Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: topologiya.htm)
Топология

Топология

В середине XIX столетия возникло совершенно новое течение в гео­метрии, которому было суждено вслед за тем стать одной из глав­ных движущих сил современной математики. Предметом новой отрас­ли, называемой топологией (analysis situs), является изучение свойств геометрических фигур, сохраняющихся даже тогда, когда эти фигуры подвергаются самым резким, самым решительным преобразованиям, уничтожающим все их и метрические, и проективные свойства. Первым систематическим трудом по топологии были Предварительные исследования по топологии Листинга (1874). Основателями современной топологии считаются Г. Кантор (1845-1918), А. Пуанкаре (1854-1912) и Л. Брауэр (1881-1966).

Понятие "топологическое пространство" (в дальнейшем – ТП) можно рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей, рассматриваемые с точки зрения свойства непрерывности. ТП возникают естественно почти во всех разделах математики. В частности, любые метрические пространства можно определить как ТП.

Одним из великих геометров этой эпохи был А.Ф.Мебиус (1790-1868). В возрасте шестидесяти восьми лет он представил Парижской Академии мемуары об «односторонних» поверхностях, содер­жащий кое-какие из наиболее изумительных фактов в новой отрасли геометрии. Подобно многим другим важным научным работам, его ру­копись ряд лет залежалась на полках Академии, пока обстоятельства не сложились так, что ее опубликовал сам автор. Независимо от Мебиуса геттингенский астроном И. Листинг (1808-1882) сделал подобные же от­крытия и, будучи побуждаем Гауссом, в 1847 г. издал небольшую книгу «Vorstudien zur Topologie». Бернгард Риман (1826-1866), будучи студентом, этого университетского города, осознал, что именно в них нужно искать разгадку самых глубоких свойств аналитических функций комплексного переменного. Поздней­шее развитие топологии, вероятно, едва ли обязано чему-либо в такой степени, как великолепному зданию римановой теории функций, в ко­торой топологические концепции имеют самое фундаментальное значе­ние. Ему же принадлежит формулировка проблемы четырех красок, которую затем исследовали О. де Морган (1806-1871) и А. Кэли (1821-1895).

Хотя топологию можно с полной определенностью назвать про­дуктом последнего столетия, необходимо все же отметить, что еще и раньше было сделано несколько открытий, которые, как вытекает из современной систематики математических знаний, имеют ближайшее отношение к топологии. Из них самым крупным, несомненно, являет­ся установление формулы, связывающей числа вершин, ребер и граней простого многогранника: она была подмечена уже Декартом в 1640 г., позднее переоткрыта доказана и использована Эйлером в 1752 г. Характерные черты топологического утверждения в этой формуле стали очевидны­ми гораздо позднее — после того как Пуанкаре в «формуле Эйлера» и ее обобщениях усмотрел одну из центральных теорем топологии.

С точки зрения математики наша Вселенная обладает определенной топологией. Эта топология определяется на 4–мерном пространстве R4, полученном как прямое произведение 3–мерного и 1–мерного пространств R4 = RR3 и является квадратично метризуемой. В пространстве R3 и R1 по отдельности определены сильные метрики, где из r(a, b) = 0 следует a = b, а в общем пространстве R4 определена только слабая метрика. Насчет его конечности или бесконечности идут споры, но для простого обывателя она бесконечна и евклидова, однородна и изотропна. Из однородности и изотропности следует, что наша Вселенная не должна иметь собственных особых точек. Но у него, возможно, все же есть свои (топологические или скорее метрические) особенности – существование внешней границы в виде предельных бесконечно удаленных точек. Особыми точками можно считать также идеальную м.т. и элементарные частицы, потому что области, где они находятся, отличаются от остального пространства, в которой их нет. Эта область обладает предельным свойством, сходящимся к этой точке или области: можно построить фундаментальную последовательность убывающих не пустых областей, пределом которой является м.т. или элементарная частица.

1         Определения

(Глоссарий общей топологии)

Топология (от греч. tоpos — место) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности. Этот феномен проявляется в непрерывных множествах и непрерывных отображениях, а также в понятии предела.

Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Топологии на ряд отделов, отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных. Наряду с алгеброй общая топология составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.

Топологию можно подразделить на следующие области:

1) общую топологию, или теоретико-множественную топологию, в которой изучается понятие непрерывности в чистом виде. Традиционный подход к общей топологии — теоретико-множественный. Базовые понятия теории множеств (множество, функция, ординальные и кардинальные числа, аксима выбора, лемма Цорна и т.д.) не являются предметом общей топологии, но активно ею используются.

Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии. В ней изучаются множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость окрестности точки, замыкания множеств (а также внутренности), связность, компактность множеств, сходимость последовательностей и фильтров, отделимость и т.д., без обращения к другим инструментам. Общая топология включает в себя теорию размерности.

