-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: September 29 2019. -------
Ссылка на этот материал: opredeleniya.htm)
 Определения и понятия в физики и математике

1      Основные понятия и определения

Нельзя объять необъятное!
(Козьма Прутков)

В основе всех знаний лежит определение. Через нее даются другие понятия и определения, аксиомы и теоремы, следствия из них, ложные и истинные высказывания. Любая наука строится на основе определений и через определения.

Определение (от слова "делить") или дефиниция (лат. dEfinitio — предел, граница) — логическая процедура придания строго фиксированного смысла терминам языка. Термин, над которым проводится операция дефиниции, называется дефидентом. В данном случае дефидентом является слово "определение", а дефиницией – все, что написано после слова "определение" и до следующего определяемого понятия (слова).

Необходимость определений в науке была осознана еще в древности, когда возникли первые научные теории или претендующие на нее знания. Еще Платон (IV в. до н.э.) утверждал необходимость определений как важнейшего звена наших знаний о вещах. Термин "определение" был введен Аристотелем для обозначения "высказывания, объясняющего, что есть данная вещь", или "отчета о сущности вещей". Необходимость определений в науке диктуется тем, что необходимо однозначно понимать научные знания, полученные человеком в результате изучения определенной области науки.

Определение каждого понятия, по Аристотелю, осуществляется путем включения его в ближайшее родовое понятие и указания видовых отличий. Например, определяя ромб как параллелограмм, в котором смежные стороны равны между собой, мы включаем ромб в родовое понятие "параллелограмм" и выделяем его присущим ему видовым отличием – равенством смежных сторон. Определение родового понятия, в которое включено в соответствии с этим правилом видовое понятие, требует еще более общего понятия. И т.к. это видовое восхождение, как указывал еще Аристотель, не может продолжаться неограниченно, то мы неизбежно должны прийти к таким понятиям, которые уже не могут быть включены в более общие понятия, т.е. не могут быть определены. Эти понятия называются категориями. Рассматривая науку, изучающую некоторую определенную область (науки), Аристотель ясно видит, что довести восходящий процесс определения понятий отдельной науки до общих категорий, в которые укладывается все сущее, очень трудно и может быть невозможно. Поэтому он признает необходимость устанавливать основные, начальные понятия в каждой науке.

Для основных, исходных понятий физики характерно то, что только описание способа измерения служит им явным определением. Определение физической величины имеет две стороны, и его формулировка требует рассмотрения следующих двух вопросов:

1)  необходимо рассмотреть физическое понятие как характеристику данного объекта или процесса, указать, какой объект и какие именно его свойства характеризует вводимое понятие;

2)  необходимо указать, как можно измерить или вычислить определяемую величину.

Различают несколько видов определений.

Номинальное определяет термин, обозначающий некоторое понятие. С помощью номинальных определений вводятся новые термины, вводятся знаки, обозначающие термины.

Например, "масса есть количество вещества в материальном объекте" или "значение массы материального объекта обозначается символом m". Это довольно слабое, качественное определение понятия "масса" и оно не дает ни способа определения значения массы, ни его свойства.

Реальное определение отображает существенные признаки, свойства и характеристики объекта с целью формирования отличий от других объектов (см. "явное определение").

Явное (эксплицитное) определение – это когда даны дефидент и дефиниция, и между ними устанавливается отношение равенства. Родовой признак указывает на тот круг предметов, из числа которых надо выделить определяемый предмет (напр. "прибор": "барометр — это прибор для измерения атмосферного давления").

Определение, составленное в соответствии с аристотелевским правилом из ближайшего родового понятия и видового отличия, представляет пример явного определения. Явное определение специально формулируется специально для того, чтобы указать критерий отличия, отыскания или построения предмета или понятия. Формулируя явное определение, мы вкладываем в определяемое понятие вполне конкретное содержание, так что явное определение дает однозначное описание понятия или объекта,

Под явное определение подходят определения физических параметров с помощью формул или описанием способа измерения. Например, масса может быть определена явным образом на весах или по формуле, если предварительно определены импульс и скорость: m = p/v.

Операциональное определение – определение понятия путем указания эмпирических операций, хотя бы мысленных. Например, силу можно определить по вызываемой ею деформации пружины. Другими примерами операционального определения в физике являются введение понятий время, координата, сила, масса, заряд, энергия и другие. Они являются основными, исходными понятиями физики и в то же время их нельзя отнести к элементарным, выводимым из прямого наблюдения. Чтобы связать такие понятия с объективной реальностью, нужно определить их, указав некоторые эмпирические операции, при помощи которых измеряются соответствующие этим понятиям физические величины.

Следует иметь в виду, что выбор понятий, опеределяемых операционально, неоднозначен. Например, масса может быть определена явным образом, если предварительно определены импульс и скорость: m = p/v.

Неявное (имплицитное) определение - на место дефиниции подставляется набор аксиом или контекст.

Наиболее общим (исходным) понятиям науки нельзя дать явных определений в рамках формальной теоретической схемы. Вместо этого формулируется система аксиом, в которых перечисляются основные отношения (свойства), присущие основным объектам. Под основными объектами и их свойствами можно понимать все что угодно, лишь бы они удовлетворяли системе аксиом. Например, в аксиоматике геометрии в качестве основных объектов принимаются точка, прямая и плоскость, а в качестве основных отношений – инцидентность, между и движение. Остальные понятия геометрии определяются через эти шесть основных.

Аксиоматическое определение является фундаментальным, строится из суждений (логических выражений) как (конъюнктивная) совокупность утверждений, содержащих определяемое и определяющие понятия в этих утверждениях. Аксиоматическое определение по сути является неявным определением.

Примерами аксиоматических определений являются определения первичных геометрических понятий в геометрии Евклида через их свойства. Это точка, прямая, плоскость, свойства которых исчерпывающе определены соответствующими аксиомами. Через движение, параллельность и перпендикулярность определяются топологические и метрические свойства пространства.

В физике вместо аксиом используются постулаты. Основным постулатом в классической физике, пожалуй, являются постулаты о евклидовости пространства, абсолютности пространства и времени,  равноправности всех инерциальных систем отсчета, причинности (сила) и степени податливости (масса) изменения состояния движения материальных объектов от воздействующей силы. Истинность постулатов доказывается только опытом.

Контекстуальное определение позволяет понять незнакомое слово через контекст.

Контекст (от лат. contextus — "соединение", "связь" ) — это законченный отрывок письменной или устной речи (текста), общий смысл которого позволяет уточнить значение отдельных входящих в него слов, предложений, и т. п. Это условия конкретного употребления языковой единицы в речи (письменной или устной), её языковое окружение, ситуация речевого общения. Говорить, опираясь на контекст — значит, не повторять в своей речи то, что было сказано только что, использовать понятия текущего в разговоре уровня абстракции и семантического поля. Потерять контекст в разговоре — это перестать понимать, на что опирается собеседник, или интерпретировать его в ином смысле, нежели то, что должно было следовать из подразумевавшегося контекста.

В более широком значении контекст — среда, в которой существует объект (например, "в контексте эстетических представлений XIX века творчество Тернера было новаторским") .
С формальной точки зрения контекст представляет собой определенную систему отсчета, пространство имен.

Любое событие, происходящие в жизни субъекта, интерпретируется исходя из контекста, ситуации, отраженной в памяти субъекта.

Интенсиональное определение должно содержать:

 — описание свойств, характеристик объектов, выделяющих определяемое в сравнении с другими объектами соответственно;

— пояснения смысла термина указанием правил выделения его среди прочего;

— указание ближайшего понятия и отличительных признаков по сравнению с другими определениями других понятий.

К интенсиональному виду определений относятся собирательное и представительное определения.

Собирательное понятие – это понятие, элементы объема которого представляют собой множество однородных объектов. Например, понятия: толпа, прокуратура, библиотека, коллектив, созвездие. Одна из особенностей собирательных понятий состоит в том, что они не могут быть отнесены к каждому объекту данного множества (отдельные книги – это еще не библиотека, а отдельные сотрудники еще не коллектив). Отсюда другая особенность подобных понятий: то что высказывается о множестве объектов в целом, может не относится к каждому из его элементов (если затопило библиотеку – это не означает, что затоплена каждая книга).

