-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: paradoksy_matematiki.htm)
Парадоксы математики

1.       Влияние желаний (мыслей) на Случайные События (ГСС)

Мысленные эксперименты

Персоналий
и персонажей

Лаплас: Демон Лапласа · Максвелл: Демон Максвелла · Шрёдингер: Кот Шрёдингера · Рассел: Чайник Рассела · Эйнштейн: Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена ·Апории Зенона: Ахиллес и черепаха · Дихотомия · Стадион · Стрела Зенона

Физические

Демон Лапласа · Демон Максвелла · Квантовое бессмертие · Квантовое самоубийство · Кот Шрёдингера · Парадокс Белла · Парадокс субмарины · Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена · Парадокс близнецов · Микроскоп Гейзенберга · Пушечное ядро Ньютона  · Парадокс Эренфеста

Кибернетические

Задача двух генералов · Задача византийских генералов · Китайская комната · Имитация реальности  · Мозг в колбе

Другие

Теорема о бесконечных обезьянах · Парадокс Ньюкома · Дилемма заключённого  · Комната Марии  · Парадокс Левинталя  · Философский зомби

Научная методология  · Мышление

 

Один эксперимент со случайными числами проводили за последние четыре десятилетия сотни раз. В нем используется генератор, создающий случайный поток битов (нулей и единиц), как если бы мы бросали монетку. Есть кнопка, при нажатии которой ГСС продуцирует две сотни бит.

Какого-нибудь человека сажают нажимать эту кнопку и просят попытаться сделать так, чтобы машина выдавала больше единиц, чем нулей. Существуют отчеты о сотнях экспериментов, когда эти попытки дают результат. Анализ того, что это не случайно (т.е. что ГСС не случайно выдают результаты, соответствующие намерению экспериментатора) - пятьдесят тысяч против одного.

2.  Парадокс Рассела

По материалам из Википедии — свободной энциклопедии

Парадокс Рассела — открытый в 1901 году[1] Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытый Э. Цермело теоретико-множественный парадокс, демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Г. Кантора.

Парадокс Рассела формулируется следующим образом:

Пусть Kмножество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.

Этот парадокс касается аксиоматики Фреге, которая содержит следующую аксиому:

$$\exists K(x\in K \leftrightarrow \varphi[x]).$$

Рассел заметил, что если взять в этой аксиоме в качестве $\varphi[x]$предикат $x \not\in x$, то мы придем к противоречию, если попытаемся выяснить истинностное значение высказывания $\varphi[K]$.

Существует много популярных формулировок этого парадокса. Одна из них традиционно называется парадоксом брадобрея и звучит так:

1. Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется», как он должен поступить с собой?

2. В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров», где должен жить мэр Города мэров?

3. Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Противоречие в парадоксе Рассела возникает из-за использования в рассуждении внутренне противоречивого[2] понятия множества всех множеств и представления о возможности неограниченного применения законов классической логики при работе с множествами. Для преодоления этого парадокса было предложено несколько путей. Наиболее известный состоит в предъявлении для теории множеств непротиворечивой формализации \mathcal M, по отношению к которой являлись бы допустимыми все «действительно нужные» (в некотором смысле) способы оперирования с множествами. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.

Действительно, допустим, что множество U всех множеств существует. Тогда, согласно аксиоме выделения, должно существовать и множество K, элементами которого являются те и только те множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Однако предположение о существовании множества K приводит к парадоксу Рассела. Следовательно, ввиду непротиворечивости теории \mathcal M, утверждение о существовании множества U невыводимо в этой теории, что и требовалось доказать.

В ходе реализации описанной программы «спасения» теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций. Есть всего два возможных пути. Первый, и самый очевидный, путь -- это исключить из теории объекты вроде "множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента". Второй, и совсем не очевидный, путь - оставить их.

По первому пути пошли создатели аксиоматики $\text{ZFC}$ (теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). По второму пути пошли создатели аксиоматики NBG (теория Неймана — Бернайса — Гёделя). Они создали два рода объектов - множества и классы. Класс всех множеств без всяких противоречий может существовать в этой аксиоматике. Однако ни для одной из этих теорий до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости. Более того, как показал Гёдель, разработав ряд теорем о неполноте, такого доказательства не может существовать (в некотором смысле).

Можно залезть в саму логику, сделать ее более чем двузначной, например, трехзначной. И теперь мы можем дать третье значение высказыванию $\varphi[K]$, отличное от истины и лжи. Еще можно создать теорию нечетких множеств, в которой отношение $\in$может принимать значения на отрезке (0, 1). Одними из таких направлений являются интуиционизм Л. Э. Я. Брауэра и конструктивизм.