Общая топология включает в себя следующие разделы: свойства топологических пространств и их отображений, операции над топологическими пространствами и их отображениями, классификация топологических пространств.

В отличие от дифференциальной и алгебраической топологии, общая топология сосредоточена на изучении наиболее общего вида непрерывных отображений (топологических пространств друг в друга, а не в пространства, наделённые более сложными структурами: алгебраическими и т.п.).

2) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу;

3) алгебраическую топологию, в котором происходит изучение непрерывности с использованием алгебраических структур, вроде гомотопических групп и гомологий, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп;

4) дифференциальную топологию, в которой главным образом изучаются гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма и их включения (размещения) в другие многообразия. Этот раздел включает в себя маломерную топологию, в том числе теорию узлов.

Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; поэтому многие топологи предпочитают выделять в ней и другие разделы.

Множество, на котором задана топологическая структура (непрерывности), называют топологическим пространством. Аксиоматически в топологии непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества.

Топология изучает не только топологические пространства как единое целое, но и собственные подмножества с точки зрения их топологической эквивалентности, а также способы вложения одних ТП в другие и разнообразия их изотопических типов, в т.ч. собственных подмножеств в себя.

1.1           Топологическое пространство

Топологическое пространство T(X) – математическая структура на множестве X, удовлетворяющее трем аксиомам:

1) все множество X и пустое множество Æ принадлежат T(X);

2) объединение любых подмножеств из T принадлежит T;

3) пересечение конечного числа подмножеств из T принадлежит T.

Любое подмножество из T называется открытым подмножеством, а его дополнение – закрытым.

Замечание. Вместо словосочетания "топологическое пространство" будем пользоваться также сокращением "ТП".

Следующим основным топологическим понятием является понятие "окрестность точки". Понятие окрестности – фундаментальное понятие топологии. Каждая точка ТП обладает окрестностью. Окрестность точки – это любое подмножество пространства, содержащая эту точку в качестве внутренней. Точка считается внутренней по отношению к подмножеству, если она обладает открытой окрестностью, принадлежащей этому подмножеству, или точнее, подмножество A ТП T(X) называется окрестностью точки x0, если оно содержит открытое в T(X) подмножество, содержащее точку x0. Точка считается внешней по отношению к подмножеству, если она обладает открытой окрестностью, не пересекающейся с этим подмножеством. Окрестность точки x0 с вырезанной точкой x0 называется выколотой окрестностью точки.

Открытое множество является окрестностью каждой своей точки.

Если любая окрестность точки содержит хотя бы одну точку, отличную от нее, то такая точка называется предельной точкой. Совокупность всех предельных точек называется производным подмножеством. Если множество совпадает со своим производным подмножеством, то такое пространство называется совершенным.

Граничная точка подмножества – это точка, любая окрестность которой пересекается как с этим подмножеством, так и с его дополнением. Точка прикосновения подмножества обладает более слабым условием - это точка, любая окрестность которой пересекается с этим подмножеством. Операция объединения подмножества M со всеми своими граничными точками (или точками прикосновения) называется операцией замыкания: M . Получившееся подмножество является замкнутым. Через операцию замыкания множества можно определить топологию пространства, применив теорему Куратовского. Пусть на X задана операция, которую назовем операцией замыкания подмножества f(M). Если она удовлетворяет условиям:

1)      f(M1 È M2) = f(M1) È f(M2) (аддитивность),

2)      M Í f(M),

3)      f(f(M)) Í f(M) (идемпотентность),

4)      f(Æ) = Æ,

то эта операция задает на этом множестве определенную топологию. Эти условия называются аксиомами Куратовского.

Для ТП в самом себе операция замыкания есть снова это же самое множество, и невозможно определить граничные точки. Но возможно определить внешнюю границу, если ее можно вложить в некоторое большее ТП или каким либо способом ее расширить. Например, операцией предельного перехода.

Если отдельная точка множества является открытым подмножеством, то такая точка называется изолированной точкой. Она может быть граничной точкой только самого себя. Совокупность всех изолированных точек называется дискретным подмножеством.

Подмножества А и В метрического пространства Х называются близкими (обозначение AεB ), если для любого ε > 0 существуют точки a Î А и b Î В, расстояние между которыми < ε. По определению, понятие "близость" определяется только для метрических пространств.

ТП частично упорядочены между собой. Это проявляется во включении (или возможности вложения) открытых подмножеств одного пространства в открытые же подмножества другого ТП. Для сравнения не пересекающихся ТП применяются понятия изоморфизма, которое включает в себя топологические и гомотопические свойства пространств. 

1.2           Примеры ТП

1. Для любого множества можно определить две тривиальные топологии:

a) T = {Æ, X} – тривиальная топология, или антидискретная топология слипшихся точек;

b) "A Í X A Î TX дискретная топология. Любая точка этого множества является открытым множеством.

