Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: tenzornoye_prostranstvo.htm)
Тензорная алгебра

1      Тензорные пространства

Тензорные пространства строятся на основе линейных векторных пространств. От векторных пространств они отличаются тем, что на них наравне с операцией умножения на вещественное число определены еще две операции – свертки по одинаковым индексам и внешнего произведения.

1.1      Определения: тензоры, ковариантные и контравариантные векторы и индексы тензоров. Производные

Далее для изучения физических явлений природы мы в основном будем пользоваться векторным, матричным и тензорным исчислениями и понятиями "скаляр" или число, "вектор", "матрица", "тензор", "тензорная плотность" для их объектов. В тензорном исчислении простейшими объектами являются скаляры, векторы и матрицы (не путать с понятиями "вектор" и "матрица" матричного и векторного исчислений, хотя очень похоже!), а также тензорные плотности от них. Все эти объекты в математике являются элементами линейных пространств. Определения, приведенные ниже, не претендуют на строгость и последовательность изложения, но дают представление об этих математических объектах.

Скаляр – это тензор ранга 0, объект, который не меняется при преобразованиях координат. Аналогом скаляра является любое вещественное число. Несмотря на то, что скаляр не изменяется при преобразованиях, но она все–таки зависит от принятой в физическом пространстве системы единиц измерения, или эталонов.

Похожим на скаляр будет также определение константы. Константа вообще ни от чего не зависит, в т.ч. и от эталонов. Таким объектом является, например, число "пи". Отношение двух скаляров может быть константой, но это верно не всегда и зависит от "степеней" или "размерности" скаляров: длина, площадь, объем, …

Тензор – абстрактный математический объект, подчиняющийся определенным групповым правилам. Множество тензоров определенной структуры составляет линейную группу. Основными параметрами тензоров являются ее размерность и валентность (ранг). Для тензоров определяется понятие «контравариантность» и «ковариантность» индекса. Если имеются и верхние, и нижние индексы, то тензор называется смешанным. Ранг смешанного тензора определяется двумя числами – количеством верхних и нижних индексов. Тензор более высокой валентности можно определить индуктивно через тензоры меньшей валентности через внешнее произведение тензоров.

Под понятием "тензор" обычно понимаются объекты типа "вектор", "матрица", другие многоиндексные объекты произвольного ранга с размерностью, равной размерности n рассматриваемого пространства. Ранг – это количество индексов при элементах тензора:

где i .. j, k .. l Î {1 .. n}. Причем имеет значение порядок расположения только верхних и только нижних индексов. Порядок расположения последовательности верний-нижний индексы не имеет значения и даже они могут записываться друг под другом (см. выше).

Замечание: При записи тензоров в матричной форме и матриц в тензорной форме имеет значение порядок в расположении верхних-нижних индексов.

Ti..jk..l при конкретных значениях индекса называются компонентами или элементами тензора.

Тензор полностью определяется значениями своих элементов. Их количество равно nk, где k – валентность тензора. Часто валентность тензоров также ограничивается размерностью пространства.

Вектор – это тензор валентностью 1, элементы которой изменяются при преобразованиях координат подобно координате (контравариантно) или градиенту функции от координат (ковариантно). Вектор является базовым понятием для определения тензоров. Векторы составляют группу относительно операции сложения векторов и умножения на число. На практике контравариантный вектор можно представить как направленный отрезок прямой в линейном пространстве с определенными в ней координатными осями, проекции которой на эти оси будут определять значение соответствующего элемента вектора A:

A = a1e1 + a2e2 + + anen

Здесь A наш вектор,

An – проекция вектора A на ось с индексом n,

en – базовые векторы координатной оси с индексом n.

Значения координат вектора определяются в единицах некоторого выделенного направленного отрезка соответствующей координатной оси, называемого базовым вектором. Поэтому значения элементов вектора определены с точностью до выбранной системы базовых векторов ek, где k – номер базового вектора.

Матрица – это обычно тензор валентности 2, состоящий, как и двумерная матрица, из строк и столбцов. Обычно матрица записывается в виде таблицы. Но это не всегда удобно, и для обозначения матрицы можно применить тензорную форму обозначения. Но в этом случае для матриц будет иметь значение порядок расположения индексов: первый индекс обозначения матрицы – это всегда номер строки.

С другой стороны, тензоры валентности 2 можно записать как матрицу. Тогда номер строки элемента будет соответствовать первому индексу, номер столбца – второму.

Антисимметричная матрица в некоторой литературе называется бивектором.

Основным свойством тензоров и тензорных плотностей является то, что если они в одной системе координат равны нулю, то и в любой другой системе координат будут равны нулю. Это свойство не зависит от системы координат и сохраняется после преобразований.

