,141562…

пример записи не периодического не точного вещественного числа в десятичной системе;

n..n,n..n´10N

Экспоненциальная форма записи точного числа: n..n – произвольная последовательность цифр, 10 – десятичное основание числа (может быть другой), N – целое число (положительное или отрицательное) – степень основания. Левая часть числа от знака умножения называется мантиссой и состоит из целой и дробной частей. Целая часть числа в стандартной нормализованной форме состоит из одной цифры. Правая часть числа называется порядком и состоит из основания и значения порядка.

¥

знак бесконечности, в т.ч. бесконечно большого числа;

e

знак бесконечно малого, в т.ч. бесконечно малого (точнее, близкого к нулю) числа;

%

знак (точнее, постфикс-функция) процента от числа: значение самого числа в 100 раз меньше;

знак промилле - значение самого числа в 1000 раз меньше;

°

знак угла в градусах (например, 5°);

 

или температуры (°C - температура по Цельсию, °K - температура по Кельвину);

!

знак постфикс-функции "факториал";

|x|

модуль числа, вектора;

||x||

норма числа, вектора;

^

перпендикулярно;

||

параллельно;

È

дуга окружности (верхний индекс);

ÐA

угол A;

^

угол (верхний индекс); в программировании часто применяется в качестве операции возведения в степень;

ABC

треугольник ABC;

ABCD

(квадрат, прямоугольник или другой четырехугольник) ABCD;

разность между двумя значениями одного и того же параметра, например, для параметра x: ∆x = x2x1, где x2 и x1 – два значения параметра;

Знак разности значений функции (слева от символа) между двумя значениями ее параметров, указанных на месте верхнего и нижнего индексов, например, при функции первообразной интеграла.

d

дифференциал параметра;

признак частной производной параметра;

D

ковариантный дифференциал параметра;

gij

метрический тензор риманова пространства;

Gijk

символы Кристоффеля риманова пространства;

Rijkl

тензоры кривизны риманова пространства;

Логические

&, ˄

Логическая операция "И";

˅

логическая операция "ИЛИ";

|

логическая операция вычитания;

=, º

логические операции равенства, тождественности;

˥

логическая функция отрицания

¬, ­, «,¯, ®

Форм различных стрелок очень много. В основном они указывают на некоторое отношение следования (правые стрелки), предшествования (левые) и взаимного следования (двусторонние), а также отображения и различные виды морфизмов.

==>, <=>

Другие формы стрелок можно получить из основных применениенм двойных, тройных линий и изменением формы оконцовки;

$

логический квантор существования "существует";

$!

логический квантор существования "существует единственный";

"

логический квантор общности "для любого", "для всех";

A:B

множество объектов A, удовлетворяющих условию B.

Множества

 

{a1, a2, …, an}

Множество, заданное перечислением элементов;

Æ

пустое множество;

x Î X

элемент x принадлежит множеству X;

x Ï X

элемент x не принадлежит множеству X;

X Ì  Y

множество X является подмножеством множества Y;

X È Y, X & Y

объединение множеств X и Y;

X Ç Y

пересечение множеств X и Y;

X / Y

разность множеств X и Y;

X | Y

симметричная разность множеств X и Y;

N

множество натуральных чисел;

Z

множество всех целых чисел;

Q

множество рациональных чисел;

R

множество действительных чисел;

(если с обозначением множества чисел применяется индекс 0 – то из стандартного множества число 0 исключается, если + или – то только положительные или только отрицательные, например: N0, Q+).

C

множество комплексных чисел.

[ a, b ]

Числовой отрезок;

( a, b )

числовой интервал;

( a, b ], [ a, b )

числовые полуотрезки (полуинтервалы);

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%28%5Coverrightarrow%20a%20%2C%5Coverrightarrow%20b%20%29%2C%28%5Coverrightarrow%20a%20%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%20b%20%29

скалярное произведение векторов;

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%28%5Coverrightarrow%20a%20%2C%5Coverrightarrow%20b%20%29%2C%28%5Coverrightarrow%20a%20%5Ctimes%20%5Coverrightarrow%20b%20%29

векторное произведение векторов;

Функции

f, f'

функция и её производная;

знак композиции функции или преобразований;

