Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: tenzornoye_pole.htm)
Тензорная алгебра

1  Поля, частные производные и ковариантное дифференцирование

В предыдущей части были определены линейные математические пространства и частный случай этих пространств – векторные, матричные и тензорные пространства. Но на этом не заканчиваются объекты математики. Способы их введения в физику (механику) могут быть различными:

1) Этими объектами описывается наше реальное физическое пространство–время, при этом вектор галилеева пространства задает точки пространства–времени, матрица – некоторые линейные преобразования координат. Пространство–время при этом оказывается простым линейным галилеевым пространством, включающий все множество векторов этого пространства–времени. При этом каждая точка пространства будет определяться некоторой координатой, равной значениям элементов вектора, определяющего эту точку. В качестве нулевого вектора в этом пространстве можно выбрать любую точку, и другие точки отсчитывать от этого:

r' i = rr(0)i

2) Можно ввести понятие материальной точки (далее – м.т.) и задать его движение в этом пространстве как векторную функцию координат от времени ri = ri(t). С помощью этой функции наше пространство обогащается новым понятием – одномерным объектом типа "мировая линия м.т.", каждая точка которой есть вектор. Этот объект в этом пространстве будет обладать и другими параметрами, характеризующими изменение траектории в пространстве и времени – скоростью, ускорением, кручением, которые будут описываться с помощью других векторов, матриц или тензоров.

3) Можно все пространство заполнить этими м.т. как сплошной средой. Тогда в каждой точке мы можем определить некоторую среднюю плотность, скорость, ускорение, их циркуляцию, которые будут описываться с помощью некоторых математических объектов. Здесь мы вплотную подходим к понятию "поле" как функции, заданной в каждой точке пространства (и времени).

Все, что мы определили выше, мы определили в базовом линейном пространстве. Следующим шагом будет изъятие свойства линейности от этого базового пространства. Это можно сделать следующим образом: и в векторном, и в линейном, и в галилеевом пространствах координаты точки определены не однозначно. Они зависят от выбранной базовой системы векторов и выбора начальной точки отсчета. Т.е. координата точки не является абсолютной. Важно то, что точки различаются. Почему бы не освободиться от линейности базовой системы и задать координаты точки произвольным образом? При этом от него останется только множество точек, определяющих его как пространство, но без определения линейности. Поэтому произвольной точке пространства можно задать любую координату, с единственным условием – непрерывность разметки. Эта разметка может быть изменена произвольным образом. Тогда задачей физики будет определение свойств пространства и движение материи в ней.

Это можно сделать следующим образом, причем опять же линейно или почти линейно. На этом пространстве можно задать поле, которое задает и свойства пространства, и материи, и движение материи в ней, и это поле в каждой точке может обладать линейными свойствами. При этом мы определим для каждой точки собственное линейное пространство ее возможных состояний, в частности, тензорное. Для каждой точки пространства определено одно значение тензора. Если определено несколько значений тензора, то их можно объединить в некоторую структуру. Множество этих значений для всех точек пространства определит некоторое тензорное поле.

Таким образом мы определили, что кроме разметки, пространство в каждой своей точке обладает определенными свойствами, которые не заканчиваются только на значениях координат. Тем более, что эти значения абсолютно произвольны и определены с точностью до произвольных преобразований этих координат. Поэтому просто обязаны существовать дополнительные характеристики пространства как общие, задающие свойства всего пространства, так и каждой точки пространства в отдельности, с помощью которых можно определить эквивалентность пространств без материи и с материей тоже. Эти дополнительные свойства пространства и произвольной точки пространства определяются функциями, зависящими от координаты точки, которые называются полями.

Встает вопрос: какая разница между этими двумя подходами? А разница в понятии параллельности векторов – именно векторов, а не определенных нами ранее линейных или галилеевых векторов. В векторном пространстве неявно определено, что векторы A и αA, где α – числовой множитель, параллельны, даже если они прикреплены к разным точкам пространства. В линейном и галилеевом векторном пространствах можно определить объекты со свойствами векторов. Ими являются разности любых двух линейных или галилеевых векторов. В произвольно размеченном пространстве это правильно только в отношении векторов, принадлежащих одной и той же точке, для разных точек понятие параллельности может быть и не определено.