Среди тензоров любой валентности имеются по одной единственной совершенно симметричной и совершенно антисимметричной представителя (с точностью до множителя). Вопрос об их инвариантности  требует уточнения.

Для тензоров и плотностей определены операции:

1)      сложения и вычитания – для тензоров одинаковой структуры поэлементно;

Для любых двух тензоров с одинаковой структурой определена операция сложения тензоров:

C[i] = A[i]B[i]

(1.1)

Здесь индекс [i] указывает на обобщенный индекс определенной структуры с определенной последовательностью верхних и нижних индексов и размерностью соответствующих индексов. Нельзя складывать тензоры и плотности! (см. далее).

2)      умножение тензора на число (скаляр) – структура тензора не меняется, но каждый элемент умножается на значение скаляра.

Для любых тензоров определена операция умножения на число α:

B[i] = αA[i]

(1.2)

3)            свертка тензора – это получение нового тензора путем суммирования элементов тензора по одному верхнему и нижнему индексам с одинаковым обозначением индексов: Bi = Aijj. При этом валентность тензора уменьшается на 2. Через свертку вектора на себя определяется понятие длины (точнее, квадрата длины) вектора: A2 = AiAi. Для определения длины вектора Ai необходимо иметь возможность определения связанного с ним вектора с другим расположением индекса Ai (см. поднятие и опускание индексов). При этом валентность получившегося объекта будет равен 0, а это скаляр – не изменяющийся при преобразованиях тензор. Следовательно, длина вектора не изменяется при преобразованиях координат;

4)      внешнее перемножение тензоров и тензоров на плотности – при этом валентность результирующего тензора получается сложением валентностей исходных тензоров, а значения элементов нового тензора – это всевозможные комбинации произведений элементов исходных тензоров. При этом индекс элемента получается простым перечислением сначала индексов множимого, а затем – множителя произведения. Пример:

A[i] · B[j] = C[i][j] = C[k].

(1.3)

В этом произведении результирующий тензор C[k] состоит из элементов, полученных умножением каждого элемента тензора A[i] на каждый элемент тензора B[j], а последовательность индексов полученных результирующих элементов составлены как последовательности индексов этих тензоров в последовательности написания в произведении для верхних и нижних индексов соответственно. При этом общий валентность получившегося тензора будет равна сумме валентностей участвующих в произведении тензоров.

При перемножении двух матриц производится свертка второго индекса  первой матрицы с первым индексом второй матрицы. Поэтому при записи произведения матриц необходимо соблюдать одинаковое написание второго индекса  первой матрицы и первого индекса второй матрицы, во избежание недоразумений.

5)   операция поднятия и опускания индексов.

Операция поднятия и опускания индексов тесно связана с наличием или отсутствием метрического тензора gij. Метрический тензор – это тензор, с помощью которой определяется связность точек пространства через понятие "расстояние" dl или интервал ds между близкими точками. Конкретный вид тензора gij зависит от метрических свойств пространства, но она должна быть определена однозначно для одной из систем координат раз и навсегда и далее преобразовываться на общих основаниях. В линейном пространстве этот тензор имеет одно и то же значение в любой точке пространства.

Ai = gijAj

Aj = gijAj

(1.4)

С учетом операции поднятия и опускания индексов свойства свертки вектора на себя будут выглядеть следующим образом:

AiAi = Ai(gihAh) = (Aigih)Ah = AhAh

(1.5)

Здесь gih и gih – обратные друг другу тензоры (матрицы).

Эта операция может быть определена не всегда. Например, в 4–мерной классической и галилеевой механике она не определена – нет 4–мерной метрики.

Еще надо определиться, где будет стоять поднятый (опущенный) индекс. Если эту операцию мы применим к вектору, то не имеет значения порядок перемножения вектора и метрического тензора. Но для тензоров большей валентности это имеет значение, потому что имеет значение порядок сомножителей прямого произведения тензоров. Если будем ставить метрический тензор слева, то поднятый (опущенный) индекс будет стоять слева, иначе – справа.

6)            Перестановка индексов – получение нового тензора путем перестановки индексов исходного тензора. Допустима перестановка индексов одинакового положения – оба верхние или оба нижние. Перестановка индексов матрицы по паре индексов i и j называется сопряжением.

Операция перестановки индексов матрицы A* = Aji называется сопряжением по паре индексов к исходной матрице A = Aij, полученному из исходного перестановкой пары индексов. При перестановке любых двух определенных индексов тензоров выполняется соотношение:

(A*)* = A

(1.6)

7)  Преобразования тензоров при преобразованиях координат или базовых векторов. Эта операция в тензорном анализе занимает ведущее место. Операция преобразования для контравариантного вектора Ai определена с помощью уравнений:

A'i = gijAj

(1.7a)

Это уравнение является линейным выражением новых координат вектора A'i в новой системе базовых векторов, gij – тензор или матрица линейного преобразования. Для произвольного контравариантного тензора A'ij..k эти преобразования необходимо применить к каждому индексу исходного тензора:

A'ij..h = gikgjl..ghmAkAlAm

(1.7b)

Полезные выводы:

1) Свертываемые индексы можно заменить на любой другой индекс;

2) Для псевдоевклидова пространства Минковского (СТО) метрический тензор диагонален и равен: g00= – 1, gii = –1 при i Î {1,2,3}, gij = 0 при i ¹ j:

.