Группа стандартных функций

max

максимальное число из множества. Применяется со списком значений;

min

минимальное число из множества. Применяется со списком значений;

exp(x), ex, expn(x), 10x

экспоненциальные функции;

lognx, lg x, ln x

логарифмы с произвольным основанием, десятичный и натуральный, обратные к экспоненте функции;

sin, tan, sh, th

соответственно синус, тангенс и их гиперболические аналоги;

cos, cot, cth, ch

(с приставкой co-) соответственно косинус, котангенс и их гиперболические аналоги;

tg, ctg

принятое в русскоязычной литературе обозначение тангенса и котангенса;

sec, sc, cosec, csc

секанс и косеканс тригонометрического угла;

arc

приставка для получения обратных к тригонометрическим и гиперболическим функций;

grad, div, rot, Ñ, ∆

специальные обычно трехмерные (евклидовые) векторные функции и операторы;

Grad, Div, Rot,

специальные 4-мерные (псевдоевклидовы) векторные функции и операторы;

Det(), Dim(), Rang(), .. и т.д.

детерминант, размерность, ранг объектов, по отношению к которым существуют такие определения; 

Sf(n, pi, …)

Знак суммирования значений ряда. Применяется обычно с верхним и нижним индексами при знаке суммирования, задающими границы суммируемого ряда в форме  n = ni, где n – параметр, ni - граничные значения параметра;

Õf(n, pi, …)

Знак произведения значений элементов ряда. Применяется обычно с верхним и нижним индексами при знаке произведения, задающими границы ряда в форме  n = ni, где n – параметр, ni - граничные значения параметра;

ò x1=0f(x1, x2, …)

Знак интегрирования. Применяется обычно с верхним и нижним индексами при знаке интегрирования, задающими границы интегрирования;

limp1®0f(p1, p2, …)

Знак предела функции. Применяется обычно с нижним индексом при знаке предела, задающим предельное значение параметра в форме  p ® x, где p – параметр, x - предельное значение параметра.

Индексные

ai ,  ai  ,  i a ,  ia ,

 

i

 

a,

a

 

j

 

aij ,, aji

 

Различные формы записи индекса по положению.

Возможны различные сочетания индексов при одном хозяине: aij , aji,  и т.д. В качестве индексов могут использоваться практически любые символы и их сочетания: цифры, буквы - для обозначения индексов, черточки, стрелки – для обозначения векторов, точки – для обозначения производных по времени, даже другие формулы и выражения – зависит от вашей фантазии.

Замечание: Всего имеется шесть (если не считать левое и правое средние положения) мест для индекса. Возможно их совместное использование. Имеется 15 видов двойных индексов, 20 тройных, 15 четверных, 6 пятиместных, 1 шестиместный – всего 63 вида. Возможно этажное размещение индексов. Эти же индексные знакоместа могут использоваться для уточнения типа параметров и зоны действия других операторов.

 

Множество применяемых в математике специализированных символов на этом не заканчивается. Возможно применение указанных символов и в других целях. Каждый язык программирования и специализированные текстовые редакторы имеют свои наборы стандартных и нестандартных символов.

1.3    Тензоры, индексы и производные

Необходимо отметить, что законы движения м.т. и его взаимодействие с внешними полями изучаются и анализируются с использованием различных математических дисциплин с помощью математических выражений типа «равенство» (тензорное исчисление, векторный анализ, дифференциальное и интегральное исчисления и т.д.). В математическое выражение входят объекты различной природы – это объекты типа «число», «функция», «производная», «дифференциал», «интеграл», «скаляр», «вектор», «тензор», «тензорная плотность», «индекс». Индексы отличают элементы структуры сложного объекта друг от друга, играют роль кванторов общности и позволяют упростить выражение. Индексы объектов тензорного исчисления могут быть многомерными и обычно находятся в правой верхней и нижней позиции. В верхней позиции они называются контравариантными индексами, в нижней – ковариантными, причем верхние и нижние индексы независимы друг от друга и имеет значение только порядок индексов только верхних и только нижних индексов, независимо от того, как чередуются верхние и нижние индексы при их написании, например:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20g_j%5Ei%5Cequiv%20%7Bg_j%7D%5Ei%5Cequiv%20%7Bg%5Ei%7D_j

Замечание. При машинной или бумажной форме записи значений конкретных тензоров и матриц может иметь значение порядок (структура) записи элементов по строкам и столбцам.

