Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: teoriya_gruppoidov.htm)
Группоид

1      Группоиды, полугруппы

  • Группоид — множество с одной бинарной операцией · или × : G × G G, обычно называемой умножением.
  • Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение x · a = b имеет единственное решение для любых a и b.
  • Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.
  • Лупа — квазигруппа с единичным элементом e Î G, таким, что a · e = e · a = a.
  • Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: a · (b · c) = (a · b) · c.
  • Моноид –  — полугруппа, в котором умножение ассоциативно и имеется нейтральный элемент eM: eM · a = a = a · eM.

Непустое множество M с бинарной операцией \omega :M\times M\to Mназывается группоидом. Иногда нам удобнее использовать обозначение

m_1\mathbin{\omega} m_2=\omega((m_1,m_2)),\quad
m_1,m_2\in M.

Бинарная операция \omega : M\times M\to Mназывается ассоциативной, если (m_1\mathbin{\omega} m_2)\mathbin{\omega} m_3=
m_1\mathbin{\omega} (m_2 \mathbin{\omega} m_3)
\ \ \text{для всех}\ \ m_1,m_2,m_3\in M,
и коммутативной, если m_1\mathbin{\omega} m_2=
m_2\mathbin{\omega} m_1
\ \ \text{для всех}\ \
m_1,m_2\in M.

Если (M,\omega)- группоид с бинарной операцией \omega: M\times M\to M, то подмножество L\subseteq M, для которого l_1\mathbin{\omega}l_2\in L \ \ \text{для всех}\ \ l_1,l_2\in L(замкнутое относительно операции \omega), является группоидом, \omega|_{L\times L}: L\times L\to L,\quad (l_1,l_2)\mapsto l_1\mathbin{\omega}l_2,называемым подгруппоидом.

Например, (N,+) - подгруппоид в группоиде (Z,+) (здесь Z - целые числа); подмножество Z\{0} не является замкнутым в группоиде (Z,+) относительно операции сложения.

Определение. Группоид (M,\omega)с бинарной операцией \omega: M\times M\to Mназывается полугруппой, если операция \omegaассоциативна; моноидом, если операция ассоциативна (т. е. это полугруппа) и в (M,\omega)существует нейтральный элемент e.

Подгруппоид (L,\omega)полугруппы (M,\omega)является полугруппой и называется подполугруппой.

2      Гомоморфизм группоидов

Гомоморфизм (изоморфизм) группоидов, являющихся полугруппами, называется гомоморфизмом (изоморфизмом).

Пусть (M_1,\omega_1)и (M_2,\omega_2)- группоиды. Отображение

называется гомоморфизмом группоидов, если

f(x\mathbin{\omega_1}y)=f(x)\mathbin{\omega_2}f(y)\ \ \text{для всех}\ \ x,y\in M_1.

Биективный гомоморфизм группоидов называется изоморфизмом группоидов (в случае его наличия группоиды (M_1,\omega_1)и (M_2,\omega_2)называются изоморфными; обозначение M_1\cong M_2).

Пусть f1 и f2, где (M_1,\omega_1) \stackrel{f_1}{\longrightarrow}
(M_2,\omega_2) \stackrel{f_2}{\longrightarrow}
(M_3,\omega_3),
являются гомоморфизмами группоидов. Тогда их произведение f2f1, f_2f_1: (M_1,\omega_1)\to (M_3,\omega_3),\quad
(f_2f_1)(m_1)=f_2(f_1(m_1)),
также является гомоморфизмом группоидов.

Пусть - изоморфизм группоидов, тогда обратное отображение f^{-1}: (M_2,\omega_2)\to (M_1,\omega_1)
также является изоморфизмом группоидов.

Доказательство.

Для любых x,y\in M_1имеем (f_2f_1)(x\mathbin{\omega_1}y)=
f_2(f_1(x\mathbin{\omega_1}y))=
f_2(f_1(x)\mathbin{\omega_2}f_1(y))={}
\\
{}=
f_2(f_1(x))\mathbin{\omega_3}f_2(f_1(y))=
(f_2f_1)(x)\mathbin{\omega_3}(f_2f_1)(y).

Пусть z,w\in M_2, z=f(x), w=f(y), где x=f^{-1}(z),\allowbreak y=f^{-1}(w)\in  M_1. Тогда f^{-1}(z\mathbin{\omega_2}w)=
f^{-1}(f(x)\mathbin{\omega_2}f(y))=
f^{-1}(f(x\mathbin{\omega_1}y))={}
\\
{}=x\mathbin{\omega_1}y=f^{-1}(z)\mathbin{\omega_1}f^{-1}(w).