Представительное определение - определение предмета путём указания на некоторый другой предмет как представителя класса (рода, вида) определяемого предмета (см. также Остенсивное определение).

Генетическое определение - определение предмета путем указания на способ, которым образуется только данный предмет и никакой другой: "кислоты — это вещества, образующиеся из кислотных остатков и атомов водорода".

Индуктивное (рекурсивное) определение - дефидент используется в выражении понятия, которое ему приписывается в качестве его смысла (см.: "натуральное число").

Остенсивное определение - определение предмета путём указания на него, или демонстрации самого предмета.

Правила дефиниции.

Соразмерность дефидента и дефиниции. Пример ошибки:

Широкое определение "Лошадь — млекопитающее и позвоночное животное". Объектами типа "лошадь" могут оказаться не только лошади.

Узкое определение "Совесть — это осознание человеком ответственности перед самим собой за совершённые поступки". Понятие "совесть" на самом деле гораздо шире, а данное определение выделяет какую-то часть, которому должна соответствовать характеристика совести.

И широкое и узкое одновременно "Бочка — это сосуд для хранения жидкостей".

Определение не должно содержать круга — когда дефиниция определяется через дефидент, а дефидент был определён через дефиницию. Пример ошибки:

"Халатность заключается в том, что человек халатно относится к своим обязанностям" (см.: Тавтология).

Чёткость и ясность — определения не должны быть двусмысленными, не допускаются метафоры и сравнения. Пример ошибки:

"Лев — царь зверей".

Родовой признак должен указывать на ближайшее широкое понятие, не перескакивая через него.

Видовым различием должен быть признак или группа признаков, присущих лишь данному понятию и отсутствующих у других понятий этого рода.

По возможности определение не должно быть негативным и вообще предвзятым.

Следует отличать определение от других действий, не раскрывающих полностью суть понятия:

описание — перечисление отличительных внешних признаков, способствующих выделению среди остальных;

характеристика — перечисление самых важных признаков;

сравнение — фиксирование факта совпадения или несовпадения признаков между объектами;

демонстрация — ознакомление с понятием выяснением его рода или класса.

Более подробно можно посмотреть по адресу:

http://exam-ans.ru/informatika/29449/index.html?page=8.

Литература

Р.Ю.Волковыский. Определение физических понятий и величин. М., Просвещение, 1976.

Здравый смысл – бытовое понятие "правильного взгляда на мироустройство", подтверждаемого его багажом знаний и полученного на основе собственного опыта, которые разделяют "почти" все люди и которые можно ожидать от почти всех людей без необходимости обсуждения. Багаж "правильных знаний" зависит от субъекта: его воспитания, обучения, принадлежности к определенной социальной группе, веры и круга "почти". Часто здравым смыслом подменяют знания, хотя и может на них основываться. Здравый смысл не может быть научным, потому что оно принято человеком на веру без подтверждения, хотя оно может быть и правильным и подтвержденным некоторым количеством фактов. Здравый смысл не может быть доказательством правильности его взглядов.

Для примера можно пройти по ссылке http://www.bibliotekar.ru/filosofiya/88.htm .

В здравом уме и твердой памяти – не научное, более – юридическое понятие. Здравый ум и твердая память предполагает наличие у субъекта не искаженной разными факторами (медицинскими, социальными, идеологическими, политическими, религиозными …) информации о прошлом и настоящем. Медицинские искажения могут проявляться различными видениями, эмоциями, галлюцинациями, принимаемыми субъектом как реальные события. Остальные факторы могут вызывать у человека страх, ненависть и другие сильные эмоциональные состояния, мешающие правильному восприятию.

Знание - форма существования и систематизации результатов познавательной деятельности человека. Выделяют различные виды знания: обыденное ("здравый смысл"), практическое, научное и др. Научному знанию присущи логическая обоснованность, доказательность, воспроизводимость познавательных результатов. Знание объективизируется знаковыми и понятийными средствами языка.

Можно согласиться с тем, что ЗНАНИЕ есть систематизация познавательной деятельности, то есть, УПОРЯДОЧЕННАЯ СИСТЕМА УТВЕРЖДЕНИЙ о чем-то. Можно согласиться с тем, что существуют различные виды знаний и первичным критерием структурирования должен быть предмет знания, это самое "о чем-то". К примеру, существует масса весьма объемных РЕЛИГИОЗНЫХ знаний и скудные крохи атеизма, существуют знания врача и хироманта, алхимика и астролога, магические знания и знания боевых искусств, знания охотника и черного копателя, знания профессионального карманника и профессионального музыканта и так далее. Все это - ЗНАНИЯ, поскольку отвечают определению понятия. Из всей этой массы ЗНАНИЙ научное знание отличается только одним – научное знание есть упорядоченная система утверждений о действительности. В какой степени во всех других знаниях имеют место утверждения о действительности, в такой степени эти знания научны.

(использован материал с http://www.new-idea.narod.ru/mfch.htm).

ИСТИНА есть действительность. И наоборот, только действительность и есть Истина. И ни что более. Любое утверждение о действительности, в том числе и настоящее, истиной быть принципиально не может, поскольку основано на заведомо неполной системе фактов и выражено в заведомо неполной понятийной системе.  Только сама действительность является высшим судьей в научных спорах и только научные факты выносят любым знаниям окончательный, не подлежащий обжалованию, приговор. С точки зрения такого понимания истины представляется откровенно ненаучным платонизм в философии математики.

Математические объекты реально не регистрируются, значит – не действительны. Реально регистрируется только человеческая деятельность по обозначению этих абстрактных понятий. Более того, само понятие науки, ее деление на философию, математику, физику и прочее – суть чисто человеческое "изобретение", нет в Природе такого, как нет и чисто философских, математических, физических объектов. (Использован материал с http://www.new-idea.narod.ru/mfch.htm).

Но они существуют в нашем сознании, определяя какую-то структуру мозга. Отражение физической реальности существует также в управляющих структурах других живых организмов, определяя их поведение в объективной существующей внешней физической реальности.

Такое понятие ИСТИНЫ практически бесполезно. Ибо не реализуемо человеческими способностями: в ограниченный мозг человека вложить абсолютное знание невозможно.

Истина - соответствие знания действительности; объективное содержание эмпирического опыта и теоретического познания. В истории философии истина понималась как соответствие знания вещам (Аристотель), как вечное и неизменное абсолютное свойство идеальных объектов (Платон, Августин), как соответствие мышления ощущениям субъекта (Д. Юм), как согласие мышления с самим собой, с его априорными формами (И. Кант). В современной логике и методологии науки классическая трактовка истины как соответствия знания действительности дополняется понятием правдоподобности - степени истинности и соответственно ложности гипотез и теорий.

Истина в математике определяется в отношении высказываний через ее непротиворечивость по отношению к другим возможным высказываниям. Эта непротиворечивость определяется (вычисляется, доказывается) через другие аксиомы, теоремы, формулы с применением правил вывода. Таким образом, истинность в математике оказывается зависимой от конкретной математической теории: одно и то же высказывание может оказаться истиной в одной теории и не истиной – в другой. Но истина в математике абсолютна для конкретной теории и она не может зависеть от чего- и кого бы то ни было. Истиность и ложность высказывания в математике доказуемы в рамках конкретной теории хотя бы в обозримом (или необозримом) будущем. Но метаязык математики гораздо шире языка любой теории и более того, в достаточно богатой теории, включающей натуральные числа, не всякое высказывание конкретной теории доказуемо в ней (см. "теорема Геделя").

Понятие истинности в физике более соответствует действительной, фактической, физической реальности. И здесь истина относительна на данный момент времени, но фальсифицируема: ее можно проверить, если не сейчас – то в обозримом будущем. Ее неопределенность определяется методом получения знаний и ее объемом. Единственным методом получения новых знаний о природе является регистрация событий реальной действительности и/или анализ имеющейся базы фактов. Эти две методики являются следствием того фундаментального факта, что у нас нет непосредственного познания физической сущности, а регистрационная фактическая база знаний в любой конкретный исторический момент является конечной. Этот момент является ключевым в понимании всей исследуемой понятийной системы. Мы не знаем, что собой "на самом деле" представляет исследуемая сущность, какова ее "настоящая" структура и есть ли она вообще. Действительность нам представляется множеством событий, каждое из которых трактуется как некое локальное изменение и представление о реальности формируется нами самими, исходя из анализа этих изменений. Знания о промежуточных событиях получаются интерполированием событий. Знания о событиях за пределами исследованного получаются методом экстраполяции. При этом используется свойство упорядоченности и/или непрерывности множества, описывающего возможные события.  А также свойства линейности (через метризацию событийного пространства): малому изменению причинных параметров события соответствует пропорционально малое изменение описания следствия измененного события. Точность описания будет зависеть от плотности описания фактических событий и удачности метризации событийного пространства.