Здесь после симметричного способа записи показаны также и несимметричные способы записи верхних и нижних индексов. Несимметричный способ записи применяется при записи тензоров со смешанными индексами в виде таблицы (матрицы в матричном исчислении), где имеет значение порядок индексов: первый индекс – номер строки матрицы, второй индекс – номер позиции в строке. Это способ записи на бумаге. Но при интерпретации ее в тензорном исчислении этот порядок не имеет значения: верхний индекс будет вверху, нижний – внизу при любом порядке распределения индексов, и путаницы не может быть.

В применении матричного исчислении к индексным объектам ранга 2 имеет значение порядок отображения индексов на строки и столбцы бумажного представления матрицы, потому что там верхних и нижних индексов как таковых нет, есть строка и столбец матрицы: но обычно строка – 1–й индекс, столбец – 2–й индекс. Поэтому при табличном отображении матрицы со смешанными индексами необходимо понимать, который индекс первый, который – второй, и лучше применять несимметричный способ записи индексов.

Различие в положении индексов тензорных объектов заключается в поведении объекта при преобразованиях системы координат. Например, координата ведет себя как контравариантный вектор, градиент скаляра  http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20grad%28%5Cvarphi%20%29%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cvarphi%20%7D%7B%5Cpartial%20r%5Ei%7D%3D%5Cvarphi%20%2C_i%5Csim%20%5Cvarphi%20_i – как ковариантный вектор (смотри далее). С помощью специальных тензорных операций положение индексов можно менять.

Теперь договоримся о способах записи различных объектов. Обычно математические символы пишутся курсивом нормальной толщины, но не обязательно: некоторые типы объектов можно выделять обычным и/или утолщенным шрифтом, с применением надсимвольных знаков (стрелка, черточка, точка, галочка, ...). Обычно это оговаривается особо.

Тензорные объекты (в т.ч. тензорные плотности) будем записывать с применением латиницы или греческим шрифтом. Индексы и надсимвольные знаки можно писать не всегда, а по необходимости, если из контекста понятно, что наш объект - тензор. Это может относиться и к другим типам объектов.

Скаляры от тензоров будем обозначать либо той же буквой, что и тензор, либо греческим шрифтом: α, β, γ, …

Оператором полной производной функции φ по параметру u является оператор d/du (d2/du2, d3/du3, …), при этом формы записи могут быть различными: d/du(φ), dφ/du, http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%5Cvarphi%20%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cvarphi%20%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%2C%5Cvarphi%20%27%2C%5Cvarphi%20%27%27%2C%5Cvarphi%20%27%27, .... В частном случае параметра производной u = t (t – время) признаком полной производной может быть наличие нескольких точек (от одного до трех) над обозначением функции: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Cdot%7B%5Cvarphi%20%7D%2C%5Cddot%7B%5Cvarphi%20%7D%2C%5Cdddot%7B%5Cvarphi%20%7D, … Для обозначения частной производной вместо символа d применяется символ ∂. Для тензорных функции признаком частной производной является запятая перед индексом, обозначающим взятие производной по ней: φi,j. При взятии ковариантной частной производной вместо запятой применяется точка с запятой: φi ;j.

Замечание. Степень оператора производной, несмотря на то, что обозначается как индекс в верхней и нижней позициях: d2/du2, также как и оператор возведения в степень: x2, не являются по сути индексами.

Строчными буквами для удобства интерпретации формул будем писать в дальнейшем скалярные, 3–мерные пространственные и временные дифференциальные параметры м.т., 4–мерные дифференциальные параметры м.т. по времени dt. Это 1) параметры м.т. – значения массы m, заряда е, потенциальную энергию u и 2) координаты точки – время t или q0, координата ri или qi, параметры движения м.т. (по времени t) – скорость vi = dri/dt, импульс рi = mvi, электрический ток (импульс тока) ji = Evi, момент импульса mi и mij, относительная скорость β = v/c, лоренц–фактор http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Cgamma%20%3D%5Csqrt%7B1-v%5E2%7D, ускорение ai = d2ri/dt2, i Î {1,2,3}, сила fi = mai, тензор поворота q ij, ось тензора поворота (тензорная плотность) q i  и его модуль q, тензор скорости вращения wij, ось тензора скорости вращения wi  и его модуль w. 3–мерными параметрами полей материи являются плотность вещества r(r), электрических зарядов E(k), их токи pi и j(k)i, метрический тензор gij и базовая система векторов gkj, масштабные коэффициенты преобразования (натяжения) координат g и времени λ, единичный тензор dij  (иногда 1 или E (не курсив)по контексту), полностью антисимметричную единичную тензорную плотность – eijk.