1.1      Поля и тензорные поля. Частные производные полей

С точки зрения математики поле – это некоторая функция координат и времени, или отображение каждой точки пространства–времени во множество возможных значений его параметров.

Ф = Ф(q)    

Множество возможных значений может иметь любую математическую природу. В частности, тензорную. Таким образом, в общем случае и пространство, и поля на ней могут быть совершенно произвольными. Но природа устроена так, что законы пространства–времени и его свойства должны подчиняться вполне определенным законам.

При изучении математическими методами законов природы практически всегда приходится иметь дело с таким понятием, как "производная". Понятие "производная" известно со школьной скамьи. Производная функции φ(x) обозначается через φ'(x) (не путать с преобразованием функции при смене системы координат!) и определяется как скорость изменения этой числовой функции вдоль направления x:

φ'(x) = lim(Δφ/Δx)|Δx→0

Процедура получения производной называется дифференцированием и записывается так.

φ'(x) = /dx

Выражения dφ и dx называются дифференциалами и с ними можно обращаться как с любыми другими числовыми параметрами, только надо помнить, что они – бесконечно малые величины:

= φ'(x) dx

Но в физике на понятие производной накладываются усложняющие факторы – многомерность как применяемых объектов (векторы, матрицы, тензоры), так и неопределенность направления, по которой вычисляется значение производной – три направления пространственной координаты и одно направление времени. Многомерность применяемых объектов обходится тем, что каждая ее компонента дифференцируется независимо. Неопределенность направления дифференцирования обходится тем, что дифференциал числового объекта по определенному направлению единичного вектора l = (lx, ly, lz) вычисляется по формуле скалярного произведения:

φ'(l) = lx /dxly /dylz /dz

Производные dφ/dx, dφ/dy и dφ/dz называются частными производными и записываются в несколько ином виде:

φ'(l) = lxφ/xlyφ/ylzφ/z

В тензорных обозначениях частная производная (∂φ/x, ∂φ/y, ∂φ/z) обозначается с помощью нижнего индекса и запятой, стоя­щей перед ним:

(φ/x,φ/y,φ/z) = φ,i

В векторном анализе для этой частной производной применяется запись div φ.

За исключением случая скаляра, производная компоненты тензора, как, например, Аi,j, не имеет точного смысла, потому что она является результатом вычитания друг из друга тензоров, относящихся к разным точкам, а именно величины Аi, взятой в точке r, из величины Аi, взятой в некоторой соседней точке (не нужно думать, что такой малый сдвиг не имеет значения, ибо в произ­водной мы рассматриваем как раз изменение, порожденное этим малым сдвигом.). Но в одном случае – линейного пространства – частная производная любого тензора имеет инвариантный смысл. Если мы вычислим, например, из:

формулу преобразования для второй производной:

(3.1.1)

 

то видно, что они не только не образуют тензора, но и не обладают даже тем свойством, что их обращение в нуль инвариантно. То же самое справедливо, конечно, для любого ковариантного векторно­го поля. Из формулы его преобразования

(3.1.2)

 

с помощью дифференцирования получим

(3.1.3)

 

что в точности совпадает с формулой (3.1.1), но только записанной для произвольного Аi, (а не только, как там, для градиента). Мы снова видим, что Ai,j ведет себя как ковариантный тензор второго ранга, если бы не дополнительный член, содержащий не продифференцированную величину Аi и вторую производную от закона преобразования. Это приведет к тому эффекту, что наш набор производных не обязательно обратится в нуль в штрихован­ной системе отсчета вследствие его обращения в нуль в исходной. Совершенно аналогично обстоит дело, как нетрудно сообразить, и для любого тензора или тензорной плотности.

Существуют, однако, определенные линейные комбинации производных от компонент тензоров, для которых члены, содержа­щие вторые производные координат вместе с не продифференцированными компонентами исходных тензоров, сокращаются. Эти линейные комбинации, следовательно, являются тензорами, причем индекс производной всегда играет роль ковариантного (нижнего) индекса. Эти комбинации легко запомнить. Все они полностью антисимметричны. Мы начнем с тензоров.