3) При рассмотрении ортонормированного евклидова пространства нет необходимости различать верхние и нижние индексы, потому что gij = dij, и операция опускания или поднятия индекса не меняет значений элементов тензора. Этот вывод будет использоваться при рассмотрении тензоров в 3–мерном пространстве (в классической и галилеевой механике), причем часто вообще не будем писать индексы при тензорных объекта (см. Введение).

8)  Если в пространстве определена некоторая функция , то для нее определена операция взятия частной производной по координатам разметки пространства

(1.8)

 

В отношении произвольных тензоров эта операция определена к каждому отдельно взятому ее элементу. Но полезное практическое значение эти производные имеют только в случае тензоров, определенных в линейном пространстве, а не в произвольном. В случае использования их в произвольном пространстве необходимо учитывать так называемый тензор аффинной связности , учитывающий криволинейность пространства.

Далее будут определены еще инвариантные производные тензорных параметров по координатам.

9)  Дадим определения тензоров по виду симметрии значений ее элементов.

Большое значение в тензорном анализе имеют симметричные и антисимметричные тензоры. Любой тензор можно разложить на симметричную A( – )..i..j.. и антисимметричную A()..i..j.. по паре индексов i и j одного сорта (верхним или нижним). Тип симметричности тензора является инвариантным свойством тензора. Тензор A..i..j.. называется симметричным тензором по паре индексов i и j одного сорта, если при перестановке этих индексов тензор не изменяется. Процесс получения симметричной части тензора называется симметрированием тензора. Симметричную часть тензора по двум индексам можно получить следующим образом:

A( – )..i..j.. = A..i..j..A..j..i..

Соответственно, тензор A..i..j.. называется полностью симметричным, если значение элемента тензора не зависит от порядка индексов.

Среди симметричных матриц выделяются диагональные. Матрица диагональна, если у нее все элементы, кроме диагональных, равны нулю.

Тензор A..i..j.. называется антисимметричным тензором по паре индексов i и j одного сорта, если при перестановке этих индексов тензор изменяет свой знак. Антисимметричную часть тензора по двум индексам можно получить следующим образом:

(1.10)

 
A()..i..j.. = A..i..j..A..j..i..

Соответственно, тензор A..i..j.. называется полностью антисимметричным тензором, если значение элемента тензора изменяет знак при перестановке любых двух индексов. Процесс получения антисимметричной части тензора называется альтернированием тензора

(1.11)

 
A() = Σ(–1)![ij..k]A[ij..k]

где в правой части формулы записана операция суммирования исходного тензора во всех возможных перестановках [12..n] индексов, а знак "!" показывает знак четности этой перестановки.

Иногда бывает нужно определить тип симметричности тензора по паре смешанных индексов. Симметричность: ; антисимметричность: . Такая ситуация возникает при изучении тензоров малых преобразований координат.

Дадим определение контравариантного вектора.

Примерами контравариантных векторов являются координата, скорость и ускорение, а также их приращения. При преобразованиях координат они преобразуются следующим образом:

(1.12)

 

Поэтому мы определим понятие контравариантного вектора как набор четырех величин Ai, которые в «приказном порядке» преобразуются так же, как и dr'i:

(1.13)

 

Если величину  обозначить как тензор gij, то это же можно записать следующим образом:

(1.14)

 
dr'i = gijdrj

A'i = gijAj

Здесь в принципе важен порядок следования индексов, с тем, чтобы мы могли отличить тензор прямого преобразования координат от обратного, который обозначим как : первый индекс принадлежит штрихованной координате. Индексы тензора прямого преобразования координат можно писать и друг под другом, т.к. порядок чтения символов обычно соответствует схеме слева–направо–сверху–вниз.

Выпишем законы преобразования для контравариантных векторов в явном виде на примере координаты, скорости, ускорения и обобщенного контравариантного вектора Ai для случая чисто галилеевых преобразований (равномерно движущаяся со скоростью vi0 система отсчета с общим центром, см. далее), принимая во внимание, что: = –vi0, = v00 = 1, = v0j = 0, = vij = E:

 

 

Координата

Скорость

Ускорение

Вектор

 

Пространственная часть вектора

r'i = ri – vi0t

v'i = vi – vi0 ·10

a'i = ai

A'i = Ai – vi0A0

(1.15)

Временная часть вектора

t' = t

v'0 = v00 ·10= 1

A'0 = A0

 

Дадим определение ковариантного вектора.