С помощью строчных букв будем обозначать также интервал СТО и ОТО, одновременно параметр мировой линии м.т. s и ее дифференциал ds. Символом qi (i Î {1,2,3,0}) мы будем обозначать многомерную (полномерную) координату, объединяющую координаты 3-мерного подпространства ri = qi : iÎ {1,2…n} и 1-мерного времени t = q0.

Особая тема – преобразования координат. Координаты сами по себе не являются тензорами, кроме особых случаев – линейных преобразований координат без смещения. Но при этом дифференциалы координат и тензорные поля преобразуются по тензорным законам как тензоры ранга 2: тензор галилеевых преобразований координат vij {v00, vi0, v0j, vij,} и общих преобразований координат gij{g00, gi0, g0j, gij,}, тензор поворота (вращения) wij = vij, тензор деформации eij. Обозначение g или |g| будем применять также для детерминанта функционального преобразования координат |gij|. С семантической точки зрения для тензоров при преобразованиях координат gij в принципе важен порядок следования индексов, с тем, чтобы мы могли отличить тензор прямого преобразования координат от обратного, который обозначим как http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%7Bg_j%7D%5Ei%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20r%5Ei%7D%7B%5Cpartial%20r%27%5Ej%7D: первый индекс в первом члене выражения принадлежит штрихованной системе координат. Индексы тензора прямого преобразования координат можно писать и друг под другом, без соблюдения порядка, т.к. порядок чтения символов обычно соответствует схеме слева–направо–сверху–вниз.

Прописными буквами будем писать полномерные (4-мерные) дифференциальные параметры м.т. по параметру мировой линии м.т. ds и произвольные поля. Элементы тензорных параметров и полей можно писать как строчными, так и прописными, с различением по контексту применения – пространственные или полномерные параметры и поля.

Полномерными параметрами м.т. являются следующие: n–мерная скорость Vi = dqi/ds, импульс Pi = mVi, ускорение Ai = d2qi/ds2, 4–мерная сила Fi = mAi, Fij = mAij, действие dS = mds, 4–мерные момент импульса Mij (Mi) и момент силы Iij (Ii), работу А (отличается от обозначения ускорения отсутствием индекса или по контексту), энергию E, кинетическую энергию K, мощность N. При этом пространственную часть элементов тензора можно писать для определенности строчными буквами: Ai º (a0, ai). Сравните: Aij: iÎ {0..n}, aij: iÎ {1..n}.

Часто в формулах приходится оперировать поэлементно записанными матрицами. Кроме общего поэлементного способа записи матрицы (в данном случае 4–мерной):

Mij =

M11

M12

M13

M14

M21

M22

M23

M24

M31

M32

M33

M34

M41

M42

M43

M44

будем пользоваться упрощенным способом записи матрицы:

Mij »

M00

M0j

Mj0

Mij

Здесь имеется в виду, что индекс 0 соответствует временной координате индекса, не равные нулю индексы i, j ≠ 0 – пространственной координате индекса. При этом ранг матрицы не обязательно равен четырем. Если какая-то ось выделена, например, ось с индексом 1 (имеется разница между некоторым направлением в пространстве и перпендикулярными к нему), то матрицу можно записать и в три строки:

Mij =

M00

M01

M0j

M10

M11

M1j

Mj0

Mi1

Mij

Первая строка и столбец соответствуют временной координате, вторая строка и столбец здесь соответствуют координатной оси с индексом 1 (вдоль выделенного направления), третья – всем перпендикулярным к ней направлениям.

Поля (тензорные, силовые и не силовые и др.) обозначаются прописными буквами с индексами: Ai, Aki (а также с использованием букв B, C, D и т.д.) – векторы или векторные (тензоры и тензорные) поля произвольной природы; через φ и g – как исключение, со строчной буквы – силовое псевдоскалярное потенциальное и метрическое поля. Предопределенные буквенные обозначения: Vi – силовое поле скоростей (импульсов) м.т.; Ai, Ai – силовое поле ускорений (или напряженности) м.т.; Aij (и с другими идентифицирующими буквами) – силовое поле ускорения, взаимодействующие с м.т. через скорость м.т., объединяющие псевдотензорные поля w, Ai, Vj, Aij; Ai векторный потенциал электромагнитного поля, Si – векторное силовое поле вихревого типа (аксиальное); Ei – электрическая поле (прототип Ai); Hi – магнитное поле (тоже аксиальное, прототип Si). Пространственная часть этих полей тоже будет обозначаться прописными буквами, с различением по контексту применения.