1) Первый из них мы уже знаем – это скаляр. Градиент инварианта: φ,i. Он является ковариантным векто­ром. Если образовать из него то, что называют ротором

φ,j,i – (–1)!φ,i,j = 0

вы получите нуль (символический множитель (–1)! является напоминанием о зависимости знака от четности перестановки индексов). Это означает, что дополнительные члены должны сокращаться для этой разности, что можно усмотреть непосредст­венно из формулы (3.1.1). Но можно увидеть также, что они должны сокращаться для ротора любого ковариантного вектора. Следовательно,

2) Ротор (или вихрь) ковариантного вектора  является ковариантным антисимметричным тензором второго ранга. Если образовать из ротора то, что называет­ся циклической дивергенцией, то получится

Следовательно, также и здесь члены, содержащие не продифференцированный тензор второго ранга, должны сократиться. И то же самое должно выполняться для любого ковариантного антисиммет­ричного тензора второго ранга. Следовательно,

3) Циклическая дивергенция ковариантного антисимметричного тензора второго ранга Aij

является полностью антисимметричным ковариантным тензором третьего ранга.

На этом инвариантные частные производные 3–мерных тензоров заканчиваются. Но все три предыдущих случая справедливы для любой размерности тензоров.

Продолжая дальше, необходимо быть осторожным. Если образовать производную ∂/∂xl этого тензора и добавить циклическую перестановку, результат не обратится в нуль. Необхо­димо ввести знак (–) в тех случаях, когда перестановка является нечетной. Следовательно, также

4) Следующая сумма четырех производных от антисимметрич­ного ковариантного тензора третьего ранга Aijk

является антисимметричным тензором четвертого ранга.

С учетом соответствия между антисимметричными тензорами и плотностями отсюда следуют четыре аналогичных утверждения о плотностях. Обозначим их (1'), (2'), (3'), (4').

(1') Тензорная дивергенция ранга 3 антисимметрич­ной тензорной плотности четвертого ранга Aijkl, а именно Aijkl/xl является плотностью третьего ранга с тем же самым описанием.

(2') Тензорная дивергенция ранга 2 антисимметричной контравариантной тензорной плотности Aijl, а именно Aijk/xk, является плотностью второго ранга с тем же самым описанием.

(3') Тензорная дивергенция ранга 1 антисимметричной контравариантной тензорной плотности второго ранга Ail, а именно Aij/xj, является контравариантной векторной плотностью.

 (4') (Скалярная тензорная) дивергенция контравариантной векторной плотности Ai, а именно Aj/xi является инвариантной плотностью.

Это, пожалуй, все линейные комбинации из первых производных тензоров и тензорных плотностей, имеющие свойства тензора. Наиболее важными являются случаи (1), (2), (3), (3'), (4').

Обращение в нуль одного из приведенных выше тензоров во всех случаях имеет надлежащий смысл, а именно: в случае (1) скаляр φ постоянен, в случае (2) — вектор Аk является градиентом. Для случаев (3) и (3') примером служат уравнения Максвелла для вакуума, а в случае (4') обращение дивергенции в нуль указывает на то (или выражается в том, что говорят), что ток Ai не имеет источников.

Тем не менее, приведенных выше тензоров недостаточно, чтобы построить исчерпывающий тензорный анализ в нашем континууме. Не имеет никакого смысла даже такой простой вопрос: когда векторное поле следует рассматривать как постоянное в некоторой определенной области? Ибо обращение в нуль всех его производ­ных Aij (как мы видели) не является свойством, не зависящим от системы координат, потому что Aij не является тензором.

1.2      Ковариантное дифференцирование. Связность

Для определения инвариантной производной вернемся к выражению (3.1.3):

(3.2.1)

 

Предположим, у нас есть некоторые причины настаивать на том, что поле Ак следует рассматривать как "действительно" постоян­ное, если все его 16 производных обращаются в нуль в исходной, не штрихованной системе координат (тем самым мы временно выделяем эту систему координат). В любой другой (штрихованной) системе координат упомянутое утверждение выражается посредством равенства

Введем, для сокращения записи, обозначение

(3.2.2)

 
 

Тогда уравнения

(3.2.3)

 

выражают в произвольной системе координат тот факт, что набор производных обращается в нуль в исходной, нештрихованной системе координат. Поскольку произвольное преобразование, переводящее исходную систему координат в штрихованную, можно положить равным и тождественному преобразованию, мы должны сказать, что нештрихованные величины  все равны нулю. И, между прочим, то же самое, очевидно, справедливо для всех систем координат, которые получаются из исходной системы координат чисто линейным преобразованием координат хi, поскольку в этом случае все вторые производные в (3.2.2) обращаются в нуль.