Поскольку за любой  исторический срок развития науки возможно зарегистрировать конечное число событий, причем для самого событийного поля никаких, даже потенциальных умозрительных ограничений не находится, эта конечность является существенной сложностью науки, поскольку имеет по крайней мере два следствия:

- регистрационная конечность событий при потенциальной необозримости всего событийного множества делают условными любую упорядоченную систему утверждений о действительности в любой конкретный исторический момент;

- регистрационная конечность событий  приводят к многозначности структурной упорядоченности систем утверждений о действительности в любой конкретный исторический момент.

Поэтому наличие нескольких конкурирующих теорий, прямо не противоречащих известному набору фактов, является не только отражением личных амбиций их авторов, но и показателем здоровья данного научного направления. Между тем и знания химика, и знания алхимика, оба в чем-то "соответствуют" действительности, только степень соответствия совершенно различна.

Итак, если отбросить предвзятость, то в самом лучшем случае в любой конкретный исторический момент любая, соответствующая этому историческому моменту упорядоченная система утверждений на основе соответствующих историческому моменту системе понятий неизбежно оказывается условной и неоднозначной, фактором, обусловливающим необходимость дальнейшего развития науки, тем не менее, отвечающим известным на этот исторический момент регистрационным фактам.

Ложь – противоположность истины.

Кроме ЗНАНИЯ, ИСТИНЫ и ЛЖИ, имеется еще НЕЗНАНИЕ, или отсутствие знания. Область Знания всегда конечна, область незнания – бесконечна. Она также бесконечна и противоречива, как множество всех множеств. И мы можем даже не знать, чего же конкретно мы все же не знаем. Мы не всегда можем знать даже то, что можем сформулировать с помощью нашего конечного языка.

Разновидностью истины является "правда" в значении "истина". Правда – относительная истина. Относительность зависит как от субъекта, так и от объекта "правды". Правда не является научным понятием, оно является более бытовым, и порой приобретает эмоциональную, политическую или религиозную окраску, снабжаясь такими эпитетами как "горькая", "страшная", "сладкая". Если под "правдой" подразумеваются субъективные представления человека об истине, может говориться о "нескольких правдах". За "Правду" можно выдать любое, даже самое абсурдное, не проверенное, но выгодное для говорящего утверждение. Под "правдой" может скрываться как истина, так и ложь, причем сознательно скрываемая. "Правда" и "неправда" часто практически не фальсифицируемы, т.е. их трудно или невозможно проверить за разумное время. Это обстоятельство очень часто используется в не добросовестной политике.

Нау́ка — особый вид познавательной деятельности, направленной на получение, уточнение и распространение объективных, системно-организованных и обоснованных знаний о природе, обществе и мышлении. Основой этой деятельности является сбор научных фактов, их постоянное обновление и систематизация, критический анализ и, на этой базе, синтез новых научных знаний или обобщений, которые не только описывают наблюдаемые природные или общественные явления, но и позволяют построить причинно-следственные связи и, как следствие, — предсказывать, прогнозировать. Те естественнонаучные теории и гипотезы, которые подтверждаются фактами или опытами, формулируются в виде законов природы или общества.

Любая научная дисциплина состоит из описательной (фактической) и формальной (теоретической) частей. Описательная часть описывает существующие фактические реальности, классифицирует их, формальная часть подводит под них теоретическую базу, которая позволяет объяснить существующее положение вещей и предсказать возможные явления за пределами описанного и исследованного.

Наука – инструмент получения бесконечного знания на основе нашего ограниченного языка, благодаря сослагательному наклонению "если …, то …", существующему в нашем языке, и кванторам общности или ограничения "для всех …", "всегда …", "найдется по крайней мере …" и т.д.

Теория (греч. θεωρία — рассмотрение, исследование) — учение, система идей или принципов. Теория - это высшая, самая разви­тая организация научных знаний, которая дает целостное отображение закономерностей некоторой сферы действитель­ности и представляет собой знаковую модель этой сферы. Является совокупностью обобщенных положений, образующих науку или ее раздел.

Теория выступает как форма синтетического знания, в границах которой отдельные понятия, гипотезы и законы теряют прежнюю автономность и становятся элементами целостной системы. В теории каждое умозаключение выводится из других умозаключений на основе некоторых правил логического вывода. Способность прогнозировать — следствие теоретических построений. Теории формулируются, разрабатываются и проверяются в соответствии с научным методом.

В "чистых" науках теория — произвольная совокупность предложений некоторого искусственного языка, характеризующегося точными правилами построения выражений и их понимания.

1.1      Математика, геометрия, физика, механика.

В отношении к изучению Вселенной и ее законов они тесно взаимосвязаны. Математике при этом отводится прикладная роль способа, метода и инструмента ее изучения. Физика и механика в лице Вселенной при этом становятся предметом изучения. Есть много математических понятий и теорий, связанных или никак не связанных с реальными Природными объектами и структурами. И в отношении к физике (механике, …) их необходимо принимать как есть, с их аксиоматикой и теоремами, приспосабливая, приближая их свойства к реальным свойствам объектов Природы или кардинально изменяя понятия и подгоняя теоретические модели к реальности. Физика (и механика) интерпретируется через эти понятия и теории, потому что нет других строгих адекватных абстрактных механизмов для моделирования Природы.

Математика бесконечна, и для любой "физики" найдутся соответствующие математические модели, одновременно совпадающие во многом и противоречащие друг другу в частности и на границах применимости. Математика может "обслужить" любую теорию – механику Птолемея  прекрасно обслуживала почти 2000 лет. Проблема в трактовке механизмов явлений в модели. Математика ничего не обясняет, хотя и может быть построена на конкретной физической интерпретации. Если опытных фактов мало - никакой математический формализм, никакие физические теории не спасут нас от искривленной модели реальности. Вопрос только в том, насколько нам повезет или "соврём". Порой Природа противоречит самой себе в нашем понимании, но это только видимость. И только опыт может рассудить, что верно – а что нет.

В конце концов, любые наши знания о Природе – искаженное отображение реальности на наши, скорее всего математические, модели. Причем очень близкие к истине в границах, подтвержденных экспериментами.

 

Матема́тика — это наука, исторически основанная на решении задач о пространственных и количественных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач. Слово "математика" произошло от древнегреческого μάθημα (máthēma), что означает изучение, знание, наука, и древнегреческого μαθηματικός (mathēmatikós), первоначально означающего восприимчивый, успевающий, позднее относящийся к изучению, впоследствии относящийся к математике. В частности, μαθηματικη τέχνη (mathēmatikē tékhnē), на латыни ars mathEmatica, означает искусство математики.

В литературе было предложено много различных определений математики. Но все они пересекаются на ее абстрактности. По определению Бурбаки, сущность математики… представляется … как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств - именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом, первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д.

Аксио́ма (древнегреческое ἀξίωμα — утверждение, положение) — утверждение, в определённых рамках (теории, концепции, дисциплины) принимаемое истинным без доказательств, которое в последующем служит "фундаментом" для построения доказательств. В отличие от теорем, аксиомами называются утверждения, которые, в рамках конкретной теории, принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований.

Теоре́ма (древнегреческое θεώρημα — "зрелище, вид; взгляд; представление, положение") — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, но есть основания считать их истинными, обычно называют гипотезами.

Лемма — доказанное утверждение, полезное не само по себе, а для доказательства других утверждений.

Следствие – утверждение, которое является частным случаем более общей теоремы.