С помощью тех же букв с числом 0 («ноль») в первой позиции нижнего индекса или не индексной позиции в скобках или без (в зависимости от контекста, ситуации) будем обозначать начальные состояния м.т. и полей в начальный момент времени: t0, t(0), t0, t(0). Целым числом m, n, (иногда и k, l): tn, t(n), t(n) – промежуточные состояния м.т. и полей в некоторый нумерованный момент времени tn. Строчными буквами h, i, j, k, l, (иногда и m, n) на месте индекса – индексы тензорных (векторных) параметров и полей. Прямыми буквами m, n (иногда и k, l) – перечисляющие индексы для различения различных тензоров (векторов) или других объектов одной природы, не увеличивающий ранга тензора (всегда первый индекс такого тензора).

Если индекс не записан явно, то он предполагается неявно для обозначений параметров м.т. и полей векторной (тензорной) природы. Этот метод широко будет использоваться для описания классической механики в 3– и 4–мерном пространстве.

Параметр со штрихом на месте верхнего индекса или несколькими штрихами (') – это обычно параметры системы в новой системе отсчета (после преобразования координат).

Замечание!. Положение о прописном или строчном написании обозначения параметра является вариативным. Зависит от ваших предпочтении.

Для более полного ознакомления с тензорным исчислением можно воспользоваться учебниками:

1.      В.Паули. Теория относительности. М., Наука, 1983.

2.      Э.Шредингер. Пространственно–временная структура вселенной. М., Наука, 1986.

3.      М.А.Акивис, В.В.Гольдберг. Тензорное исчисление. М., Наука, 1972.

4.      С.Ленг. Алгебра. М., Мир, 1968.

2.    Язык. Формы записи выражений

Для записи любого выражения используется некоторый алфавит. Само выражение представляет собой последовательность букв этого алфавита, подчиняющаяся определенным правилам. Эти правила определяются языком.

Примерами языков могут быть, например, русский язык, английский язык, немецкий, китайский и множество других. Это естественные языки. В языке определяется алфавит. Для русского языка это буквы алфавита кириллицы, основанного на греческом алфавите, для английского – латиница. В китайском языке используются не буквы алфавита, а специальные стилизованные рисунки – иероглифы, представляющие иногда целое понятие. Кроме естественных языков, существуют специализированные языки. Это, в основном, языки математики и химии, появившиеся для описания соответствующих научных знаний, и языки программирования, появившиеся в связи с появлением электронных вычислительных машин для формализованного описания задания для них (программ и данных для него). Для них естественные языки выступают в роли некоторого "метаязыка" или "сверхязыка"– языка, на котором происходит объяснение всего на понятном всем языке. Метаязык – язык, понятный человеку с детства и не нуждающийся в каких либо дополнительных объяснениях. Метаязык надо понимать именно так. Ее не надо объяснять. Разве что на уроках родного и иностранного языков. Он дан нам изначально. Чем глубже человек понимает язык математики и конкретной математической теории, тем меньше ему нужно этого метаязыка для понимания.

Выражения в естественных языках называются предложениями. Они состоят из отдельных слов, представленных достаточно короткими последовательностями букв алфавита. Из слов по определенным синтаксическим правилам составляются предложения, а из них – абзацы и тексты. Вопрос смысла этих текстов скрывается в сопоставлении этих слов в соответствии с синтаксическими правилами объектам реальной природы и связям между ними и в дальнейшем истинности/ложности составленных из них предложений и логической целостности законченного текста. Не всякая последовательность является выражением! И не всякое выражение является осмысленным выражением! Математический язык ничем не отличается от них.

У естественных языков имеются вполне определенные звуковые образы, но этим мы здесь не будем заниматься. Звуковые образы в принципе тоже являются языком со своим звуковым алфавитом.

И, конечно, в современном мире у естественных языков имеются и их письменные образы. И достаточно точные – с точностью до интонации, звукового образа.

В письменный алфавит почти любого языка входят также способы представления чисел. Наиболее употребительным является алфавит, использующий изображение для первых десяти цифр, потому что человек использует десятеричную систему счисления. Это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Цифра – это символ языка. Их называют арабскими, потому что в таком представлении они пришли из арабских стран. Числа – это слова, которые признаются числами. Символически это иероглиф. Числа записываются через них с применением позиционного способа и дополнительных условных правил. Ранее использовались и другие и достаточно сложные системы счисления и способы их письменной записи, например, римская форма записи десятеричных чисел. В компьютерах в основном используется двоичная (восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д.) система счисления, но  для визуализации используется десятеричная система.