Соотношение теоретико-множественной, интуиционистской и конструктивной математик с точки зрения допускаемых логических средств и абстракций может быть охарактеризовано следующей таблицей:

Теоремы и принципы

Теоретико-множественная математика

Интуиционистская математика

Конструктивная математика

Закон исключённого третьего

Да

Нет

Нет

Закон двойного отрицания

Да

Нет

Нет

Принцип Маркова

Да

Нет

Да

Абстракция актуальной бесконечности

Да

Частично1

Нет

Тезис Чёрча2

Да

Нет

Да

1.       Отказ от абстракции актуальной бесконечности провозглашался как один из принципов интуиционизма, в то же время, А.А. Марковым впоследствии было показано, что использование принятого в интуиционизме аппарата построений на деле означает привлечение абстракции актуальной бесконечности.

2.       Эффективность в интуиционизме понимается достаточно широко, она не обязательно связана с наличием алгоритма в точном понимании этого термина и может носить, например, характер исторического наступления события, зависеть от фактического решения проблем, от физических факторов.

См. также

·   Парадокс Бурали-Форти

·   Парадокс всемогущества

·   Парадокс Кантора

·   Парадокс Мириманова

Литература

·   Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? — гл. II, § 4.5

·   Мирошниченко П. Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. — СПб., 2000. — С. 512—514.

·   Катречко С. Л. Расселовский парадокс брадобрея и диалектика Платона — Аристотеля // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. — СПб., 2002. — С. 239—242.

·   Мартин Гарднер А ну-ка, догадайся! = Aha! Gotcha. Paradoxes to puzzle and delight — М.: Мир, 1984. — С. 22-23. — 213 с.

 

3.  Чайник Рассела

По материалам из Википедии — свободной энциклопедии

«Ча́йник Ра́ссела» (англ. Russell's Teapot) — аналогия, впервые приведённая британским философом Бертраном Расселом (1872—1970), отвергающая идею, что бремя доказательства ложности нефальсифицируемых религиозных утверждений лежит на сомневающемся[1].

В своей статье «Есть ли Бог?» («Is There a God?») в 1952 Рассел писал:

"Если я предположу, что между Землёй и Марсом вокруг Солнца по эллиптической орбите летает фарфоровый чайник, никто не сможет опровергнуть моё утверждение, особенно если я предусмотрительно добавлю, что чайник настолько мал, что не виден даже мощнейшими телескопами. Но если бы я затем сказал, что коль моё утверждение не может быть опровергнуто, то недопустимо человеческому разуму в нём сомневаться, мои слова следовало бы с полным на то основанием счесть бессмыслицей. Тем не менее, если существование такого чайника утверждалось бы в древних книгах, каждое воскресенье заучиваемых как святая истина, и осаждалось бы в умах школьников, то сомнение в его существовании стало бы признаком эксцентричности и привлекло бы к усомнившемуся внимание психиатра в эпоху просвещения или же инквизитора в более ранние времена".

If I were to suggest that between the Earth and Mars there is a china teapot revolving about the sun in an elliptical orbit, nobody would be able to disprove my assertion provided I were careful to add that the teapot is too small to be revealed even by our most powerful telescopes. But if I were to go on to say that, since my assertion cannot be disproved, it is an intolerable presumption on the part of human reason to doubt it, I should rightly be thought to be talking nonsense. If, however, the existence of such a teapot were affirmed in ancient books, taught as the sacred truth every Sunday, and instilled into the minds of children at school, hesitation to believe in its existence would become a mark of eccentricity and entitle the doubter to the attentions of the psychiatrist in an enlightened age or of the Inquisitor in an earlier time.

Питер Эткинс полагает, что основная идея чайника Рассела заключается в том, что учёный не может доказывать негативные утверждения и, следовательно, в соответствии с бритвой Оккама, более простая теория (по которой высшего существа нет) должна получать предпочтение перед более сложной теорией (с высшим существом).

Проблема с чайником Рассела тесно связана с проблемой степени научности или фальсифицируемости (проверяемости) теории.