Теорема Геделя – математическая теорема, которая утверждает, что любая эффективно аксиоматизируемая теория, в достаточно богатом языке, достаточном для определения натуральных чисел и операций сложения и умножения, является неполной либо противоречивой. Неполнота означает наличие высказываний, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом этой теории. Противоречивость — возможность доказать любое высказывание: как истинное, так и его противоположность как истинное. Эффективная аксиоматизируемость понимается как возможность алгоритмически решить, является ли данное утверждение аксиомой. Неполнота теории означает, что такую теорию всегда можно дополнить новым утверждением либо ее отрицанием, которая не доказуема в рамках данной теории. Примером может служить утверждение геометрии о параллельных прямых в геометрии: можно как принять аксиому о единственности параллельной прямой, проходящей через другую точку и параллельной исходной (или что сумма углов любого треугольника равна 180º), как в евклидовой геометрии, так и принять аксиому о о ее не единственности, как в неевклидовой геометрии (или что сумма углов треугольника меньше 180º - см. геометрия Лобачевского, Римана и т.д.).

В 1947 г. К. Гедель отметил: "Могут существовать аксиомы, столь богатые проверяемыми следствиями, проливающие такой яркий свет на всю дисциплину и доставляющие настолько сильные методы решения за­дач (даже, насколько это возможно, решающие их в каком-либо конструк­тивистском смысле), что совершенно безотносительно к их внутренней необходимости эти аксиомы придется принять хотя бы в том же смыс­ле, в каком принимают любую основательную физическую теорию" [Godel K. What is Cantor’s continuum problem // Amer. Math. Monthly.—1947., с. 521].

Гипотеза - (от др.-греч. υποθεσις — "основание", "предположение") — недоказанное утверждение, предположение или догадка. Как правило, гипотеза высказывается на основе ряда подтверждающих её наблюдений (примеров), и поэтому выглядит правдоподобно. Гипотезу впоследствии или доказывают, превращая её в установленный факт (см. теорема, теория), или же опровергают (например, указывая контрпример), переводя в разряд ложных утверждений. Если аргументов достаточно, то гипотеза обретает статус теории, т.е. "теория, это хорошо аргументированная гипотеза". Любая гипотеза должна быть опровержима хотя бы в принципе. Неопровержимые предположения гипотезами не являются.

Но следует всегда помнить, что любое наше представление о мироздании ограниченно. А это значит, что и любая гипотеза есть не более чем ограниченное представление реального. Поэтому на смену одной гипотезе обязательно приходит другая.

Постулат (от лат. postulatum - требование), предложение (условие, допущение, правило), в силу каких-либо соображений "принимаемое" без доказательства, но, как правило, с обоснованием, причём именно это обоснование и служит доводом в пользу ее "принятия". В физике постулат доказывается экспериментальным путем или следует из экспериментов. Пример – постулаты СТО.

Парадигма (от греч. παράδειγμα, "пример, модель, образец") – в методологии науки – совокупность ценностей, методов, технических навыков и средств, принятых в научном сообществе в рамках устоявшейся научной традиции в определенный период времени. Находит свое выражение в научных трудах, научных школах и кружках, учебниках и т.п. определенной группы исследователей со специализированной и сходной научной подготовкой, единых в понимании ценностей науки и объединенных научным этосом с определенными нормативно-ценностными установками.

Все вышеприведенные понятия в конце концов в физике обозначают одно и то же – систему взглядов, лежащих в основе некоторой физической теории. В математике в основном применяются понятия, имеющие точное логическое значение.

Парадокс (др.-греч. παράδοξος — неожиданный, странный; др.-греч. παρα-δοκέω — кажусь):
1) Ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. Следует различать парадокс и апорию.

2) В науке — формально-логическое противоречие, которое из-за некоторых условий возникает в процессе логического мышления (доведения).

3) Мысль, мнение, что поразительно расходится с общепризнанными взглядами (устоявшимися теориями, здравым смыслом) и может быть не ошибочной, а реально отображать факты с неожиданной стороны (точки зрения).

Парадоксальность — неожиданность, непривычность, оригинальность, противоречивость себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и/или по форме. Антонимом парадоксальности является ортодоксальность — проверенность, традиционность. "Ортодоксальный" — буквально "следующий господствующей традиции". В разговорной речи, часто означает удивление, каким либо событием, его нелепостью, и непонятностью. Порой может использоваться для придания смысловой окраски, придания яркости тексту или речи.

Современные науки, использующие логику в качестве инструмента познания, нередко наталкиваются на теоретические противоречия либо на противоречия теории опыту. Это бывает обусловлено неверной аксиоматизацией теорий, логическими ошибками в построении суждений, несовершенством существующих в настоящее время научных методов или недостаточной точностью используемых в опытах инструментов.

Наличие парадокса стимулирует к новым исследованиям, более глубокому осмыслению теории, её "очевидных" постулатов и нередко приводит к полному её пересмотру. Примерами парадоксов в науке могут служить Парадокс Рассела, Парадокс Банаха - Тарского, Парадокс Гараи, Парадокс Смейла, Парадокс Хаусдорфа, ЭПР-парадокс.

Парадокс в логике — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Логическая ошибка парадокса в логике в отличие от паралогизма и софизма не обнаружена пока из-за несовершенства существующих методов логики. Различаются такие разновидности логических парадоксов, как апория и антиномия.

Антиномия (др.-греч. ἀντι- — против и νόμος — закон; противоречие в законе или противоречие закона самому себе) — ситуация, в которой противоречащие друг другу высказывания об одном и том же объекте имеют логически равноправное обоснование, и их истинность или ложность нельзя обосновать в рамках принятой парадигмы, то есть противоречие между двумя положениями, признаваемыми одинаково верными, или, другими словами, противоречие двух законов.

Апория (греч. ἀπορία, "безысходность, безвыходное положение") — вымышленная, логически верная ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая не может существовать в реальности. Характеризуется наличием аргумента, противоречащего очевидному, общепринятому мнению, здравому смыслу. Апоретические (апорийные) суждения известны со времён Сократа. Наибольшую известность получили апории Зенона из Элеи.

Паралогизм (др.-греч. παραλογισμός — ложное умозаключение) — случайная, неосознанная или непреднамеренная логическая ошибка в мышлении (в доведении, в споре, диалоге), возникающая при нарушении законов или правил логики и приводящая к ошибочному выводу (заключению).

Софизм (греч. σόφισμα, "мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость") — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

Эксперимент. Галилей ввел в физику эксперимент, как средство познания. Для своего времени этот шаг был революционным, т.к. позволял отделить изучаемые предметы и явления от вымыслов и этим вывел науку на новый уровень осознания сути проявлений природы. И с тех пор повелось, что критерием правильности той или иной теории стал считаться именно эксперимент. Эксперимент - это последняя фаза исследования явления, факт, конечный результат; всё остальное – наши домыслы, догадки, гипотезы о процессах, которые, по мнению наблюдателя, обеспечивают факт происходящего. Например, если тело падает на поверхность Земли, то его падение описывается математически, а причиной считается наличие гравитационного поля. Падение - это факт, а гравитационное поле, по крайней мере на первом этапе, это – гипотеза, домысел.

Феномен (от греч. phainomEnon - являющееся), необычный, исключительный факт, явление.

2      Математические понятия и определения

http://timinva.hostifree.ru/matem/index.php

2.1      Множество

Множество – интуитивно понятное общеупотребительное математическое понятие. Любое множество состоит из отдельных элементов. Минимальным множеством является пустое множество без элементов, максимальным – некоторое множество, которое в рамках рассматриваемой задачи невозможно дополнить другими элементами. Для множеств определены операции (функции) объединения, пересечения, дополнения до максимального множества (или вычитание), прямые произведения множеств, выборка подмножеств множества по некоторому признаку и максимальная выборка – множество всех подмножеств множества. Все, что более – это "классы" и "категории".

Свойства операций (функции) определены аксиомами. Между множествами определены отношения "является частью", "включает в себя" и "пересекаются". Эти отношения определяют между множествами отношение частичного упорядочения типа "подмножество". Одним из самых известных математических множеств являются множества чисел – положительных, целых, рациональных, вещественных, комплексных и т.д., а также пустое множество и множество логических значений – множество из двух элементов - "истина" и "ложь". В обиходе под множествами можно понимать некоторую совокупность предметов, обладающих каким-либо свойством общности.

Замечание: объекты типа "множества всех множеств" обладают противоречивыми свойствами, поэтому для подобных объектов определены понятия "классы" и "категории".