Определение ковариантного вектора (и ковариантных тензоров) обычно дается через свойство эквивалентности ее с частной производной некоторой функции координат, потому что ковариантными свойствами обладают объекты типа «поле», элементы которой являются частными производными по координатам от объектов – функций от координат, а не самих координат. Примером ковариантного вектора является градиент скалярного поля: . Более подробно о тензорных полях и их свойствах см. часть 3. Способ преобразования таких векторов является альтернативой к предыдущему способу. Общее понятие ковариантного вектора состоит в том, что это – набор величин Ai , которые должны преобразовываться так же, как и :

(1.16)

 

Выражение  – это тензор обратного преобразования дифференциалов координат. Если выражение  обозначить как тензор gij, то это же можно записать следующим образом:

A'i = gijAj = g'jiAj

Из этого соотношения мы можем определить отношение прямого и обратного преобразований друг к другу. Подставив для dr'j выражение из определения контравариантного вектора, получим:

(1.17)

 
dri = (gih gjh)drj = (gih g'hj)drj = dri

Чтобы левая часть была равна центральной, необходимо, чтобы gih gjh был единичным диагональным тензором:

(1.18)

 
gih gjh = gih g'hj = dij

Отсюда следует, что gih и gjh – обратные друг другу тензоры.

Выпишем законы преобразования для ковариантных векторов в явном виде в случае чисто галилеевых преобразований, принимая во внимание, что:

 

 

 

Градиент скалярного

поля φ(r,t)

Вектор

 

 

Пространственная часть градиента

A' = A

(1.19)

 

Временная часть градиента

A'0 = A0Aiv0i

 

Здесь вектор расширение понятия ковариантного вектора, выход на самостоятельный уровень определения ковариантного вектора без связи с градиентом скалярной функции. Составляющая это «временная» составляющая вектора A, ее четвертая координата.

Для тензорных объектов валентности более 1 определяются ковариантные и контравариантные индексы. Контравариантность или ковариантность индекса для них определяется положением индекса – вверху или внизу. Соответственно и законы преобразования для нее определяются этим же положением. По каждому индексу тензор преобразуется независимо от других индексов – контравариантно или ковариантно – в соответствии со своим положением:

(1.20)

 

Следствие: тензор преобразования ковариантного вектора равен тензору обратного преобразования координат.

1.2      Скалярное произведение. Ортонормированные пространства. Метрический тензор

Для любого тензора и двух тензоров с одинаковыми смешанными индексами определена операция свертки по двум смешанным индексам. Наиболее просто объяснить скалярное произведение на двух векторах с верхним и нижним индексами соответственно. Для двух векторов A и B эта операция называется скалярным произведением и записывается так:

(2.1)

 
A × B = Ai × Bi = A0 B0A1 B1An Bn

Два вектора называются ортогональными, если их свертка равна нулю.

Для любого тензора может быть определена операция поднятия и опускания индекса. Для этого необходимо, чтобы существовали некоторые взаимно обратные метрические тензоры gij и gij: gikgkj = gij = δij, через которые определяется операция поднятия–опускания индексов:

(2.2)

 
Ai = gij Aj

Ai = gij Aj

Метрические тензоры gij и gij могут быть определены непосредственно либо способом, выраженными формулами (2.4–2.6). Через свертку определяется скалярная функция вектора – норма вектора как свертка с самим собой (с обобщением – произвольного тензора по всем парам смешанных индексов):

(2.3)

 
Ai Ai = Ai (gij Aj)

Особенностью этого метрического тензора является то, что она должна иметь определенную сигнатуру – последовательность знаков " – " и "–", что должно быть видно в знаках ее диагональных элементов. Эта сигнатура соответствует сигнатуре нормы вектора ортонормированного пространства Минковского:

(2.4)

 

Координатные оси с положительной сигнатурой метрики называются времениподобными, с отрицательной – пространственноподобными.

Другим способом определения метрических тензоров является определение системы n ковариантных векторов gkj, определяющих координаты ортов текущей базовой системы координат в некоторой базе, принятой в качестве ортонормированной базы. Система векторов gkj определена с точностью до ортонормированных поворотов θkn этой системы по индексу k:

g'nj = θkn gkj

При этом ни один другой тензор не изменит своего значения.