2. Связное двоеточие: X = {a, b}; T = {Æ, a, X}.

3. Топология Зариского: Х – любое бесконечное множество, Т – любое подмножество X, из которого исключены конечные подмножества точек исходного множества. Здесь тоже легко проверить, что это пространство обладает свойствами ТП.

4. Отрезок прямой [0, 1]: открытым множеством в ней является пустой отрезок Æ, весь отрезок [0, 1], любой открытый интервал (a, b), а также любые полуоткрытые сегменты  [0, b) и  (a, 1], где a и b принадлежат этому отрезку.

1.3           Непрерывность

Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Непрерывным отображением ТП называется отображение, сохраняющее свойство подмножества быть открытым подмножеством. Таким образом, непрерывность отображения означает отображение, при котором открытое подмножество отображается в открытое же подмножество другого (или этого же) множества.

1.4           База, предбаза

Большое значение в изучении свойств ТП имеют свойства семейств подмножеств и открытых подмножеств. Многие свойства ТП определяются через них. В частности, оказывается, что топологию пространства можно определить не указывая все открытые подмножества, к тому же это и невозможно сделать с нашими ограниченными возможностями записи знаний: достаточно просто указать лишь некоторую совокупность открытых множеств, обладающую определенным свойством и называемую базой этой топологии. Очевидно, одна и та же топология на множестве X может быть задана различными базами. При этом база полностью определяет топологию: открытыми являются в точности те множества, которые представимы в виде объединения подмножеств базы. Особо выделяются пространства, имеющие счетные базы. Конечные базы определяют конечные топологии.

Пусть f: X ® Y — произвольное отображение, множества X в ТП Y. Индуцированная топология даёт естественный способ введения топологии на X: за открытые множества в X берутся всевозможные прообразы открытых множеств в Y; то есть U Î X открыто, если существует открытое V Î Y такое что U = f − 1V.

Совокупность b открытых множеств пространства (X, t) называется базой топологии t или пространства X, если всякое непустое открытое множество является объединением некоторой совокупности множеств, принадлежащих b. Эта совокупность обладает свойствами:

1.   Объединение всех множеств из b дает все множество X;

2.   Для любых двух множеств U, V Î b  и для каждой точки x Î U Ç V существует W из b такое, что x Î W Ì U Ç V

Эти два свойства однозначно определяют некоторую топологию на множестве и могут быть применены в качестве аксиом ТП.

Если пространство содержит изолированные точки, то все эти точки должны входить в базу. Для метризованного ТП такой базой является множество открытых шаров, и даже более того – можно ограничиться шарами с радиусом менее некоторого конечного значения. В зависимости от метрической функции понятие "шар" довольно условно и в качестве "шара" могут выступать эквивалентные ему открытый сегмент в одномерном пространстве, квадрат в двумерном, куб в 3-мерном и т.д.

Кроме определения топологии через базу существует еще более экономное определение через предбазу ТП. Система g = {W} открытых подмножеств пространства (X, t) называется предбазой или системой образующих топологии t или пространства X, если система b, состоящая из всевозможных конечных пересечений множеств из g образует базу топологии. Ясно, что каждая база является предбазой, но не наоборот.

1.5           Фундаментальная последовательность

Бесконечная убывающая последовательность окрестностей – это последовательность окрестностей, где каждая следующая окрестность является подмножеством предыдущей. Свойство фундаментальной последовательности – иметь предельную точку:  С этой точки зрения евклидово пространство обладает и не фундаментальными последовательностями. В римановом пространстве постоянной кривизны любая бесконечно убывающая последовательность окрестностей имеет предельную точку. Так что решение этой топологической характеристики нашей Вселенной зависит от ее геометрии. Но любая точка нашей Вселенной имеет фундаментальную последовательность, хотя некоторые ТП ее не имеют.

1.6           Топологические типы групп.

Обычно встречающиеся на практике группы являются топологическими группами. Это значит, что для элементов группы определено понятие предельного перехода, причём операция умножения и переход к обратному элементу непрерывны (т. е., если gn g и g'n g' при n ¥, то gng'n gg' и g-1n g-1). С точки зрения топологии выделяются следующие типы групп.

1. Дискретные группы. Это группы с тривиальной топологией: последовательность gn сходится только тогда, когда она стабилизируется, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, равны, gN = gN+1 = … Дискретными являются, например, все конечные группы и кристаллографические группы (группы симметрии кристаллических решёток).