Это — единственное остающееся препятствие, противодействую­щее идее общей инвариантности и заключающееся в том, что одна система координат, или, точнее, некоторое множество систем координат, выделены предположением, что в ней, или в них, все  обращаются в нуль. Но это препятствие легко преодолеть: мы просто опустим это предположение. Это очень важный шаг, немед­ленно ведущий к понятию аффинной связности.

Поэтому теперь и в дальнейшем мы не будем определять величи­ны  условием, что они обращаются в нуль в одной конкретной системе координат и даются равенствами (3.2.2) в любой другой системе координат. Мы будем рассматривать их как нечто того же общего типа, что и тензорные поля или поля тензорных плотностей, но в действительности отличное и от того, и от другого, – как набор функций, которые

(а)          можно наделить произвольными значениями в одной
конкретной системе координат, и

(б)          подчиняются такому закону преобразования, который пре­вращает выражение

(3.2.4)

 
 

в тензор. Символ  является новым обозначением, введенным как сокращенная форма записи выражения, стоящего в левой части. Мы назовем этот набор Г аффинной связностью, наложенной с помощью (а) на наш континуум. Величина  называется инва­риантной производной вектора  (по отношению к аффинной связности , в отличие от обычной производной  Наше предыдущее обсуждение следует рассматривать как частный случай, а именно тот, для которого в пункте (а) мы выбираем нулевые значения для всех Γ. Отсюда можно легко вывести, что пункт (б) будет выполнен, если мы примем для такой же закон преобра­зования, как и для тензора, обладающего такими же тремя индек­сами, однако, с лишним добавочным членом, как в левой части выражения (3.2.2). Таким образом,

(3.2.5)

 

Добавочный член не зависит от Γ. Следовательно, он одинаков для любых связностей; он зависит только от связи между этими двумя системами координат. Он ответствен за тот факт, что Γ не обраща­ются в нуль в любой системе координат, если даже это имеет место в одной из них. Аффинная связность не является тензором. Форму­лы ее преобразования линейны, но не однородны.

Добавочный член симметричен по отношению к ковариантным индексам i и j величин Γ, и вся формула преобразования также симметрична по ним. Симметричность по отношению к нижним индексам является, следовательно, инвариантным свойством связности (для антисимметричности это не так!) Если аффинная связность не симметрична, тогда в формуле преобразования для ее антисимметричной части, , неоднородный член выпадает; эта антисимметричная часть поэтому является тензором. В более общем случае тот факт, что неоднородный член одинаков для любых связностей, имеет следующие важные последствия.

Если мы рассмотрим две аффинные связности  и  в одном и том же континууме (что допустимо и очень часто рас­сматривается), то их разность  всегда представляет собой тензор. В частности, если нам придется рассматривать беско­нечно малые изменение  данной аффинной связности  (что иногда приходится делать), то величины  являют­ся (должны быть) тензорами. Наоборот, сумма аффинной связности и тензора  конечно, всегда является аффинной связностью.

Сумма двух аффинных связностей не является аффинной связ­ностью, потому что в законе ее преобразования наиболее важный член будет иметь множитель 2.

Аффинные связности представляют собой второй, или, если хо­тите, третий, тип важных математических объектов, кроме тензоров и тен­зорных плотностей. Понятие инвариантной производной, введен­ное нами в (3.2.4), не является абсолютной концепцией, но относит­ся к определенной аффинной связности, которая должна быть ука­зана. Если введено более одной аффинной связности и желательно иметь сокращенные обозначения (типа точки с запятой, использо­ванной, в (3.2.4)), то необходимо различать их, используя вместо точки с запятой другие символы, такие, как двоеточие, вертикаль­ную черту и т.п. для обозначения производных, относящихся к различным аффинным связностям.