Пусть Ai – какой–то n–вектор. Тогда мы можем определить длину этого вектора через проекции Ak этого вектора на вектора gkj: k, j Î {0, 1, 2, 3}:

(2.5)

 
Ak = gkj Aj

Это значение является скалярным вектором в ортонормированной базе, задаваемой системой векторов gkj, потому что она определяется как скалярное произведение, представляет собой проекции вектора A на вектора gk, но она зависит от выбора базовой системы векторов gkj. При этом сумма квадратов этих проекции, или квадрат скалярного вектора, является истинным скаляром, не зависящим от выбора базовой системы:

(2.6)

 
A2 = (gki Ai) (gkj Aj) = gki gkj Ai Aj = gij Ai Aj

Здесь gki = δki, т.е. равен единичному тензору. Свертка по индексу k для gki подчиняется правилу ко– и контравариантности, несмотря на то, что это независимый скалярный индекс нумерации векторов некоторой базовой ортонормированной системы, и правила опускания–поднятия этого индекса будут теми же, что и для тензорных индексов, с той же сигнатурой (2.4).

В связи с существованием операции свертки по смешанным индексам и нормы вектора появляется возможность выделить из всех базовых систем так называемые ортонормированные базы, каждый базовый элемент которой имеет ±–единичную норму и все они взаимно ортогональны. Для ортонормированного пространства нет необходимости различать верхние и нижние индексы и скалярное произведение можно определить для одного, например нижнего, индекса. При этом перед каждым членом правой части уравнения необходимо поставить вполне определенный метрикой пространства знак " – " или "–", называемый сигнатурой нормы вектора пространства:

(2.7)

 
A × B = Ai × Bi = ±A0 B0 ± A1 B1 ±…± An Bn

1.3      Тензорная плотность. Взаимосвязь между тензорами и тензорными плотностями

Дадим определение тензорной плотности.

Пусть  – некоторая скалярная функция координат и n–мерный интеграл по объему n–мерной области. Величина , для которой выполняется равенство  при преобразованиях координат, называется скалярной плотностью. Для этого необходимо, чтобы законом преобразования для  было:

(3.1)

 

Здесь – это определитель матрицы, составленной из элементов . В дальнейшем для обозначения этого детерминанта будем пользоваться обозначением |g| или просто g.

Можно расширить понятие плотности и на многокомпонентные объекты – тензорные плотности  валентности более 0 – имеющие такую же связь с тензорами, какую скалярная плотность имеет со скаляром:

Между тензорами ранга m и n размерности k = mn с определенной симметрией имеется взаимно–однозначное соответствие. Рассмотрим подробнее это соответствие.

Рассмотрим ковариантный антисимметричный тензор валентности n равного размерности тензора Tij..n. Пусть T – значение элемента T12..n. Все остальные элементы равны нулю при наличии двух одинаковых индексов, либо равны T с тем же либо противоположным знаком, зависящим от четности перестановки индексов. Запишем формулу преобразования компоненты T12…n:

(3.2)

 

(3.3)

 
Но . Поэтому:

или, если для T'12…k воспользоваться обозначением T', то:

Таким образом, альтернативная точка зрения на инвариантный антисимметричный тензор ранга, равного размерности, состоит в том, чтобы рассматривать его как объект всего с одной компонентой, но не как скаляр, а как скалярную плотность.

Полезным свойством антисимметричной контравариантной тензорной плотности ранга, равного размерности, является то, что при преобразованиях координат он не изменяет своего значения:

(3.4)

 

Антисимметричная тензорная плотность валентности, равного размерности тензора, состоящая из единичных элементов ±1, в соответствии со знаком перестановки индексов, и нулей – при наличии одинаковых индексов, является очень полезным приобретением. Ее обычно обозначают как eij..k. При размеренности и ранге 3 такой псевдотензор называется псевдотензором Леви–Чивита. С ее помощью можно получать альтернативные тензорные объекты – взаимно менять тензоры и тензорные плотности, возможно, и с потерей некоторой информации об исходном тензоре в результате свертки. Составим таблицу перевода тензоров размерности 3 в тензорные плотности:

 

Ранг тензора ® ранг плотности

Формула

Словесная выражение формулы

Вывод

 

0 ® 3

Tijk = eijk T

Скаляр T превращается

в компоненты антисимметричной тензорной плотности ранга 3

Любой скаляр можно представить как антисимметричную тензорную плотность ранга 3

 

1 ® 2

Tij = eijkAk

T23 = –T32 = A1

T31 = –T13 = A2

T12 = –T2 1= A3

т.е. элементы вектора Ak переходят в угловые элементы антисимметричной матричной плотности Tij

Любой ковариантный вектор можно представить как антисимметричную тензорную плотность (матрицу) ранга 2

 

2 ® 1

Ti = eijkAjk

T1 = A23A32

T2 = A31A13

T3 = A12A21

т.е. угловые элементы антисимметричной матрицы (антисимметричной части матрицы) Aij переходят в элементы векторной плотности Tk

Любой ковариантный антисимметричный тензор ранга 2 можно представить как векторную плотность

 

3 ® 0

T = eijkAijk

T = A123

Постоянные элементы антисимметричного ковариантного тензора ранга 3 Aijk переходят в элементы скалярной плотности T

Любой ковариантный антисимметричный тензор ранга 3 можно представить как скалярную плотность

Подобные таблицы можно составить для тензоров и других размерностей.