2. Компактные группы. Это группы, в которых из каждой последовательности {gi} можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Компактные группы имеют "конечный объём". Более точно, инвариантная мера группы конечна в том и только в том случае, если группа компактна (мера на группе называется инвариантной, если меры подмножеств В и gB равны для любого подмножества B Ì G и элемента g Î G). Среди дискретных групп компактными являются только конечные группы. Примеры компактных групп: группы вращений окружности и сферы (и вообще группы движений компактных многообразий), группы унитарных преобразований в конечномерном гильбертовом пространстве U(n) и группы ортогональных преобразований в конечномерном евклидовом пространстве О(n).

3. Локально компактные группы. Это такие группы, в которых каждый элемент обладает компактной окрестностью. Этот класс групп очень широк: он содержит все дискретные и все компактные группы, а также все конечномерные группы Ли (см. ниже). Характеристическим свойством локально компактной групп является наличие инвариантной меры на ней (т.н. меры Хаара). К классу локально компактных относится большая часть групп, используемых в физике.

4. Группы Ли (ГЛ) отличаются тем, что их элементы можно охарактеризовать конечным набором числовых параметров, т. е. на группе можно ввести систему координат (см. ниже).

5. Бесконечномерные группы Ли являются обобщением ГЛ. Элементы таких групп характеризуются заданием бесконечного набора числовых параметров (или некоторого количества функций). В физике используют в основном группы линейных операторов в бесконечномерных линейных пространствах, группы диффеоморфизмов гладких многообразий и группы калибровочных преобразований. Теория таких групп разработана в гораздо меньшей степени, чем теория обычных (конечномерных) ГЛ. Большинство результатов здесь носит отрицательный характер: эти группы не являются локально компактными, на них не существует инвариантного интеграла, они могут не иметь полной системы унитарных представлений.

1.7           Метрическое пространство

В 1906 году французский математик М.Фреше ввел понятие метрического пространства как множества, между точками которого определена вещественная положительно определенная бинарная функция "расстояние" с определенными свойствами.

Пространство метризовано, если для любых двух ее точек определена функция r(a, b), удовлетворяющая аксиомам метрики (замечание – сильной метрики):

r(a, b) = 0 ↔ a = b (аксиома тождества);

r(a, b) = r(b, a) (аксиома симметрии);

r(a, b) + r(b, c) ³ r(a, c) (аксиома треугольника).

Условие непрерывности отображения определяется условием; близкие точки отображаются в близкие же точки. Из второй аксиомы следует положительная определенность метрики.

Любое метрическое пространство является топологическим пространством с базой открытых шаров. Любое подмножество метрического пространства является метрическим пространством. Причем не всякое, даже конечное, метрическое пространство можно вложить в локально n-мерное метрическое пространство.

Мощность метрического пространства ничем не ограничена.

Метрическое пространство обладает слабой метрикой, если не выполняется аксиома тождества, но:

r(x, x) = 0.

Метрическое пространство обладает псевдометрикой, если не выполняется аксиома тождества и аксиома треугольника, но опять же:

r(x, x) = 0.

Такой метрикой обладает метрика в пространстве Минковского. К тому же это расстояние определено не для всех пар точек.

1.8           Топология пространства Rn

Пространство Rn является топологическим метризованным n-мерным пространством. Топология метризованного пространства может быть определена через ее базу. Наиболее простым и естественным математическим определением базы является определение через центрированные ограниченные окрестности точек пространства qi. Для этого сначала определим  e–окрестности точки qi: точка q'i находится в e–окрестности точки qi, если для любого i Î {0,1,2, … n} выполняется соотношение:

(1)

 
|q'i qi| < e

или

|∆qi| < e

где n – размерность пространства,

i – индекс координаты разметки пространства–времени.

Тогда базой ТП будет совокупность всех e–окрестностей всех точек пространства.

Это определение топологии пространства и e–окрестности точки q, индуцированное определением координат на исходном множестве. Оно означает, что близкие точки обладают близкими координатами. Возможны и другие определения наведенной топологии и e–окрестности точки q, но они не обладают какими–либо преимуществами перед приведенным.

ТП не может иметь собственной границы, но оно может заиметь границу, если ее расширить каким-либо способом, например, вложить в другое пространство или применить какой то другой прием. В частности, в метризованном пространстве могут существовать бесконечно удаленные точки или точки с бесконечными координатами, и их включение во множество точек пространства является одним из этих способов. Но эти бесконечно удаленные точки находятся на границе пространства и не могут быть эквивалентными другим точкам, принадлежащим однородному и изотропному пространству, без придания им этих свойств специальным способом, потому что они находятся на границе и являлись бы предельными точками пространства с особыми свойствами. Наличие бесконечно удаленной границы можно считать топологической особенностью метризованного пространства, но это не имеет типообразующего значения для произвольного ТП, потому что понятие бесконечно удаленной точки не является топологическим: любой открытый сегмент линии топологически эквивалентен бесконечной линии. Бесконечность – понятие метрическое. Но мы можем пользоваться этим понятием для метризованного пространства.

