Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: teoriya_monoidov.htm)
Моноид

1      Моноид

2      Литература

Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.

 

Моноидом называется множество T с ассоциативным законом композиции, обладающий единичным элементом: "a, b Î Ta × b = c Î T:

1) ассоциативность:

(a × b) × c = a × (b × c)

2) существует единичный элемент (в аддитивном моноиде – нулевой элемент 0):

1 × a = a = a × 1

Если заданная в моноиде операция коммутативна, то ее часто называется сложением, а единицу — нулем моноида и обозначают math:

0 + a = a = a + 0

Для моноида мы также будем рассматривать произведения вида a × M = M и M × M. Смысл их ясен интуитивно: первый из них объединяет результаты умножения определенного элемента ее на каждый элемент этого множества, второй объединяет результаты умножения каждого элемента ее на каждый элемент этого же множества.

Подмоноидом называется подмножество моноида, в котором выполняются все свойства моноида относительно той же операции. Для любого элемента a из M можно определить подмоноид как множество различных элементов всех натуральных степеней этого элемента.

Моноиды могут также различно относиться к свойству биективности. Возьмем произведения вида a × M = M и M × M, где M Ì T. В результате возможны следующие случаи:

$a: a × M = M

"a: a × M = M

$a: a × M Ì M

"a: a × M Ì M

$M: M × M = M

"M: M × M = M

$M: M × M Ì M

"M: M × M Ì M

$M' Ì M: M' × M' = M'

"a,b$!c: a × b = c

Определение моноида не ограничивает эти отношения чем-либо, кроме удовлетворения своим аксиомам. Наиболее интересны инъективные моноиды: "a,b$!c: a × b = c.

Моноиды определены на множествах, следовательно, моноид может быть  конечным и бесконечным произвольной мощности.

Конечные моноиды могут быть описаны с помощью таблицы умножения. Каждая строка ее представляет собой некоторую подстановку в соединении с первой строкой:

1

a

b

c

a

aa

ab=c

ac

b

ba

bb

bc

c

ca

cb

cc

Для примера стрелками обозначен результат операции ab = c: b – начало операции, c – конец (результат) операции. Единственное требование к этой таблице – полнота и упорядоченность верхней строки и левого столбца (операнды операции моноида) и ее ассоциативность. Но какой-либо простой схемы определения ассоциативности по таблице умножения не имеется.

Бесконечные моноиды не все могут быть описаны таблицей умножения, хотя и существуют некоторые индуктивные методы определения этой таблицы. Но индуктивные методы могут существовать только для счетных множеств.

Имеется предположение, что большинство определений моноида не может иметь какого-либо интереса в связи с произвольностью ее таблицы умножения. Интересны именно некоторые реализации ее, полученные некоторым однородным конструктивным способом на фоне каких-либо еще дополнительных свойств базового множества, являющегося представителем класса моноидов этого типа.

 

3      Свойства.

·         Единица моноида единственна, ибо если e' – другой единичный элемент, то e = ee' = e'.

·         Моноид не пуст, т.к. имеется единичный элемент.

·         Произведение конечного числа элементов моноида не зависит от расстановки скобок, а для коммутативного моноида – и от порядка расположения этих элементов в произведении.

·         Всякую полугруппу P без единицы можно вложить в моноид.

·         Всякий моноид можно представить как моноид всех эндоморфизмов некоторой универсальной алгебры.

·         Произвольный моноид можно рассматривать также как категорию с одним объектом.

·         Для любого элемента моноида можно определить нулевую степень как "a:a0 = e.

·         Так как моноид является частным случаем полугруппы, то для его элементов определена натуральная степень. Свойства степени am + n = aman, (am)n = amn остаются справедливыми для N È {0}.

·         Если в моноиде (M, · , eM) элемент m Î M имеет правый обратный m' и левый обратный m'', то m'=m'' и m является обратимым элементом.

Доказательство: m' = eMm' = (m''m)m' = m''(mm') = m''e = m''.

Такой обратный элемент обозначается либо как m-1 (мультпликативный моноид) либо как –m (аддитивный моноид).

Если для элемента m моноида (M, · , eM) существует обратный элемент m-1, то (m-1)-1 = m.

Если элементы x, y моноида (M, · , eM) обратимы с обратными x-1 и y-1, то (xy)-1 = y-1x-1.

Действительно, (y-1x-1)(xy) = y-1x-1xy = y-1eMy = y-1y = eM = yy-1 = yeMy-1=xyy-1x-1 = (xy)(y-1x-1).

 

4      Примеры.

·         Множество из одного элемента с тривиальным отображением на себя составляет тривиальный моноид.

·         Множество всех отображений произвольного множества S в себя является моноидом относительно операции последовательного выполнения (композиции) отображений. Единицей служит тождественное отображение.

·         Множество эндоморфизмов любой универсальной алгебры A является моноидом относительно операции суперпозиции, единица — тождественный эндоморфизм.

·         Всякая группа является моноидом.

·          В топологии. Пусть M – множество классов гомеоморфных друг другу компактных (связных) поверхностей. Определим сложение в M. Пусть S и S' – компактные поверхности, D – маленький диск в S и D' -  маленький диск в S'. Пусть далее C, C' – образующие границы D и D', а D0 и D0' – внутренности дисков D и D' соответственно. Приклеим SD0 к S' – D0', отождествив C и C'. Можно показать, что получившаяся поверхность не зависит с точностью до гомеоморфизма от произвола в выборе, имеющегося в предыдущем построении. Если σ и σ' обозначают классы поверхностей, гомеоморфных поверхностям S и S' соответственно, то мы берем в качестве σ и σ' класс поверхности, полученной указанным процессом склеивания. Можно показать, что так определенное сложение определяет на M структуру моноида, нулевым элементом которого будет класс обычной двумерной сферы. Кроме того, если τ обозначает класс тора, а π – класс проективной плоскости, то всякий элемент σ из M имеет единственное представление в виде

σ = n · τ + m · π,

где n – целое число ≥ 0, а m = 0, 1 или 2. Справедливо равенство 3π = τ + π.

·         Обратный пример: множество целых чисел является моноидом по сложению (с нулем), но не является моноидом по вычитанию.

 

Ссылка на этот материал: teoriya_monoidov.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 5 вычесть "ноль" равно:

---Load files---
Сегодня - 20_08_2019
Время переоткрытия сайта 15 ч 01 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:6 V:7
Уникальных посетителей: 6 Просмотров: 7