Перемножением любого тензора и тензорной плотности можно получить другую тензорную плотность. Свертка тензорной плотности есть тензорная плотность. Есть еще один способ получения тензорной плотности и тензора из любого тензора ранга 2. Пусть gij будет одним из них:

 

Будем рассматривать правую часть как матричное произведение матриц rk/r'i, gkm и rm/r'j именно в таком порядке:

 

Тогда из теоремы о детерминанте матричного произведения, обозначив через g' детерминант g'ij, через g детерминант gij, получим:

 

и, следовательно:

 

(3.5)

Словами: корень квадратный из детерминанта любого ковариантного тензора ранга 2 является скалярной плотностью. Можно также показать, что матрица Mik, составленная из миноров тензора gij, также является тензорной плотностью.

Но нельзя получить тензорную плотность перемножением тензорных плотностей! Для этого необходимо применить еще и соответствующее количество делителей .

Замечание: теоретически можно рассматривать тензорные плотности более высокого ранга, но в физике они не имеют практического применения. Важны практически именно линейные плотности.

1.4      Собственные значения и собственные векторы тензора преобразования gij

Для любого тензора gij можно определить взаимно ортогональные собственные векторы (векторные плотности) enj и собственные значения (константы) ln, для которых справедливо линейное уравнение:

(2.4)

 
(gij lnδij)en j = 0

где n – индекс нумерации (без суммирования).

Это означает, что собственный вектор enj при преобразовании, задаваемом тензором gij, переходит в коллинеарный вектор с отношением растяжения ln.

При размерности пространства n = 3 имеется три вида линейных тензоров преобразования координат: 1) поворота или вращения 2) деформации 3) сдвига. Вращение есть преобразование координат, при котором не изменяются расстояния между любыми двумя точками пространства. Тензор преобразования поворота обладает свойством ортонормированности. При чистой деформации происходит сжатие или растяжение векторов вдоль трех взаимно ортогональных направления. Сдвиг есть преобразование координат, при котором вектор получает линейное приращение вдоль направления на некоторой плоскости, не зависящее от проекции вектора на эту плоскость, но зависящее линейно от расстояния до нее. При деформации и сдвиге тензор преобразования не обладает свойством ортонормированности. Основные виды преобразований координат – это вращение и деформация, сдвиг раскладывается на них. Конкретно разложение комплексного тензора по видам зависит от количества N собственных векторов enj тензора gij и размерности тензора, причем N равна размерности тензора (с учетом комплексных корней), если его детерминант не равен нулю, и меньше размерности в противоположном случае.

Более подробно рассмотрим случай размерности 3. Для тензора размерности 3, если учитывать только вещественные корни, имеют место следующие следствия и выводы:

Пусть N – количество решений уравнения (4). Тогда:

1) N = 0 быть не может. Для однородных линейных преобразований координат нечетномерного пространства должен быть хотя бы один собственный вектор. Это следует из свойств нечетномерного тензора.

2) Если N = 1, то собственный вектор этого тензора задает ось вращения преобразования координат. Кроме тензора вращения, у этого тензора имеется еще составляющие – тензор деформации, которая состоит из натяжения по этому направлению и/или двум взаимно перпендикулярным к оси направлениям и/или сдвига в плоскости, проходящей через эту ось. Но параметры этой деформации не определяются.

3) Если N = 2, то собственные векторы задают плоскость чистого сдвига с натяжением по этим направлениям.

4) Если N = 3, то собственные векторы задают векторы натяжения преобразования координат. Вращения и сдвига нет.

1.5      Практический способ разложения тензора преобразования gij на произведение тензора вращения w ij и деформации e ij

В общем случае для трехмерного пространства тензор деформации gij состоит из произведения ортонормированного тензора вращения g(в)ij (3 параметра – определяется вектором, вокруг которого происходит вращение) и симметричного тензора деформации g(д)ij (деформации, или масштабного преобразования координат, в т.ч. зеркального отражения).

Трехмерный тензор «чистого» поворота имеет один собственный вектор (векторная плотность) w i. Этот вектор можно определить следующим образом:

wi = –½eijkwjk

где eijk –антисимметричная тензорная плотность ранга и размерности 3.

Тензор сдвига есть комбинированный тензор. Сдвиг определяется двумя ортогональными векторами, определяющими плоскость сдвига, один из которых – направление сдвига. Сдвиг в общем случае есть комбинация поворота и деформации. Тензор чистого сдвига имеет 2 собственных вектора.