Замечание: Способом создания новых видов ТП размерности N является включение бесконечно удаленных точек базового пространства p = (R1)n: R1={–∞; +∞}. Бесконечно удаленную точку (или точки) можно ввести во множество точек пространства, но для этого надо определить для них окрестности таким образом, что эти точки не будут находиться на границе собственной окрестности.

Кроме включения бесконечно удаленных точек имеются еще три способа получения отличного ТП путем создания новых особенностей:

1)     удалением закрытой окрестности точки;

2)     удалением точки или области пространства размерности меньше чем само пространство;

3)     сшивкой границ двух окрестностей. При сшивке почти всегда имеется возможность прямой и зеркальной сшивки границ. Нельзя сшивать по любым границам с разницей в размерности пространства и границы более одного – 1) на точках границы будет нарушаться однородность пространства; 2) граница, возможно, будет связующей перемычкой меньшей размерности между двумя несвязными областями пространства.

Для одномерного пространства R1 имеется три способа включения бесконечно удаленной точки:

 1) P = S1 = O – получается объединением обеих бесконечно удаленных точек, в результате получим эквивалент окружности;

2) включением одной бесконечно удаленной точки, соответствующей предельной точке одного из направлений движения по лучу, в результате получим эквивалент луча L;

3) включением обеих бесконечно удаленных точек, соответствующих предельным точкам обеих направлений, в результате получим эквивалент отрезка F.

4) *Есть еще одно простое одномерное пространство – проективная окружность P1, который получается отождествлением противоположных точек окружности O. Проективная окружность также эквивалентен классу параллельных прямых евклидовой плоскости. Но на этом заканчиваются его интересные особенности – в конце концов он гомоморфен окружности.

На этом не заканчиваются 1–мерные не эквивалентные между собой ТП. Их очень большое количество. Например, любой граф является одномерным ТП. Но самых простых среди них всего четыре – бесконечная (или открытая) линия R1, окружность S1, луч и отрезок. При этом первые два пространства будут однородными и изотропными. Остальные две – не однородные и не изотропные с особыми граничными точками.

Для двухмерного пространства R2 = RR1 имеется три стандартных способа включения бесконечно удаленной однородной изотропной точки. Всего с учетом ориентации имеется шесть видов простых 2–мерных ТП:

1. P = S2 = S - получается объединением всех бесконечно удаленных точек в одну точку, в результате получим эквивалент сферы.          

2). P = RS1 - это цилиндр C – имеются две границы;

3). P = RS1 - это лист Мебиуса M – имеется одна граница;

4). P = SS1 = T – это тор – не имеет границ;

5). P = SS1 = G – это бутылка Гордона – не имеет границ;

6). P = P2 – проективная сфера, получается отождествлением противоположных точек сферы. Проективная сфера эквивалентна классу параллельных прямых евклидового пространства.

На этом не заканчиваются 2–мерные не гомеоморфные между собой ТП. Есть интересные способы получения новых топологических клонов 2–мерных ТП.

а)  Возьмем две сферы. Вырежем в них круги и сошьем их по этим кругам вместе. В результате мы получим опять же сферу.

б)  Возьмем сферу и плоскость. Вырежем в них круги и сошьем вместе. Мы снова получим плоскость.

в)  Возьмем две плоскости. Вырежем в них круги и сошьем их по этим кругам вместе. В результате мы получим цилиндр. Вторую плоскость даже не обязательно пришивать, потому что вырезка дыры уже эквивалентна сшивке с плоскостью.

В смысле сшивки границ сфера (или круг после вырезки дырки) по отношению к сшиванию с другой поверхностью или границей обладает свойствами "нуля" – тип пространства при этом не меняется. Ниже таблица сшивки простых поверхностей.

S

Rn

Tn

Mn

G

Rm

Cn+m

TnRm

RmMn

RmG

Tm

TmRn

Bn+m

TmMn

TmG

Mm

MmRn

MmTn

Mn+m

MmG

G

Rng

TnG

MnG

TG

Из этих операций можно сделать вывод, что сфера в этих операциях выступает как нулевой элемент. Это действительно так, так как сфера с вырезанным кругом эквивалентен кругу, и замена круга на круг на любом 2–мерном ТП ничего не меняет. А пришивка плоскости (с вырезанной дырой) в этих операциях выступает как единичный элемент, и в результате сшивания L плоскостей со сферой по вырезанным в них кругам (или вырезания L дырок) получим "еж" с N цилиндрическими лучами. При сшивании двух таких пространств с L1 и L2 лучами мы получим новое ТП с L1 + L2 лучами. Сама плоскость без дырок эквивалентна ежу с L=1.