Подмножество – подчиненное к множеству понятие, представляющее некоторое отношение между ними. В общем-то представляют собой непустую часть множества, связанную с ним отношением "является частью", или пустое множество. Но пустое множество является подмножеством любого множества, что приносит в понятие подмножества некоторое противоречие: как пустое множество может принадлежать кому-то? Подмножество само по себе тоже является множеством.

Подмножество собственное – меньшее самого множества не пустое подмножество.

Элемент – минимальное непустое подмножество множества. Меньше элемента только пустое множество. Отличающиеся элементы множества не пересекаются.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Объект – может обозначать все что угодно, что находится в поле нашего внимания и подвергается какому либо воздействию: 1) предмет, вещь, явление, на которые направлена деятельность; 2) в обиходной речи вообще всякий предмет, вещь. 3) в философии то, что существует вне нас и независимо от нас, внешний мир; 4) в математике и физике – все, что относится к конкретной теории в поле нашего внимания.  

В математике это "метапонятие" применяется не для обозначения собственно подмножества как такового и его элементов, а для определения особых выделенных образований в различных рассматриваемых в математике и физике теоретических "пространствах", на что мы обращаем особое внимание. В т.ч. и все множество и каждый ее элемент. Пространство в данном случае – это некоторое максимальное множество, вместилище для объектов, на котором определена теория и выделенные структуры в ней.

Например, материальная точка является объектом физического пространства, но является ли элементом (точкой) пространтва? Скорее всего, нет – но физически занимает место конкретного элемента (точки) пространства. Но точки пространства могут быть ее объектами.

Другой пример – натуральные числа. Число 2 является ее элементом, но может быть и объектом в силу обращенного на нее нашего особого внимания.

В объектно ориентированных языках программирования "объект" определяется абсолютно точно как элемент языка. Он конструируется со всеми своими свойствами. Объект можно содавать, читать, присваивать значение, изменять, удалять и т.д.

Субъект – противоположность объекта. Если объект подвергается какому либо воздействию, то субъект производит это воздействие. Чаще всего субъект – это человек. Два объекта, воздействующие друг на друга каким либо образом, не разделяются на "объект" и "субъект".

Система – сложный объект; рассматривается как совокупность элементов + совокупность отношений (связей) существующих между этими элементами и определяющими ее свойства, выделяющими ее как некоторое целое, неделимое. Как и объект, система определяется через отношение человека к ней.

Структура – применяется в отношении сложных объектов и систем. Понятие "структура" можно определить как внутреннее содержание объекта, как разница, отличие в объектах вроде бы одной и той же природы.

Всякая система рассматривается как совокупность элементов + совокупность отношений (связей) существующих между этими элементами и определяющими ее свойства. Вот эти связи и называются структурой.

Как и объект, структура определяется через отношение человека к ней.

Множества мощность, или кардинальное число множества — это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности. Для мощностей множеств определено отношение упорядочения: любые два (в т.ч. бесконечные) множества сравнимы. Среди бесконечных множеств счётное множество является самым маленьким.

Максимального кардинального не существует.

Минимальное кардинальное число = нуль и определяет мощность пустого множества.

Следующее кардинальное число = 1 (единица) и оно принадлежит каждому отдельному элементу множества.

Множество конечное – если количество элементов множества можно пересчитать, то такое множество является конечным. Кардинальное число такого множества обозначается целым числом. Максимального целого кардинального числа не существует. Любое множество, не являющееся бесконечным, является конечным множеством. Любое собственное подмножество конечного множества имеет меньшую мощность, чем все множество.

Множество бесконечное – любое бесконечное множество имеет собственное подмножество, имеющее ту же мощность, что и все множество.

Множество счетное – определение некоторой мощности множества, эквивалентной мощности множества натуральных (в т.ч. целых и рациональных) чисел. Его мощность соответствует минимальному бесконечному кардинальному числу и называется счетной.

Континуум – определение мощности множества, эквивалентной мощности множества действительных чисел, следующее непосредственно за счетной мощностью.

С кардиналами можно производить все те же действия, что и с натуральными числами: складывать, умножать, возводить в степень. Обратные операции возможны не всегда.

2.2      Алгебра

А́лгебра (от араб. الجبر‎‎, "аль-джабр"  — воссоединение, связь, завершение — раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел. Слово "алгебра" также употребляется в названиях различных алгебраических систем.

Алгебра — это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма.

Алгебраическая система — упорядоченная пара множеств A(R,E). Первое множество (R) — элементы какой либо природы (числа, понятия, буквы). Второе множество (E) — операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень). Примеры: группа, кольцо, поле.

Впервые термин встречается в 825 году у среднеазиатского учёного ал-Хорезми. Слово "аль-джабр" при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую и его буквальный смысл "восполнение".

Отображение – сопоставление одним элементам (подмножествам) множества других элементов или подмножеств этого же или другого множества. Например,

Функция - математическое выражение отображения, или другая форма записи предыдущего отображения:

j(a).

Предполагается, что j(a) = b.

Обратное отображение существует не всегда или не однозначна.

Композиция двух отображений есть тоже отображение. Если все отображения объединить под понятием "множество отображений", то композиция отображений элементов множества E тоже есть отображение:

{j12} = {j2}{j1(E) } Î E.

Возможные свойства отображений – ассоциативность, коммутативность, существование единичного и обратного элементов и т.д.

Операция – математическое выражение биективного отображения, сопоставляющего двум элементам a, b одного или разных множеств элемента этих же или третьего множества c:

j(a, b) = c.

Операции над одним и тем же множеством могут обладать следующими свойствами.

Пусть a и b принадлежат множеству T. Тогда:

1) существует единичная операция: 1×a = a×1 = a;

2) "a, b: a×bÎT & b×aÎT.

Обратная операция существует не всегда.

Некоторые операции на множествах обладают свойством ассоциативности и/или коммутативности:

3) ассоциативность: (a×b) ×c = a× (b×c);

4) коммутативность: a×b=b×a;

Оператор биективной операции умножения часто обозначается пустым символом: (a,b) = a×b ~ ab.

Перечень свойств операции далеко не полный.

Переменная (из Википедии) - атрибут физической или абстрактной системы, который может принимать различные значения из множества допустимых. Множество допустимых значений может меняться в зависимости от контекста, в котором рассматривается система, или в случае уточнения, о какой конкретно системе идёт речь. Концепция переменной широко используется в таких областях как математика, естественные науки и техника. Примерами переменных могут служить рост ребёнка, температура воздуха, параметр функции и многое другое. В широком смысле, переменная характеризуется лишь множеством значений, которые она может принимать. Самая распространенный вид переменных – это атрибуты функции, например:

φ = φ(x, y): x, y Î M,

где φ – функция,

x, y – атрибуты – те савмые переменные, которые могут принимать различные значения из множества M.

Константа (лат. constanta — постоянная, неизменная) – противоположность переменной -некоторая величина, не изменяющая своё значение в рамках рассматриваемого процесса (теории). Например, числа 2 и 5 в уравнении 2x + 5 обладают свойствами константы и не являются переменными, а x – переменная.

В математике, если величина c является постоянной, её обычно обозначают как c = const. Наиболее известная константа в математике – это число p. Она присутствует практически во всех теориях, использующих каким либо образом евклидово пространство и числа. В математике таких чисел много, или, точнее, неинтересных чисел в ней нет.

Фундаментальная константа. В отличие от простой константы (см. выше), имеет свое логическое обоснование и значение. Фундаментальная константа часто является отношением собственных параметров геометрических или физических объектов одной и той же размерности и формы. Например, число π = 3,14… является отношением длины окружности круга к ее диаметру. Или число e = 2.718… является основанием экспоненциальной функции, производная которой равна исходной функции.

Фундамента́льные физи́ческие постоя́нные — постоянные, входящие в уравнения, описывающие фундаментальные законы природы и свойства материи. Фундаментальные физические постоянные возникают в теоретических моделях наблюдаемых явлений в виде универсальных коэффициентов в соответствующих математических выражениях.

Физические постоянные делятся на две основные группы — размерные и безразмерные постоянные. Численные значения размерных постоянных зависят от выбора единиц измерения. Численные значения безразмерных постоянных не зависят от систем единиц измерения и должны определяться чисто математически в рамках единой теории. Среди размерных физических постоянных следует выделять константы, которые не образуют между собой безразмерных комбинаций, их максимальное число равно числу основных единиц измерения — это и есть собственно фундаментальные физические постоянные (скорость света, постоянная Планка и др.). Все остальные размерные физические постоянные сводятся к комбинациям безразмерных постоянных и фундаментальных размерных постоянных..