Фальсифици́руемость (принципиальная опровержимость утверждения, опроверга́емость, крите́рий По́ппера) — критерий научности эмпирической теории, сформулированный К. Р. Поппером в 1935 году[1]. Теория удовлетворяет критерию Поппера (является фальсифицируемой и, соответственно, научной) в том случае, если существует методологическая возможность её опровержения путём постановки того или иного эксперимента, даже если такой эксперимент ещё не был поставлен. Согласно этому критерию, высказывания или системы высказываний содержат информацию об эмпирическом мире только в том случае, если они обладают способностью прийти в столкновение с опытом, или более точно — если их можно систематически проверять, то есть подвергнуть (в соответствии с некоторым «методологическим решением») проверкам, результатом которых может быть их опровержение".

Иначе говоря, согласно критерию Поппера, — научная теория не может быть принципиально неопровержимой. Тем самым, согласно этой доктрине, решается проблема демаркации — отделения научного знания от ненаучного[2].

Эта философская доктрина, согласно которой фальсифицируемость (опровергаемость) теории является необходимым условием ее научности, носит название фальсификационизм.

Даже очень большое число подтверждающих фактов в отношении того или иного утверждения, полученного путём индуктивного обобщения, делает его лишь весьма вероятным, но всё-таки не твёрдо достоверным. При этом достаточно одного, но вполне бесспорного, опровергающего факта для того, чтобы это индуктивное обобщение было отброшено как негодное. Неодинаковые «силу» и роль в деле проверки осмысленности и истинности научных теорий, которые свойственны подтверждающим и опровергающим факторам, Поппер назвал «познавательной асимметричностью».

Фальсифицируемость утверждений о существовании физических объектов во Вселенной.

Если мы имеем внутренне непротиворечивую идею о некотором физическом объекте, то можем задаться вопросом о его существовании где-либо во Вселенной. Получатся две теории: 1) этого нет нигде во Вселенной; и 2) это где-либо существует. Эти две теории с точки зрения принципа фальсифицируемости принципиально отличаются.

1.      Теория о несуществовании естественным образом фальсифицируема: для ее опровержения достаточно предъявить то, существование чего отрицается. Таким образом, теория о несуществовании чего бы то ни было всегда будет научной независимо от того, существование чего отрицается.

2.      С фальсифицируемостью теории о существовании дело намного сложнее. Все эксперименты всегда ограничены как в пространстве, так и во времени. В принципе Вселенная может иметь бесконечную протяженность, а значит в любой момент времени мы будем иметь только конечное число всех возможных проведённых экспериментов и конечный объём доступного этим экспериментам пространства. В пространстве, не охваченном нашими экспериментами, теоретически может быть всё что угодно, в том числе и то, существование чего утверждается. Чайник Рассела — пример, иллюстрирующий это положение.

Таким образом, теория о существовании не может быть опровергнута никогда, а значит и не может быть признана научной, как нефальсифицируемая. Именно такой подход наблюдается в науке: положение «не́что не существует» может быть принято за научную гипотезу исходя из того, что не́что не существует в области, доступной для экспериментов в настоящее время. Оно фальсифицируемо (если в действительности не́что существует, то рано или поздно оно может быть найдено и предъявлено). Положение «не́что существует» (конечно, если это теория, а не доказанный прямым экспериментом факт) принимается за научную гипотезу только в случае, если дополнительно сопровождается граничными условиями, делающими предположение фальсифицируемым.

Так, наблюдение любого сколь угодно большого числа черных ворон не может обосновать или верифицировать утверждение, что существуют только черные вороны; наблюдение же всего одной не-черной вороны доказывает, что обобщение «Все вороны — черные» ложно, и способно фальсифицировать утверждение «Не-черных ворон не существует».

О связи (не)фальсифицируемости со свойством истинности/ложности теории

В научном смысле истинность или ложность теории может быть применена только к теории, отвечающей признакам научной, в частности, признаку фальсифицируемости. Таким образом для нефальсифицируемой — и оттого ненаучной — теории невозможно доказательство её ложности, но по этой же причине невозможно и доказательство истинности (за отсутствием «обратного варианта»).

1.      «Солнце является черной дырой» — пример теории фальсифицируемой и ложной.

2.      «Солнце является желтым карликом» — пример теории фальсифицируемой и истинной.

3.      «Солнце является астральной проекцией Ктулху» — пример нефальсифицируемой теории. В пределах науки говорить об истинности или ложности данной теории бессмысленно.

 

Ссылка на этот материал: paradoksy_matematiki.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "двадцать" x "пять" =

---Load files---
Сегодня - 06_12_2019
Время переоткрытия сайта 13 ч 12 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:6 V:8 N:3
Уникальных посетителей за текущие сутки: 6 Просмотров: 8 Этой страницы (всего): 3