Тензор чистой деформации имеет 3 собственных вектора, если все собственные значения различные, или – 1 собственный вектор и два произвольных взаимно ортогональных единичных в плоскости, в которой нет деформации, если два собственных значения одинаковые, или три одинаковых ортогональных вектора при равенстве всех трех собственных значений.

Для любого пространства тензор gij можно разложить на составляющие (множители) – вращение wij = g(в)ij и деформацию eij = g(д)ij . Это свойство основывается на следующем. Пусть T – тензор ранга 2, T* – сопряженный ему тензор. Тогда, применяя методы матричного исчисления, имеем:

T = (T*)–1(T*T)

Здесь T*T – симметричный тензор, т.к. (T*T)* = T*(T*)* = T*T. Для тензора T*T можно найти тензор H такой, что:

T*T = H2

причем:

H = enH'e*n

Здесь H' – диагональная матрица, состоящая из корней квадратных собственных значений li преобразования T*T;

en – единичные собственные векторы преобразования T*T.

enj – матрица, составленная из координат собственных векторов en.

Тогда:

(2.5)

 
T = (T*)–1H2 = ((T*)–1H)H = SH

Здесь S – ортогональный тензор (вращения), H – симметричный тензор (деформации).

Выводы. В общем случае тензор gij однородного преобразования координат состоит из произведения тензора вращения g(в)ij и тензора деформации g(д)ij (масштабного преобразования координат) по взаимно ортогональным осям. Для трехмерного пространства:

1) любой тензор вращения g(в)ij можно определить через вращение вокруг некоторого вектора wi (направления). Направление вектора определяется из соотношения:

a()ijwj0 = 0

2) любой тензор деформации 3–го ранга g( – )ij можно разложить по главным осям, составляющим некоторое поле направлений (3 или 2 взаимно ортогональных вектора Bik по индексу k). Сами векторы определяются из соотношения:

(g( – )ijlnδij)enj = 0 (по индексу n не суммировать)

где ln – масштабный коэффициент преобразования координат по направлению en;

n – внешний индекс вектора Î{1,2,3) (не суммировать!).

Векторы wi и eni полностью и однозначно определяют однородное преобразование координат.

Следствием возможности разложения матрицы ранга 3 на составляющие по вращению и чистой деформации является возможность описания любого матричного поля векторным полем (плотности) wi, задающим ось вращения и тремя ортогональными векторными полями eni, nÎ{1,2,3}, задающими направление и величину деформации. Всего 3321=9 параметров, по количеству элементов тензора размерности 3 ранга 2.

1.6      Разложение тензора малого однородного преобразования координат gij на составляющие тензоры деформации и вращения

Пусть заданы ортонормированное пространство, каждая точка которой испытывает малую деформацию (не преобразование координат с.о.! При этом контра– и ковариантные векторы деформируются одинаково). Пусть aij – некоторый тензор ранга 2, который назовем тензором деформации, и dt – малый параметр, связанный с однородным деформационным движением некоторой среды в пространстве во времени t, gij – некоторый тензор малого преобразования, переводящий точку среды c координатами ri в точку с координатами r'i, оставляющий начало координат в исходной точке:

gij = (δijaijdt)

r'i = gijrj = (δijaijdt)rj = riaijrjdt

При этом каждая точка среды с координатами rj переместится от исходного на величину вектора:

dri = r'i rj = aij rjdt

Разложим тензор aij на симметричную и антисимметричную составляющие:

r'i = (δij – (a( – )ija()ij)dt)rj =

= (δija( – )ij dta()ij dt)rj

В силу малости тензоров a( – )ijdt и a()ijdt это же преобразование можно представить как произведение двух преобразований:

1) с симметричной частью aij => (δija( – )ij) = g ( – )ij;

2) с антисимметричной частью aij => (δija()ij) = g ()ij.

Действительно:

r'i = g ( – )ikg ()kjrj =

= (δika( – )ik dt)(δkja()kjdt)rj =

= (δija( – )ik δkjdtδika()kjdta( – )ik dta()kjdt)rj

В силу малости dt2 по сравнению с dt последним членом можно пренебречь:

r'i = (δija( – )ik δkjdtδika()kjdt)rj =

= (δija( – )ijdta()ij dt)rj

Отсюда делаем следующий вывод: любое малое преобразование координат можно представить как совокупность (сумма или произведение) двух малых преобразований, даваемых симметричным и антисимметричным частями тензора aij:

gij = δij – (a( – )ija()ij)dt

gij = (δija( – )ij dt)( δija()ij dt)

dr = (a( – )ija()ij)dt

Рассмотрим смысл симметричной и антисимметричной частей тензора малой деформации aij по отдельности Представим, что gij – тензор малой деформации. Тогда любой пространственный вектор точки среды Ai (координаты точки или разность координат, привязанные к точке среды) будет преобразовываться следующим образом:

A'i = gijAj

Рассмотрим отдельно случаи симметричного и антисимметричного тензора деформации aij. Для упрощения записи мы далее будем полагать, что aij ~ aijdt.