Теперь распространим понятие инвариантной произ­водной на другие тензоры, в первую очередь на контравариантные векторы. Инвариантная производная обладает свойствами:

(1)          обычное правило дифференцирования произведения

(3.2.6)

 

выполняется и для инвариантного дифференцирования произведений тензоров;

(2)          в случае инварианта инвариантная производная сов­падает с обычной производной (поскольку, в конце концов, гра­диент является тензором – безо всяких добавок!):

φ;i,i

Из довольно тривиального замечания, что , правило дифференцирования произведения само по себе говорит нам, что . И поскольку это равенство обязано выполняться для любого вектора, мы имеем:

Следовательно, смешанный единичный тензор, рассматриваемый в качестве поля, имеет нулевую инвариантную производную по отношению к любой аффинной связности.

(3) Инвариантная производная контравариантного вектора

(3.2.7)

 

является двойником выражения (3.2.4), то только в слегка измененных обозначениях, причем запятая обозначает обычную производную :

Еще одно замечание: рассмотрим  (здесь допущена ошибка с нижними индексами!) Что это за объект? Если Γ симметрично, это не имеет значения. Ну, а что, если оно несимметрично? Конечно же, это – тензор, и, конечно же, он является инвариант­ной производной вектора Bk, но только не по отношению к рас­сматривавшейся нами аффинной связности, а по отношению к дру­гой аффинной связности, получающейся из нее перестановкой ниж­них индексов. Это тривиально.

В случае тензора общего типа  мы применим аналогичные рассуждения к инварианту  с произвольными векторами  и таким образом мы получим результат для инвариантной производной от T, который сначала выразим словами, а затем выпишем. К обычной производ­ной добавляется дополнительный член, по одному на каждый ин­декс тензора T. Каждый такой член состоит из (свернутого) произ­ведения компоненты тензора T и компоненты связности Γ, причем произведение строится в точности по образцам (3.2.4) или (3.2.7) соответственно, при этом с тензором обращаются так, как если бы у него был только этот один индекс, а все другие не принимаются во внимание, т.е. при построении данного конкретного произве­дения они остаются неизменными. Таким образом,

(3.2.8)

 

Заметим, что индекс производной всегда является вторым ковариантным индексом связности Γ, а два остающихся места исполь­зуются для размещения немого индекса и индекса, отсутствующего в тензоре T, в котором он был заменен немым индексом. Если за­помнить это правило и знаки, то приведенную выше формулу лег­ко выучить наизусть вопреки сбивающей с толку "пляске" индексов!

Инвариантное дифференциро­вание плотности:

(1)          правило дифференцирования произведения применимо также и в случае, если один из множителей является плотностью;

(2)          численно инвариантная плотность , рассматриваемая как поле, имеет нулевую производную.

Рассмотрим теперь любую плотность L˙˙˙= G · T ˙˙˙, где G – произвольная скалярная плотность, T – тензор. Тогда инвариантная производная тензорной плотности  будет равна:

L˙˙˙…;i = G · T ˙˙˙…;i – G;i · T ˙˙˙… = G · T ˙˙˙…;i – G,i · T ˙˙˙… – Γrri L˙˙˙

Легко видеть, что первый и второй члены в правой части, взятые вместе, составляют как раз "обычные члены", образованные так, как если бы величина L˙˙˙… была тензором. Поэтому мы можем записать:

L˙˙˙…;i =

(3.2.9)

 
 "обычные члены" – Γrri L˙˙˙

1.3      Связь инвариантной производной с параллельным переносом вектора

Оказывается, имеется прямая связь между параллельным переносом вектора и инвариантной производной.

Для сравнения двух объектов в разных точках пространства необходимо определить операцию переноса вектора в другую точку. Эта операция переноса производится параллельным переносом вектора. Параллельный перенос произвольного вектора Ai на малое расстояние dqj определяется с помощью того же тензора аффинной связности ранга 3 Гijk:

(3.3.1)

 
dAi = –Γijk Ak dqj

A'i = AiГijk Ak dqj

где dAi – изменение элементов вектора Ai при параллельном переносе на расстояние dqk.