Есть еще один способ получения новых 2–мерных пространств. Возьмем любое 2–мерное ТП, вырежем в ней две дырки и сошьем их вместе. Мы получим новый вид топологической особенности пространства – ручку. Причем эта ручка будет ориентированной двумя способами – в соответствии с количеством направлений сшивки. При прямой сшивке получим ручку типа "простой тороид", и это эквивалентно пришиванию тороида. При обратной сшивке мы будем пришивать "тороид Клейна". Количество ручек разной ориентации – это еще два параметра – Т и G – для 2–мерного ТП. При этом необходимо иметь в виду, что из n "тороидов Клейна" n-1 из них можно преобразовать в простой тороид, и параметр G может принимать только 2 значения – 0 и 1, а параметр T соответственно увеличится на n-1. Таким образом, 2–мерное ТП можно описать с помощью четырех целочисленных параметров – (L, M, T, G).         

В качестве плоскости для сшивки можно взять лист Мебиуса, ибо он имеет одну круговую границу. Один лист Мебиуса можно принять за единицу односторонней плоскости. Такое пришивание эквивалентно пришиванию бутылки Клейна. Подобное пришивание плоскости эквивалентно пришиванию сферы.

Есть еще много способов получения 2–мерного ТП методом удаления областей меньшей размерности с произвольной, не обязательно однородной и изотропной, структурой. При этом пространство остается топологически однородным и изотропным, но по этим областям нельзя производить сшивку – на этих объектах будет нарушаться однородность структуры пространства.

Для трехмерного пространства R3 = RRR1 имеется семь стандартных способов включения бесконечно удаленной точки, умноженное на количество способов склейки бесконечно удаленных границ:

1. P = CЗ – получается объединением всех бесконечно удаленных точек – это 3–сфера.

2. P = SЗ – проективная 3–сфера.

3. P = RRO1; $ два способа склейки границ.

4. P = ROO1 = T2; $ четыре способа склейки границ.

5. P = OOO1 = T2; $ восемь способов склейки границ O1.

6. P = RC2;

7. P = OC2; $ два способа склейки границ .

Пространство не может иметь особых точек, все точки равноправны. С точки зрения топологии и непрерывности, если какая–то точка выделенного подпространства имеет определенную топологию дополнительного подпространства, то все другие точки тоже имеют эту же топологию, и любые две точки пространства могут отличаться только конкретными числовыми параметрами, характеризующими топологические и геометрические свойства дополнительного подпространства.

Но в пространстве могут существовать особые граничные области 0. Граничные области (точки, линий, ...) могут появиться как предел бесконечной последовательности убывающих окрестностей, стягивающихся в область (точку, линию, ...) некоторой топологической особенности. Назовем ее границей особенности. Топология этой границы может быть любой, самой причудливой, соответствующей ее размерности. Определение бесконечной последовательности окрестностей следующее:

limn→∞ e(n) = O

"q $n: q Ï e(n)

Для однозначного определения особенности и его топологии необходимо определить пределы бесконечной последовательности точек, имеющих своими пределами точки на особенности O. Определение этой последовательности точек:

limn→∞ q(n) = O

q(n) Î e(n)

Сама топологическая граница не принадлежит пространству. Топологические особенности локализованы в пространстве и обладают свойством устойчивости. Они не уничтожимы: если он существует в некотором слое пространства (см. далее), то он существует и во всех других слоях пространства. Окрестности таких объектов обладают определенными свойствами абсолютности. Это проявляется в том, что эти окрестности невозможно переместить в любую другую область пространства: здесь возможно только дискретное преобразование координат с совмещением координат окрестностей одинаковых особенностей. Для любой другой точки и ее окрестности это не так. Интегралы по полевым параметрам этих объектов по границе окрестности могут иметь конечные значения, которые можно принимать за массу или заряды м.о. Они могут обладать и квантовыми свойствами в силу своей особенности.

1.9           Линия

Что такое линия? Вроде с ответом здесь все ясно. Еще Евклид (III в.д.н.э.) определил линию следующим образом: "линия – этот длина без ширины". И до сих пор мы, определяя линию, представляем ее себе как нечто, похожее на тонкий штрих, нарисованный на бумаге остро отточенным карандашом.  Но это не точное определение. Это указание на то, что считать линией. Точное математическое определение линии не столь просто. Математикам понадобилось 2200 лет, чтобы определиться с этим понятием.

Спустя много лет после Евклида Рене Декарт (1596-1650) сделал попытку уточнения понятия линии. Согласно ему, линия есть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению вида F(x, y) = 0.  Это, конечно, хорошее определение. Но позже выяснилось, что многие функции имеют довольно сложный вид. Например, уравнение окружности x2 + y2 = r2, вполне описывается этим уравнением. Но уравнение спирали Архимеда таким простым уравнением не опишешь.