Научный язык, в частности математики, является в высокой степени формализованным языком. Кроме осмысленного текста на естественном метаязыке, в ней присутствует формализованный специфический язык, построенный по очень строгим правилам. Эти правила объединяют правила записи выражений и правила вывода следствий и "вычисления" (доказательства) выражений теории. Языки программирования максимально формализованы и в ней естественный язык практически присутствует только в примечаниях и значениях некоторых строковых параметров.

2.1       Функциональная форма записи

Математика насквозь пронизана "выражениями", с помощью которых записываются формулы и производятся вычисления. Смысл любого выражения в его вычислимости. Любое выражение состоит из обозначений операндов и функций (операций), результат вычисления которого зависит от порядка выполнения функций (операций) над операндами. Общая форма записи выражения определяется следующим, опять же, выражением:

F ( f1fm, p1pn).

где F(f1fm, p1pn) – вычисляемое выражение, определяющее порядок использования параметров. Префикс F определяет, как именно устроено выражение, т.е. последовательность символов и объектов (параметров) предложения в более детальном виде. Можно считать, что это выражение – некий сложный иероглиф (идентификатор), заменяющий другое, более детальное выражение, полученное методом подстановок, т.е. заменой некоторого более длинного и сложного выражения некоторым идентификатором.  Про использование скобок см. далее.

f1fm – список множества функции (операций, действий), применяемых к операндам в выражении в определенном порядке,

p1pn – список множества операндов (объектов) выражения,

Порядок  f1 pn в выражении F(f1fm, p1pn)  может быть любым другим, в соответствии с правилами языка. Правила определяют все.

Эта общая форма записи выражения очень обща и неудобна для использования. Практически по ней ничего нельзя сказать, потому что чтобы его вычислить, необходимо знать, что представляет собой объект F. На практике применяются правила составления выражений и доказательства, что последовательность символов языка является правильным (или допустимым) выражением (почти как масло масляное).

Для упрощения записи выражений используются различные способы упрощения записи выражений и использования скобок. Один из способов упрощения записи выражения – это запись выражения в форме функции только по отношению к своим аргументам:

Rf = Rf(p1pn).

При этой форме записи выражение состоит из двух частей – идентификатора функциональной зависимости (в общем случае многоместной функции Rf, однозначно определяющий множество функциональных операндов f1fm и их влияние на результат) и ее операндной части, заключенной в скобки. Ограничений на состав операндной части, конечно, не имеется, но принято, что она состоит только из множества аргументов и не включает в себя перечисление функций. Но в качестве операндов могут применяться другие выражения (функции):

R1 = R1(p1R2(pnpm)).

Это наиболее общий функциональный способ записи выражений. Эта форма называется префиксной формой (см. далее).

Кроме префиксной функциональной формы, представленной выше, применяется еще постфиксная функциональная форма (см. далее), при которой идентификатор функциональной формы выражения записывается после операндной части:

Rf = (p1pn)Rf.

Смешанное применение префиксных и постфиксных форм записи выражений не желательно и применяется только в специальных случаях, например, при использовании факториала числа.

Для записи функций над двумя операндами используется инфиксная форма записи выражений:

Rt = (p1 t  p2),

При этой форме знак функциональной зависимости операндов ставится между парой операндов (см. далее).

При использовании в выражении нескольких аргументов и нескольких функций и операций возникает задача определения блока параметров и порядка выполнения операций. Порядок выполнения однозначно определяется расставленными скобками. Первым вычисляется самая внутренняя скобка, затем внешние по отношению к нему. Такая форма записи называется полной скобочной формой записи выражения.

Другой способ упрощения выражения – это вообще избавиться от скобок. Смотри далее – префиксная и постфиксная формы записи выражений.

Замечание. Заключение параметрической части для безоперандного и однооперандного выражений в скобки не является обязательной:

R = Rf() º R = Rf ,

R = Rf(p) º R = Rfp

Но нужно помнить: излишнее упрощение записи выражения может привести к противоположному эффекту – усложнению анализа выражения человеком. Необходимо остановиться на каком-то компромиссе.