В связи с тем, что Физика никогда не сможет быть абсолютно законченной наукой, слово "постоянная" может употребляться в двояком смысле:

·       численное значение некоторой величины вообще не зависит от каких-либо внешних параметров и не меняется в пространстве и во времени,

·       изменение численного значения некоторой величины несущественно для рассматриваемой задачи.

Выражение – любая правильная математическая запись (функции, операции, уравнения …) с применением символов, функций, операций, отношений, скобок, в т.ч. уравнения и формулы. В каждой предметной области имеются свои правила составления правильных выражений и их преобразований. Например:

A + b – сложение двух чисел;

Sin φ – взятие тригонометрического синуса от аргумента φ;

A +1= b -3 – выражение, которое состоит из трех более простых.

Формула, уравнение – символьная запись некоторого объекта (элемента, отображения, функции, операции и т.д.), логического отношения, отношения эквивалентности или упорядочения с применением других функций, операций и их параметров.

Формула (от лат. formula — уменьшительное от forma — образ, вид) — всякая символическая запись (в виде выражения равенства или неравенства), содержащая какую-либо истинную информацию. По сути это логические символьные выражения, соединяющие между собой два математических выражениям. Например:

63 = 33 + 43 + 53 – логическое выражение точного соответствия;

xsin(x) - приближенное соответствие при малых x;

xxEx: xE - неверное соответствие для всех x, кроме x = E.

Формула не предполагает ее решения, а является просто истинным логическим выражением. Например, выражение 3 = 5 не является формулой, а является ложным уравнением.

С помощью математической формулы довольно сложные предложения могут быть записаны в компактной и удобной форме. Формулы, становящиеся истинными при любом замещении переменных конкретными объектами из некоторой области, называются тождественно-истинными в данной области. Такие математические формулы часто понимаются как утверждения о всеобщности. Например: "для любых чисел a и b имеет место равенство (a + b)2 = a2 + 2ab +b2".

Тождественно истинные формулы могут выражаться разными функциями. Например:

y = ln(x) + sin(x) - функция одного аргумента или однозначная функция;

z = y3/(y2 +x2) - функция нескольких аргументов или многозначная функция (одна из самых замечательных кривых - верзьера Аньези).

В физике они выражают физические законы, например, второй закон Ньютона:

F = ma.

В химии с их помощью записывают условные обозначения химических соединений.

Уравне́ние – математическое выражение равенства вида f(x, …) = g(x, …) или f(x, …) = 0, где f и g - функции одного или нескольких (одних и тех же) аргументов. Аргументы заданных функций (иногда называются "переменными") в случае уравнения называются "неизвестными". Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x - 1)2 = (x - 1)(x - 1) выполняется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак º, который читается "тождественно равно".

Если уравнение, содержащее переменные, выполняется не при всех их значениях, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те их значения, при которых это уравнение справедливо. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают.

Примеры уравнений:

x = 1,

x + 3 = 2x,

Ex + y = x + y,

an + bn = cn,

где a, b, c, n — натуральные числа.

Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.

2.3      Число и тензор

Число, многомерное число, тензор – наиболее употребительные математические понятия, применяемые в физике и геометрии.

Число́ — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. В данной интерпретации число появилось в далекой истории. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. В далекой истории применялись и другие способы представления чисел.

Число – математический объект с определенными свойствами, заданными аксиоматически. Традиционными числовыми множествами являются множества натуральных, положительных, рациональных, вещественных  и комплексных чисел. 

Стандартными операциями над числами являются коммутативные, ассоциативные  и дистрибутивные операции сложения и умножения. В физике (и механике) принимаются как есть, без переопределения. Все вопросы – к математикам. Основные свойства множества вещественных чисел – его полнота (или непрерывность), упорядоченность, неограниченность снизу и сверху, а также отсутствие бесконечно большого и бесконечно маленького по модулю (но не равного нулю) чисел.

В настоящее время понятие числа пополнилось и другими многомерными объектами с частичным сохранением свойств традиционных числовых множеств. Это комплексные числа, двойные, числа Клиффорда, Паули, кватернионы, бикватернионы, октавы, седенионы, …

Комплексное число – расширение вещественных чисел. Комплексное число состоит из двух составляющих элементов – вещественной и мнимой частей. Пример::

A = a0 + ia1,

где A – комплексное число,

a0 – вещественная часть числа,

i мнимая единица комплексного числа: i2 = -1,

a1 – вещественный множитель мнимой части числа,

ia1мнимая часть числа.

Комплексные числа имеют красивую геометрическую интерпретацию как точки евклидовой плоскости.

Гиперкомплексное или гиперчисло – многомерный аналог комплексных чисел. Гиперкомплексное число тоже состоит из двух составляющих – вещественной и мнимой частей, но мнимая часть является более сложным объектом:

A = a0 + i1a1 + … + inan,

где A – гиперкомплексное число,

a0 – вещественная часть числа,

inan – элемент мнимой части числа.

inмнимые единицы гиперкомплексного числа: i2 Î {±1, 0},

an – вещественный множитель при мнимых единицах числа,

Наиболее известны среди гиперкомплексных чисел кватернионы, октавы и седенионы. Имеются и другие виды чисел. Объединяющим их свойством является наличие базы из одной вещественной числовой единицы и нескольких мнимых единиц, наличие операции покомпонентного (векторного) сложения и таблицы умножения мнимых единиц. Причем эти операции не вырождают пространство гиперкомплексных чисел.

Тензор – многомерный абстрактный математический объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого, имеющий определенные ранг и размерность. Элементами тензора обычно являются вещественные числа, но могут быть и элементами других полей. Сами тензоры являются составляют линейное пространство. Правила работы с ними определяются тензорной и матричной алгебрами. Есть еще один интересный класс тензоров – числа Клиффорда и представляющая ее алгебра. Для тензоров определены операции покомпонентного сложения, внешнего и внутреннего (свертка) умножения. Например, преобразование тензоров при преобразованиях координат:

T'kl = fk'kfl'lTkl= Fk'l'…klTkl = FT,

где fij = dfi/dqj – линейная матрица преобразования координат,

F - линейная матрица преобразования тензора,

T = Tkl- преобразуемый тензор.

Тензорная плотность – математический объект, определяемый так же, как и тензор, но с несколько модифицированной операцией преобразования:

T' = Det(f ij)-1F∙T,

где F = fij = dfi/dqj – линейная матрица преобразования координат,

Det(f ij) – ее детерминант.

Пример – плотность вещества в пространстве. При смене эталонов, например, увеличении в два раза эталона длины, плотность вещества в единице объема увеличивается в 23 = 8 раз.

Тензора размерность – соответствует количеству значений каждого индекса. Соответствует также размерности рассматриваемого (в т.ч. включая и скрытые) физического пространства. Если скрытые размерности независимы от основных пространственных, то тензоры разделяются на две части – тензоры основного и скрытого пространств. Тензоры скрытых размерностей могут "похудеть" до тензорных функции основного пространства.

Валентность – это количество индексов при элементах тензора:

T = Ti..jk..l,

где i .. j, k .. l Î {1 .. n}.

Кроме понятия "валентность" применяется также понятие "ранг" тензора.

Ранг тензора определяется двумя целыми числами, определяющими количество контра- и ковариантных индексов тензора, например, для предыдущего случая Rang(T) = (nj, nl), где nj - количество контравариантных индексов тензора T, nl - количество ковариантных индексов тензора T. Тогда валентность определяется как сумма этих параметров тензора.

Замечание. Иногда понятия "валентность" и "ранг" путаются: в роли "валентности" применяется термин "ранг" и наоборот. Смысл применения этих терминов в конкретном случае всегда можно определить по количеству параметров (1 или 2) при них.

Скаляр – тензор валентности 0 или просто число. Скаляры характеризуются только своим неизменным численным значением при любых преобразованиях координат. По отношению к операции пространственной инверсии скаляры делятся на истинные и псевдоскаляры. При пространственной инверсии истинный скаляр не изменяется, псевдоскаляр меняет свой знак.