Определение Декарта имеет еще один недостаток: если не накладывать никаких ограничений, то любое множество на плоскости является линией. Например, единичный квадрат, заданный уравнением (даже непрерывным!)

|x| + |x – 1| +  |y| + |y – 1| - 2 = 0,

по Декарту является линией.

Следующим шагом, сделанным французским математиком Камилл Жорданом (1838-1922), было определение линии параметрическим способом:

x = f1(t),           y = f2(t),

где f1(t) и f2(t) – функции, непрерывные на отрезке [0, 1]. С его помощью уже можно определить и многозначные линии. Спираль Архимеда задается простым уравнением

x = vtcosωt,     y = vtsinωt.

Вроде бы все, линия определена. Но в 1890 году Джузеппе Пеано (1858-1932) построил пример кривой, обегающей все точки квадрата, и притом удовлетворяющий определению линии, данному Жорданом. Трудно считать линией кривую, заполняющей квадрат. В то же время существуют линии, не подходящие под это определение. Итак, что же такое линия?

В случае плоских линий окончательный ответ был дан Георгом Кантором (1845-1918). В 20-х годах XIX в. Советский математик П.С.Урысон обобщил определение Кантора и дал общее понятие линии. В настоящее время линией считается топологическое подпространство размерности 1. Такое подпространство плоскости не может содержать ни одного круга (не окружности!) в воем составе.

По этому определению, линией является, например, ковер Серпиньского на плоскости, кривая Менгера в пространстве. Но канторово множество не является линией! Также, как и кривая Пеано. Канторово множество имеет размерность 0, кривая Пеано - размерность 2. Даже множество рациональных точек на прямой (и даже иррациональных точек, имеющих мощность континуума) не является линией. А как хотелось бы считать их линией.

Замечание 1. Под понятием "линия" понимается подмножество некоторого топологического множества, обычно евклидова пространства, обладающее неким свойством "отсутствия толщины" и "наличия непрерывности". При этом можно добавить прилагательные "прямая" и кривая" или использовать их непосредственно как существительные. Понятия "прямая" и кривая" сильно сужают понятие линии. Хотелось бы под понятиями "прямая" и кривая" оставить интуитивно понятное понятие, на которой можно определить совершенный порядок или хотя бы направление.

Замечание 2. Имеется не одно определение размерности! Но для евклидовых пространств большинство из них совпадают.

Замечание 3. Есть производные от "линии" понятия: интервал, отрезок, луч, а также конус и сегмент. А также "находиться перед кем то","находиться между кем то","находиться за кем то". Исходным для их определения является понятие упорядоченного множества. А линией в этом случае можно считать совершенно упорядоченное его подмножество, или цепь.

1.10        Сетки и многоугольники

Сетки и многоугольники являются очень простыми (на первый взгляд)  объектами. Основными структурными элементами ее являются вершины и ребра, соединяющие вершины между собой. Сетки могут быть линейными, плоскими, и даже объемными и многомерными объектами, во первых, в смысле вложенности в соответствующее пространство, а во вторых, в смысле размерности своих объектов – вершин и ребер.

Многоугольники являются подмножеством класса сеток и их отличие от собственно сеток является наличие в ней еще одного объекта – угла.

Рис. 2. Примеры многоугольников и сетки. a) многоугольник неправильный; b) почти правильный и c) правильный (квадрат) многоугольники; d) сетка общего вида.

1.11        Графы

Графы являются такими же простыми (на первый взгляд) объектами, как сетки. Графы также могут быть линейными, плоскими, и даже объемными и многомерными в смысле вложенности в соответствующее пространство. Но это не является определяющим свойством графа.

Графами можно назвать сетки, в которых выделены только вершины и ребра. Структурные элементы больших размерностей, в т.ч. грани, не рассматриваются. Даже объект графа "ребро" не имеет внутренней структуры – это просто связь двух точек. Но ее можно считать все же ребром как структурным названием. С этой точки зрения граф графы являются линейно-точечными топологическим объектами, очень напоминающими многоугольник или обычную сетку. Единственное, что можно  определить на ребре, в отличие от сетки - указать направление. Вариации: на вершинах и ребрах, кроме направления, можно определить функции общего вида.

Замечание: является ли направление топологическим признаком? С одной стороны, направление не входит в аксиоматическое определение ТП. С другой стороны, да, хотя бы потому, что бутылка Клейна отличается от тора именно направлением сшивки границ ручки и направление является неким топологическим свойством. Все это говорит о том, что граф изначально является топологическим объектом.

Рис. 4. Пример графа с одной направленной стрелкой.

Графы могут нести в себе классифицирующий признак ТП. Топологические инварианты пространств могут однозначно отображаться на класс графов: графы могут быть каркасами для многих других ТП.