С помощью тензора связности можно определить понятие "геодезической" и метрики на геодезической линии. Геодезическая линия – это линия параллельного движения вектора вдоль своего направления. Тензор связности Гijk на геодезической удовлетворяет условию:

(3.3.2)

 

где s – параметризация геодезической, соответствующая метрике на геодезической,

V = dq/ds – скорость на геодезической.

Из этого уравнения видно, что тензор связности –Гijk физически соответствует инерционному ускорению при движении м.т. по геодезической линии в римановом пространстве (криволинейных и ускоренно движущихся с.о.). Для евклидова пространства этот тензор равен нулю, и геодезическими будут прямые линии.

Для ковариантного векторного поля Ai неизменность вектора в ближайшей окрестности означает, что его ковариантная производная равна нулю:

Ai

(3.2.4)

 
;j = Ai

(3.3.3)

 
,j – Гkij Ak = 0

Напишем выражение для определения изменения ковариантного вектора при параллельном переносе на расстояние dqk:

(3.3.4)

 
dAi = Ai Гijk dqj

A'i = AiAi Гijk dqk

Через параллельный перенос можно определить метрику на геодезических линиях пространства, но нельзя сравнить длины векторов на разных геодезических. Метрика s на геодезической определяется следующим образом:

(3.3.5)

 
ds = gi dqi = gi ·(dqi/du)·du = g du

где dqi – полный дифференциал координаты в точке пространства q вдоль геодезической;

ds – длина вектора dq, точнее, проекция ее на направление геодезической.

gi – ковариантное векторное поле, определяющее метрику на геодезической, касательная к ней. Получается параллельным переносом эталона gi(0) из начальной точки вдоль геодезической линии. Для каждого направления от точки q он свой, независимый:

gi = gi(q, V(q))

g – метрический коэффициент на геодезической в параметризации u. Зависит от координаты и направления геодезической:

g = g(q, V(q)) = gi(q, V(q)) Vi(q)

Здесь Vi(q) = dqi/du – скорость на геодезической по параметру u. Одновременно задает поле направлений от точки q;

du = du(q, dq) – локальная скалярная функция в окрестности точки q, линейная по dq, для определения локальной скалярной параметризации окрестности этой точки. В общем случае это может быть произвольная функция, но ее можно определить через билинейную форму от дифференциала координат:

(3.3.6)

 

Здесь uij не является метрическим тензором, а только билинейной формой для однозначного определения дифференциала параметризации du вдоль направления dq. Здесь имеется неоднозначность в выборе знака перед корнем выражения (3.3.6). Можно сделать выбор в соответствии со знаком одного из дифференциалов координат. Выделенным среди координат пространства–времени является координата времени. Тогда метрика на геодезической определится по формуле:

(3.3.7)

 

Наличие метрики на геодезической не означает, что пространство является метрическим.

Наличие билинейной метрики gij однозначно определяет некоторую связность в пространстве, причем эта связность совпадает с символами Кристоффеля:

Тензор связности Гsik совместно с полями g(q, V(q)) и uij(q) на геодезической и метрический тензор gij определяют два подхода к движению м.т. Первый подход предполагает полную метризацию всего пространства только вдоль геодезической, а второй – каждого из независимых подпространств. Но метризация с помощью тензора связности Г только на геодезической не может определить какой–то изотропный эталон, следовательно, такое пространство не физично.

Если пространство определено как прямое произведение независимых подпространств, то метрические тензоры должны быть определены для каждого из составляющих подпространств по отдельности. Это значит, что для каждого подпространства должны быть определены свои эталоны. Для классической механики эти пространства = пространство – время. Назовем такое пространство, однородное, изотропное и инвариантное относительно галилеевых преобразований координат, пространством ГТО (галилеева теория относительности). В ней имеется два эталона – длины dl и времени dt:

(3.3.8)

 
dl2 = gij dri drj

dt = gi dqi

В частном случае ортогональности оси времени к 3–пространству:

dt2 = g dt

2   

Ссылка на этот материал: tenzornoye_pole.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 56 to divide on "восемь" equally:

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 38 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25