Вектор – тензор валентности 1, или физическая величина, которая преобразуется как радиус-вектор точки и характеризуется своим численным значением и направлением в пространстве. По отношению к операции пространственной инверсии векторы делятся на истинные (полярные) и псевдовекторы (аксиальные). При пространственной инверсии истинный вектор меняет свой знак, псевдовектор не изменяется.

Матрица – может использоваться в двух видах. Это

1) как тензор валентности 2 определенной размерности. Но обычно матрица - это

2) представленная на бумаге двухиндексная таблица значений с независимыми размерностями по каждому индексу. В таблице имеются строки и столбцы.

В случае с числовыми значениями изучается в матричном исчислении.

Понятие матрицы широко используется на разных алгоритмических языках для определения объектов как табличные значения и ее валентность может не ограничиваться числом 2. Т.е. в общем случае матрицы могут быть и одномерными, и многомерными. Например, трехмерная матрица – это несколько двумерных матриц одной и той же размерности. Одномерная матрица может вектором-строкой и вектором-столбцом.

2.4      Пространство

Понятие "Пространство" в математике используется и в более широком смысле, чем объект евклидова пространства. В физике пространство – вместилище для реальных физических материальных объектов и полей. Но не только, т.к. математика – инструмент для описания Природы. Есть место и для других смыслов.

Пространство.  В общефилософском смысле понятие "пространство" относится к числу понятий с большой смысловой емкостью. В бытовом смысле "пространство" есть вместилище всего сущего. Общее математическое понятие "пространство" есть "множество чего–то, удовлетворяющих тому–то", синоним понятия "множество" с определенной геометрической (топологической) структурой (упорядочения, непрерывности, движения). Очень часто это математическое аффинное, векторное или тензорное, метрическое пространство с некоторой топологической структурой, построенное как многомерное координатное пространство на основе вещественных чисел. В космологии под пространством понимается наша 3-х или 4-мерная Вселенная с дискутируемой топологией, в которой мы живем и существуем. В теоретических физических построениях понятие "пространства" практически совпадает с математическим "пространством".

Пространство топологическое T(X) – математическая структура (открытых подмножеств) на множестве X, удовлетворяющее трем аксиомам: 1) все множество X и пустое множество Æ принадлежат T(X); 2) объединение любых подмножеств из T принадлежит T; 3) пересечение конечного числа подмножеств из T принадлежит T. Любое подмножество из T называется открытым подмножеством, а его дополнение – закрытым. Следующим основным топологическим понятием является понятие "окрестность точки":

Окрестность точки: подмножество A топологического пространства T(X) называется окрестностью точки x0, если оно содержит открытое в T(X) подмножество, содержащее точку x0. Любое открытое множество является окрестностью любой своей точки.

Пространства размерность – топологическая характеристика пространства. Для большинства практически изучаемых пространств определяется количеством числовых параметров для определения координаты точки. Замечание: это определение размерности не является строгим, но по отношению к рассматриваемым нами числовым пространствам Rn оно верно. Скрытые размерности физического пространства могут явно себя не проявлять. Есть теоретические разработки, изучающие топологические пространства с нецелой размерностью.

Система координат (далее с.к.) – разметка пространства с помощью N числовых меток или других символов, где N – размерность пространства. При этом каждая точка пространства получает N  числовых параметров, называемых ее координатами. Разметка может быть произведена произвольно, но обычно она устанавливает в пространстве некоторую топологическую метрическую структуру. На разметку в физической теории могут быть наложены дополнительные условия, связанные с симметриями конкретной задачи и удобствами математического анализа ее.

Пространство метрическое M есть множество точек с фиксированной функцией расстояния (также называется метрикой) d: M ´ MR, где R обозначает множество вещественных чисел. Для любых точек x, y, z из M эта функция должна удовлетворять следующим трем условиям:

1) аксиома тождества: d(x, y) = 0 ↔ x = y,

2) аксиома симметрии: d(x, y) = d(y, x),

3) аксиома треугольника или неравенство треугольника

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Эта функция называется метрикой пространства. Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть d(x, y) ³ 0 (это вытекает из аксиомы треугольника при z = x) и расстояние от x до y такое же, как и от y до x.

Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти от x до y, а потом от y до z.

Примером метрического пространства являются евклидовы пространства с метрикой l = (x2x1)2 + (y2y1)2 + (y2y1)2. Это расстояние положительно определено для любых двух точек и для нее выполняются оставшиеся две аксиомы.

Для данного множества M, функция d: M ´ MR называется слабой метрикой или полуметрикой на M, если для любых точек x, y, z из M первая аксиома метрического пространства заменяется следующим условиям:

d(x, x) = 0.

То есть, в отличие от метрики, различные точки в M могут находиться на нулевом расстоянии. Слабая метрика естественно определяет метрику на факторпространстве M/~, где  x ~ yd(x, y) = 0.

Метрика – см. "пространство метрическое".

Линейная метрика – метрика, определенная как скалярное произведение

dρ = Aidri,

где Ai – векторное поле, определяющее ее метрические свойства.

Пространство с линейной метрикой является псевдометрическим пространством, потому что в ней существуют не тождественные точки с равным нулю расстоянием. Эта метрика к тому же антисимметрична:  

ρ(a, b) = - ρ(b, a).

Пространство биметрическое  - числовое многомерное координатное пространство, в котором для любых двух близких точек заданы тензор gij валентности 2 и скалярная функция dρ расстояния между ними:

(dρ)2 = gijdqidqj

(см. предыдущее замечание).

Пространство биметрическое  является метрическим пространством, если (dρ)2 ³ 0 для всех пар точек, и псевдометрическим в противном случае.

Примером псевдометрического пространства является пространство Минковского с псевдометрикой l2 = (t2t1)2 - (x2x1)2 - (y2y1)2 - (y2y1)2. Расстояние между двумя точками, определяемое этой функцией, называется интервалом. Интервал может быть как положительным, так и отрицательным.  Также могут существовать две различные точки, интервал между которыми нулевой. Аксиома треугольника для нее также не выполняется.

Замечание. "Метрика" Минковского называется метрикой только на физическом жаргоне. Для реальной работы достаточно считать её просто квадратичной формой и всё. Топологию она не определяет. Топология пространства Минковского определяется топологией соответствующего евклидова пространства.

Пространство евклидово – в математике - ортонормированное биметрическое пространство размерности 3 с положительно определенной сигнатурой метрики: l2 = ∆r2 = (x2x1)2 + (y2y1)2 + (y2y1)2 ³ 0 и скалярным произведением, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. Возможно расширение размерности до n. Это пространство является базовым пространством ньютоновой классической механики.

Для определения движения объектов к этому пространству добавляется еще одна независимая координата – время. Но, несмотря на это, пространство не обобщается до 4–х измерений. Время в ней понимается только как параметр по траектории движения.

Пространство риманово – пространство с произвольно определенной gctdljметрикой как дифференцируемой функцией от координаты точки: ds2 = gij(q) dqi dqj. Это пространство с положительно определенной сигнатурой координаты времени размерности 1 и отрицательно определенной сигнатурой пространственной координаты размерности 3. Возможно расширение размерности пространственной координаты до n. Является основой релятивистской механики ОТО.

Пространство полиметрическое. Кроме бинарного метрического тензора, рассматриваются и унарные и n-арные полиметрические формы

(dρ)n = gijkdqidqj….dqk,

 (полилинейные и финслеровы пространства) и даже произвольные метрические формы

dρ = dρ(dq1, dq2, … dqn),

линейные относительно общих масштабных преобразований дифференциалов координат.

Метрика Бервальда — Моора на n-мерном евклидовом пространстве имеет вид

dsn = dx1...dxn

Следует отметить, что при n = 2 получается двумерная плоская псевдоевклидова метрика. При n = 1 получается линейная метрика. При больших n получаются неевклидовы пространства. Метрика Бервальда — Моора не является финслеровой. Пространства Бервальда — Моора относятся к так называемой полиметрической геометрии, предложенной П. К. Рашевским.