1. Случай с антисимметричным тензором деформации aij. Если gij = (dija()ij), то квадрат вектора Ai не изменяется. Действительно:

A'i = (δija()ij)Aj = Aia()ij Aj

Ковариантный вектор A'i должен изменяться точно так же, как и контравариантный, потому что численно они должны быть равны:

A'i = (δija()ji)Aj = Aia()jiAj

Возведем A'i в квадрат:

A'2 = A'iA'i = (Aia ()ijAj)(Aia()jiAj) =

= (Ai AiAia()ji Aja()ij Aj Aia ()ijAja()ij Aj)

Последним членом в этом выражении можно пренебречь в силу ее малости – квадрат малой величины:

A'2 =( Ai Aia()ji Ai Aja()ij Aj Ai)

В среднем члене поменяем местами индексы i и j. При этом поменяется знак перед вторым членом правой части уравнения в силу антисимметричности тензора a()ji, и, чтобы скомпенсировать это изменение знака, изменим знак перед вторым членом получившегося уравнения:

A'2 =(AiAia()ij Aj Aia()ij Ai Aj) = AiAi = A2

Следовательно, при тензоре преобразования вектора с антисимметричной частью a()ij квадрат вектора не изменяется. Это говорит о том, что такое преобразование вектора – это преобразование поворота.

2. В случае с симметричной частью aij. Если gij = (dija( – )ij), квадрат вектора Ai изменяется. Действительно:

A'i = (d ija( – )ij)Aj = Aia( – )ij Aj

Ковариантный вектор A'i должен изменяться точно так же:

A'i = (d jia( – )ji)Aj = Aia( – )jiAj

Проведя те же вычисления, получим:

A'2 = A'iA'i = (Aia ( – )ijAj)(Aia( – )jiAj) =

= (Ai AiAia( – )ji Aja( – )ij Aj Aia ( – )ijAja( – )ij Aj)

( Ai Aia( – )ji AiAja( – )ij Aj Ai)

В среднем члене поменяем местами индексы i и j:

A'2 =(AiAia( – )ij Aj Aia( – )ij Ai Aj)

= (AiAi – 2a( – )ij AiAj) ¹ A2

Следовательно, при тензоре преобразования вектора с симметричной частью a( – )ij квадрат вектора изменяется. Это говорит о том, что такое преобразование вектора – это преобразование деформации вектора.

Собственные значения ln и векторы enj определяются из соотношения:

(2.6.1)

 
(g( – )ijln δij)enj = 0

Учтем малые параметры деформации eijdt и коэффициента деформации lndt:

(δijeij dt(1 – l'ndt) δij)enj =

= (δijeij dt δijl'n δij dt)enj =

(2.6.2)

 
= (eij dtl'nδijdt)enj =

= (eijl'nδij)enjdt = 0

где ln – масштабный коэффициент преобразования координат;

n – внешний индекс вектора Î{1,2,3) (не суммировать!).

Сократив в правой части (5) dt, получим уравнение:

(eijl'nδij)enj = 0

т.е мы получаем, что собственные значения симметричного тензора малого преобразования находятся через собственные значения l'n и векторы enj тензора деформации eij:

ln = 1 – l'ndt

g( – )ij = δijeijdt

Выводы. В общем случае тензор gij малого однородного преобразования координат состоит из произведения тензора вращения g(в)ij (dij – антисимметричная часть тензора aij, 3 параметра – определяется вектором, вокруг которого происходит вращение) и тензора деформации g(д)ij (масштабного преобразования координат) по взаимно ортогональным осям (симметричная часть тензора aij, 6 параметров), или суммы тензора вращения g(в)ij и тензора деформации a( – )ij.

1) любой тензор вращения ранга 3 g(в)ij можно определить через вращение вокруг некоторого вектора wi (направления). Направление вектора определяется из соотношения:

a()ijwj = 0

2) любой тензор деформации ранга 3 g( – )ij можно разложить по главным осям, составляющим некоторое поле направлений (3, 2 или 1 взаимно ортогональных вектора eni по индексу n).

Векторы wi и eni полностью и однозначно определяют малое однородное преобразование координат.

Ссылка на этот материал: tenzornoye_prostranstvo.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 16 ^ 1 =

---Load files---
Сегодня - 20_08_2019
Время переоткрытия сайта 14 ч 00 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:5 V:6
Уникальных посетителей: 5 Просмотров: 6