Следствие. Отношение "быть изоморфными" является отношением эквивалентности на классе группоидов: (M,\omega)\pcong (M,\omega); если (M_1,\omega_1)\pcong (M_2,\omega_2), то (M_2,\omega_2)\pcong (M_1,\omega_1); если (M_1,\omega_1)\pcong (M_2,\omega_2)и (M_2,\omega_2)\pcong (M_3,\omega_3), то (M_1,\omega_1)\pcong (M_3,\omega_3).

Тождественное отображение 1_M: M\to M,\quad 1_M(m)=m, является изоморфизмом 1_M: (M,\omega)\to (M,\omega)группоидов.

Отображения \begin{alignat*}{2} & f: (N,+)\to (N,\cdot), &\quad &
f(n)=2^n,
\\ & f_k: (N,+)\to (N,+), && f_k(n)=kn,\ \ k\in N ,
\end{alignat*}являются гомоморфизмами группоидов (но отображение f_k\: (N,\cdot)\to (N,\cdot),\quad f_k(n)=kn,\ \ k\ne 1,не является гомоморфизмом группоидов).

3      Нейтральный элемент

Пусть (M,\omega)- группоид, элемент e\in Mназывается (двусторонним) нейтральным элементом , если e\mathbin{\omega}m=m=m\mathbin{\omega}e \ \ \text{для всех}\ \ m\in M.

Следующие элементы являются нейтральными:

0 в (N\cup\{0\},+), (Z,+), (Q,+), (R,+);

1 в (N,\cdot), (Z,\cdot), (Q,\cdot), (R,\cdot);

1M в (M^M,\circ);

M в (\mathcal P(M),\cap);

\emptysetв (\mathcal P(M),\cup)и в (\mathcal P(M),*);

в (N,+) нет нейтральных элементов (в России N=\{1,2,...\}).

Лемма. Пусть (M,\omega)- группоид, e и e' - нейтральные элементы. Тогда e=e' (другими словами, если в группоиде существует нейтральный элемент, то он единственный).

Доказательство. e=e\mathbin{\omega}e'=e'.

В мультипликативных обозначениях операции \omegaв моноиде, m_1\mathbin{\omega}m_2=m_1m_2, нейтральный элемент часто называют единицей и используют для него обозначение 1 = eM; в аддитивных обозначениях, m_1\mathbin{\omega}m_2=m_1+m_2, нейтральный элемент обычно называют нулем и используют для него обозначение 0 = 0M.

4      Примеры.

1. Бинарная операция разность целых чисел {-}: Z \times Z \to Z,\quad
(m_1,m_2)\mapsto m_1-m_2
, не является ассоциативной и не является коммутативной.

Следующие бинарные операции ассоциативны и коммутативны:

2.1) {+}: N \times N \to N, \quad (m_1,m_2)\mapsto m_1+m_2(сложение натуральных чисел); {\cdot}: N \times N \to N,\quad (m_1,m_2)\mapsto m_1m_2(умножение натуральных чисел);

2.2) пусть P(M) - множество всех подмножеств (включая пустое) множества M, {\cap}: \mathcal P(M)\times\mathcal P(M)\to \mathcal P(M),\quad (A,B)\mapsto A\cap B(пересечение подмножеств); {\cup}: \mathcal P(M)\times\mathcal P(M)\to \mathcal P(M),\quad (A,B)\mapsto A\cup B(объединение подмножеств); {*}: \mathcal P(M)\times\mathcal P(M)\to \mathcal P(M),\\
(A,B)\mapsto A*B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)
(симметрическая разность подмножеств).

3. Пусть T(M)=M^M=\{f: M\to M\}- совокупность всех отображений из множества M в множество M,

{\circ}: M^M\times M^M\to M^M,\quad (f,g)\mapsto f\circ g,

где (f\circ g)(m)=f(g(m))для m\in M(композиция отображений). Тогда \circ- ассоциативная операция (она является коммутативной тогда и только тогда, когда |M|=1, т. е. M - одноэлементное множество).

4. Бинарная операция N \times N \to N,\quad (m,n)\mapsto m^n(возведение в степень) неассоциативна и некоммутативна; бинарная операция \omega: N \times N \to N,\quad (m,n)\mapsto m^n+n^mкоммутативна, но не является ассоциативной ((1\mathbin{\omega}2)\mathbin{\omega} 3\ne 1\mathbin{\omega} (2\mathbin{\omega}3)).

 

Ссылка на этот материал: teoriya_gruppoidov.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 90 - 64 =

---Load files---
Сегодня - 20_08_2019
Время переоткрытия сайта 14 ч 03 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:5 V:6
Уникальных посетителей: 5 Просмотров: 6