Пространство финслерово и финслерова геометрия одно из обобщений римановой геометрии. В финслеровой геометрии рассматриваются многообразия с финслеровой метрикой; то есть выбором гладкой нормы на каждом касательном пространстве, которая гладко меняется от точки к точке. В финслеровых пространствах задается дифференциал ds длины дуги (правило измерения длин малых дуг), зависящий от точки пространства и от выбора направления в этой точке. Иными словами, Ф. г. – теория пространств, в которых длины измеряются малыми шагами, причём масштаб измерения зависит от точки пространства и выбора направления в этой точке. Понятие о таких пространствах впервые было введено Б.Риманом в 1854. Первое обстоятельное исследование по теории указанных пространств было опубликовано немецким математиком П.Финслером (P. Finsler) в 1918. Финслерова геометрия широко применяется в вариационном исчислении и в теоретической физике.

В частности, распространение  волн в движущейся сплошной среде в евклидовом пространстве можно рассматривать как движение волн в финслеровом пространстве.

Декартова система координат – прямоугольная система координат, названная в честь французского математика, физика Рене Декарта (1589-1665). Применяется в евклидовом пространстве и является основой параметризации евклидовой геометрии евклидова пространства.

Кроме декартовой с.к., различают прямоугольную, полярную, цилиндрическую и сферическую с.к.

Векторное, или линейное пространство L(P) над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1. Сложения, то есть каждой паре элементов множества x, y Î L ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый x + y Î L и

2. Умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу λ Î L и любому элементу x Î L ставится в соответствие единственный элемент из L(P), обозначаемый λx Î L(P).

По сложению В.п. представляет собой аддитивную группу, по умножению мультипликативную группу, с дистрибутивным законом умножения.

Преобразование координат – отображение пространства на себя. Различают два вида отображения: 1) координат исходной разметки пространства на другую координатную разметку этого же пространства и 2) отображение точек пространства в другие точки пространства с другими координатами. Второй вид отображения можно назвать движением и оно противоположно первому.

Аффинное пространство — служит обобщением аффинных свойств евклидова пространства. Во многом схоже с векторным пространством, но в отличие от последнего, точки в аффинном пространстве являются равноправными. В аффинном пространстве возможно вычитать друг из друга точки и получать векторы так называемого присоединенного пространства; также возможно прибавлять вектор к точке и получать другую точку, но нельзя складывать точки друг с другом. В частности в аффинном пространстве нет понятия нулевой точки или начала отсчёта.

Преобразование координат аффинное – линейное отображение пространства на себя, оставляющее прямые линии прямыми же:

x'i = x(0)i + Gijxj,

где x'i – новые координаты,

xi – старые координаты,

x(0)'i – смещение новых координат относительно старых,

Gij – билинейная форма (матрица) преобразования.

Преобразование пространства унитарное - линейное преобразование гильбертова пространства (или предгильбертова пространства) H в себя, сохраняющее скалярное произведение векторов, то есть унитарный оператор пространства H в себя.

Линейное преобразование U конечномерного гильбертова пространства H является унитарным преобразованием тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих условий:

- в любом ортонормированном базисе преобразованию U соответствует унитарная матрица;

- U переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный;

- в H существует ортонормированный базис, состоящий из собственных для U векторов, причём соответствующая U в этом базисе диагональная матрица имеет диагональные элементы, равные по модулю 1.

Преобразование пространства изометрическое – отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками пространства Ортонормированные преобразования относятся к изометрическим преобразованиям. Изометрические преобразования – это сдвиги, повороты и отражения (аффинные, унитарные).

Преобразование пространства конформное – отображение пространства на себя, сохраняющее углы между пересекающимися линиями пространства (или углы между двумя векторами, прикрепленными к точке пространства).

2.5      Геометрия

Геометрия – раздел математики, исследующий различные пространственные формы и изучающий отношения между понятиями "точка", "прямая линия", "плоскость".

Точка (математическая) – элементарный (минимальный геометрический) объект любого пространства как множества. Любой другой объект состоит более чем из одной точки. Аналог точки в физике – это точка 3-мерного физического пространства или объект "событие" 4-мерного пространства-времени. "Материальная точка" является элементарным материальным объектом механики и классической физики вообще и занимает точку пространства и в принципе не является точкой пространства.

Линия – геометрическое многообразие размерности 1 в произвольном непрерывном пространстве. Линию можно определить параметрически через одномерный непрерывный параметр u в пространстве уравнением:

q = q(u)

со свойством непрерывности линии. В механике с понятием "линия" связываются понятия "траектория", "мировая линия". Обычно при этом она обладает дополнительным свойством непрерывности и дифференцируемости.

Расширениями ряда понятий "точка", "линия" являются понятия

"Плоскость" как геометрическое многообразие размерности 2,

"Пространство" как геометрическое многообразие размерности 3,

и т.д.

Неопределяемые понятия Евклидовой геометрии по Гильберту:

1.        Точкаминимальный геометрический объект, элемент любого пространства. Любой другой объект состоит более чем из одной точки.

2.        Линия прямая – объект, состоящий не менее чем из двух точек.

3.        Плоскость – объект, состоящий не менее чем из трех точек, не лежащих на одной прямой.

Расширением понятий "точка" и "прямая линия" геометрические пространства большей размерности, чем три, является

4.        Пространство – объект, состоящий не менее чем из четырех точек, не лежащих ни на одной прямой и плоскости. Пространства могут иметь размерность 3 (три) и выше. Возможно рекурсивное определение всех остальных через первые два понятия.

Эти четыре определения согласуются с тем, что одна точка есть точка, две точки однозначно определяют прямую, три точки однозначно определяют плоскость, 4 точки однозначно определяют пространство, и т.д. Каждый следующий объект является вместилищем для предыдущих объектов и их (в т.ч.  собственных) подобъектов. 

Свойства прямой линии, плоскости, пространства и т.д.  определяются аксиомами.

Есть одно бинарное отношение упорядочения:

5.        Содержать – свойство инцидентности, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям, а также их собственным подобъектам.

Есть одно бинарное отношение эквивалентности:

6.        Конгруэнтность (геометрическое равенство) – отношение эквивалентности между геометрическими объектами. Применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается инфиксным символом ~ или =. Определяется через движение. Движение разделяется на параллельное и вращения.

Есть также 1 элементарное проективное отношение
для трех не совпадающих точек на прямой:

7.        Лежать между, применимо к точкам на прямой. Среди любых трех точек имеются две крайние и одна, которая находится между ними. Выбор одной из крайних точек определяет направление на прямой.

Остальные понятия геометрии определяются через эти основные описанные выше понятия: шесть (без 4-го) – для двухмерной, семь – для трехмерной геометрии..

Постулаты Евклида

Постулаты Евклида представляют собой правила построения с помощью идеального циркуля и идеальной линейки:

1.      Всякие две точки можно соединить прямой линией;

2.      Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить;

3.      Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность;

4.      Все прямые углы равны между собой;

5.      Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Другая формулировка пятого постулата (аксиомы параллельности), гласит:

Через точку вне прямой в их плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

 В геометрии Евклида понятие "расстояние", "длина" между двумя точками с конкретными числовыми значениями не определены. Это говорит о том, что геометрия Евклида не является метрической и нет определения "эталона длины". Но она является метризуемой: свойства этой геометрии таковы, что возможно введение понятия "эталон длины". Этим объектом может быть отрезок между любыми двумя выделенными точками пространства, и все другие расстояния будут конструктивно сравниваться с ним. Это сравнение возможно, т.к. любые конечные отрезки сравнимы по аксиоме Архимеда, и результат этого сравнения является инвариантом движений пространства Евклида. Это же относится к измерению углов, с одним замечанием – есть определение прямого, развернутого и полного углов и численные значения для них в градусах: 90°, 180° и 360°.

Литератнура

http://timinva.hostifree.ru/matem/index.php?name=m0800.htm

https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия

Ссылка на этот материал: opredeleniya.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин*:      Введите эл.адрес:

Введите пароль*:    Ваш телефон:        
* - ввод объязателен, логин и пароль пока не контролируются;

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 98 / 14 =

---Load files---
Сегодня - 19_09_2020
Время переоткрытия сайта 09 ч 31 м по Гр.
Календарь
на СЕНТЯБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 2 24 25 26 27
28 29 30 1 2 3 4
(9 230)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:4 V:36 N:236
Уникальных посетителей за текущие сутки: 4 Просмотров: 36 Этой страницы (всего): 236