2.2       Скобочная форма записи

Одним из способов записи выражений является использование скобок. Скобки очень широко используются практически во всех формализованных языках. Скобки определяют как синтаксические части ее, так и порядок выполнения расчета выражения. Во многих языках любое выражение заключается в общую скобку и становится после этого более простым элементом языка - выражением.

Скобки выделяют в выражении некоторую блочную структуру, состоящую из открывающей и закрывающей скобок, внутри которой находятся другие блоки выражения. Использование скобок подчиняется своим правилам. Конкретное символьное представление скобки можем быть различным, но обязательное условие – вместе с открывающей скобкой существует и закрывающая скобка. Причем любая скобочная структура как блок должна быть либо самой внешней, либо находится внутри другой скобочной пары. Например, скобочная запись ( ( ) [ ] ) правильная, а запись в виде ( ( [ ) ] ) – неправильная: блок квадратной скобки разорван круглой скобкой. Между любыми двумя соседними открывающими или закрывающими скобками в скобочном выражении может присутствовать другая, не скобочная запись (не обязательно правильное законченное выражение), но между любыми двумя парными соседними скобками скрывается правильное выражение.

Но не всегда при записи выражений пользуются полной скобочной формой записи, а упрощают их, убирая некоторые скобки.

Замечание. Заключение всего выражения (не внутренних! подвыражений) в скобки не является обязательной.

В этом случае задача определения порядка выполнения операций решается с помощью использования приоритетов некоторых операций над другими. Например, в математике операции умножения и деления имеют приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, операция возведения в степень – над операциями умножения и деления. При одинаковых приоритетах вычисления производятся последовательно слева направо. Для принудительного изменения порядка выполнения операций в этом случае опять же возвращаются скобки.

Применение скобок для записи выражений уже было показано выше. Но там применение скобок ограничивалось записью списка параметров функционального выражения в структуре типа r = j(p), где r – идентификатор результата, j - идентификатор функциональной зависимости, p – список параметров через разделитель.

При применении инфиксной формы записи выражения встает задача упрощения записи выражения, а затем – обратная задача определения порядка выполнения операции внутри упрощенного выражения. Частично эта задача решается выставлением приоритетов операций друг над другом и последовательным (в порядке записи) выполнением операций над ближайшими соседями. Но этот способ не всегда однозначен.

Способ расстановки скобок при инфиксной записи считается интуитивным. Стоит подчеркнуть, что здесь и в дальнейшем мы придержи­ваемся свободной точки зрения на введение и сокращение скобок. Иначе говоря, их появление и ликвидация, как правило, управляют­ся соображениями удобства, а также требованиями к уровню фор­мализации текущего фрагмента текста.

Результирующая строка состоит из символов, обозначающих элементы алгебры выражений и сбалансированных скобок. В качестве символа скобки может применяться очень широкий круг одиночных (круглые, квадратные, угловые, фигурные скобки, апострофы и кавычки) и не одиночных (beginend, ifendif, fornext, …) печатных символов. При вычислении выражения все, что стоит внутри сбалансированной скобки, имеет приоритет перед всем, что стоит вне скобок, и вычисляется раньше. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется языком Дика. Общее число различных способов записи n применений оператора алгебры определяется числом Каталана Cn. Так например, C2 = 2, что эквивалентно утверждению, что (ab)c и a(bc) — единственно возможные способы определения порядка применения двух операций, включающей множество из трёх элементов.

Для дальнейшего упрощения записи и сокращения числа используемых скобок используется условное обозначение приоритета. Для того, чтобы обозначить более высокий приоритет у выполняемой операции, используют запись рядом. Например, если операция магмы обозначается знаком *: (xy ~ x*y), то xy*z — сокращённая запись (x*y)*z. Дальнейшие сокращения возможны за счёт использования уменьшающих приоритет пробелов. Например, записывая xy*z * w*v вместо ((x*y)*z)*(w*v): пробел уменьшает приоритет по отношению к такой же операции без пробела. Разумеется, при использовании пробела на бумаге можно ошибиться в его наличии (или его количестве) на определенном месте выражения, что может доставить неудобство, но при машинном разборе выражения ее можно использовать. Большое количество скобок тоже может привести к неудобочитаемости выражения, но и здесь при машинном разборе выражения это не вызовет проблем. Да и к тому же для более сложных выражений отказ от использования скобок нежизнеспособен – сложно контролировать баланс скобок. Это удобство усиливается с использованием специальных редакторов, подсвечивающих парные (ответные, сбалансированные) скобки.

Скобочная запись широко используется в программировании для описания различных структур данных, в частности списков, деревьев, для записи структурированных алгоритмов и анализе программ и синтаксических структур языков программирования.

2.3       Префиксная форма записи

Способом избежать использование скобок является префиксная запись и постфиксная записи. Основная форма записи в префиксной форме следующая,она же самая простая:

F(f1fm, p1pn).

Возможны другие формы. Это более строгая полная скобочная форма:

(F(f1fm, p1pn)),

и наиболее простая бесскобочная форма:

F f1fm p1pn.

Последняя форма возможна только если известно количество аргументов функцции F.

Отметим, что формы записи выражений взаимно обратимы. Идея таких преобразований будет достаточно ясна, если 1) сначала уточнить исходную форму записи до полной скобочной формы записи, С этой целью добавим в формулу лишние скобки, которые избавят нас от учета стандартных соглашений относительно приоритета. Получим то же выражение в расширенной скобочной форме. А затем 2) применять к каждой скобке стандартную процедуру преобразования от одной формы к другой. Преобразование из инфиксной формы в префиксную и наоборот происходит применением правила преобразования текста

(A j B) « j A B,

из постфиксной формы в префиксную и наоборот происходит применением правила преобразования текста

A B j « j A B.

Для примера рассмотрим следующее исходное инфиксное выражение: 4*(6-3)+(8-6)/2.

Для начала получим это же выражение в полной скобочной форме: ((4*(6-3))+((8-6)/2))). А теперь начнем изменять запись этого выражения. Прежде всего, внешнее действие (A+B), где A= (4*(6-3)) и B = ((8-6)/2), запишем, снимая скобки, в виде + A B. Для нашего примера получится +(4*(6-3)) ((8-6)/2). Аналогично преобразуем аргумент A. Имеем +*4(6-3) ((8-6)/2). А дальше будем преобразовывать каждую следующую скобку, двигаясь от внешних скобок к внутренним: +*4-6 3 ((8-6)/2) ® +*4-6 3/(8-6)2 ® +*4-6 3/-8 6 2. Получившаяся форма называется префиксной записью (действие пишется перед операндами) или польской записью, так как ее появление связывается с именем польского математика Яна Лукасевича (Jan Lukasiewicz, 1878-1956).

2.4       Постфиксная форма записи

Постфиксная форма записи отличается от префиксной тем, что идентификатор операции записывается не до своих аргументов, а после. Постфиксную форму записи иногда называют записью в польской нотации. Эта форма записи довольно широко ипользовалась при программировании задач в микрокалькуляторах в силу оптимального использования ограниченных ресурсов их памяти.

Постфиксная форма записи выражения достаточно интуитивна, проста и последовательна для анализа. Правила преобразования форм идентичны предыдущим, с учетом смены места нахождения функционального символа:

(A j B) «  A B j,

j A B « A B j.

Пост- и префиксный принцип записи можно не ограничивать только операциями, а можно применить и к произвольной функции с известным количеством аргументов n:

j p1 p2 pn « p1 p2 pn j.

2.1       Инфиксная форма записи

Несмотря на более удобную и прозрачную форму использования функциональной формы выражения, префиксная и постфиксная формы записи имеют неудобства в использовании. Но для однооперандных выражений они являются единственными. Для более прозрачной записи выражений используются и другие формы. Такой формой записи для двухоперандных функциональных выражений является инфиксная форма, и она применяется очень широко. При этом функциональная зависимость называется "операцией".

R = (p1 t  p2),

где p1 и  p2 – операнды (аргументы) операции,

t  - символ (идентификатор) операции.

Количество операндов такой функции в точности равно двум. При этой форме записи функциональный оператор операции находится между своими операндам и. Правила преобразования из функциональных форм в инфиксную следующие:

(A j B) «  A B j,

(A j B) « j A B,

В качестве операндов здесь также могут применяться другие операции (функции) и префиксные (или постфиксные) записи выражений:

R = (p1 t1 (( p2 t2 p1) t3  f(p3))).

Это смешанная форма записи выражений.

Ссылка на этот материал: oboznachyeniya.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "двенадцать" x "шесть" =

---Load files---
Сегодня - 20_08_2019
Время переоткрытия сайта 14 ч 52 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:6 V:7
Уникальных посетителей: 6 Просмотров: 7