1.12        Узлы, косы и другие замкнутые кривые

Труд­ные математические проблемы топологического характера возникают в связи с изучением узлов. Теория узлов изучает вложения одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу S 3. Узел образуется, когда из отрезка веревки делают петли, затем сквозь них пропускают концы веревки и, наконец, два конца соединяют вместе. Полученная, изготовленная из веревки за­мкнутая кривая представляет собой геометрическую фигуру, сущест­венные свойства которой не изменяются, как бы в дальнейшем не пере­тягивать или не перекручивать веревку. В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вообще вложения многообразий.

Но как возможно было бы дать внутреннюю характеристику, которая позволила бы различить тем или иным способом «заузленные» кривые между собой и отличать их от «незаузленных» вроде круга? Ответ далеко не прост и еще менее прост исчерпывающий математический анализ узлов разных типов. Затруд­нения встречаются даже при самых первых шагах в этом направлении. Взгляните на два узла, напоминающие трилистники, изображенные на рис. 5. Они совершенно симметричны друг другу, являются взаим­но «зеркальными отображениями», они топологически эквивалентны и вместе с тем не конгруэнтны друг другу. Возникает проблема: можно ли деформировать непрерывным движением один узел в другой? Ответ отрицателен.

Для классификации узлов составляют таблицы узлов - перечень диаграмм всех простых узлов, допускающих проекции на плоскость.

Файл:Knot table.svg

a)

b)

Рис. 5. a) – часть таблицы узлов. b) - топологически эквивалентные узлы (трилистник), не переводящиеся друг в друга

Для облегчения поиска и унификации узлы имеют стандартное обозначение: первая цифра указывает число двойных точек, а вторая (расположенная в индексе) — порядковый номер узла. Помимо стандартного обозначения несколько простейших узлов имеют специальные названия. Например:

Для многокомпонентных узлов в верхнем индексе указывается количество компонентов: например, зацепление двух колец имеет символическую запись .

Проблема классификации узлов по системе топологических инвариантов полностью пока не решена. Практически единственным способом доказательства неизоморфности узлов является применение инвариантов: сопоставляемых узлу (или зацеплению) чисел или выражений, не изменяющихся при его изотопии. Достаточным для доказательства неизоморфности тогда является нахождение инварианта, значения которого на данных двух узлах или зацеплениях различны. (Стоит отметить, что совпадение одного или нескольких инвариантов на двух узлах их изоморфности ещё не доказывает.)

Чаще всего, инварианты определяют только для ручных узлов (и зацеплений), строя их по диаграмме узла; проверка инвариантности в этом случае сводится к проверке, что построенный объект сохраняется при всех трёх преобразованиях Рейдемейстера. Некоторые инварианты узлов и зацеплений:

1.13        Многогранники

Многогранники и графы являются очень простыми (на первый взгляд)  объектами. Многогранники могут быть линейными, плоскими, и даже объемными и многомерными во первых, в смысле вложенности в соответствующее пространство, а во вторых, в смысле ее собственной размерности.

Под традиционным многогранником подразумевается тело, поверхность кото­рого состоит из конечного числа граней, имеющих форму многоуголь­ников. В этом смысле многогранники являются скорее геометрическими, чем топологическими объектами. Определяющими в них являются "длина" и "угол", т.е. метрические параметры. В случае правильных многогранников все многоугольники кон­груэнтны и все плоские углы при вершинах равны между собой. Много­гранник называется простым, если в нем нет «дыр», так что посредст­вом непрерывной деформации его поверхность может быть переведена в поверхность сферы. Если многогранник имеет "дыры", то он может быть отображен на соответствующую ему поверхность с ручками (например, типа "тор" (гиря с одной ручкой), гиря с двумя (или более) ручками, лист Мебиуса, бутылку Клейна с несколькими ручками и т.д.). Можно определить и неправильные многогранники, которые имеют внешние границы с размерностью меньшей  чем максимальная, определяемая многогранником. На рис. 3 изображен простой многогранник, ко­торый не является правильным; рядом с ним изображен многогранник, который не является простым.

    

Рис. 3. Правильный, простой, непростой и неправильные многогранники. Первый многогранник правильный, потому что все ребра и грани одинаковые. Второй является простым и может быть отображен на сферу. Третий - непростой, может быть отображен на тор. В этом случае многогранник можно назвать простым с дыркой. Четвертый многогранник похож на "ежа". Пятый – на "лепешку", потому что вершина C прикреплена к нижнему основанию многогранника.

Вырезав предварительно одну из граней пустого внутри простого многогранника, можно оставшуюся поверхность деформировать таким образом, что она расстелется по плоскости. Конечно, при этом и гра­ни многогранника и углы между ребрами испытают резкие изменения. Но «сетка», составленная из вершин и ребер на плоскости, будет содер­жать то же число вершин и ребер, что и первоначальный многогранник, тогда как число граней станет на одну меньше, так как одна грань бы­ла вырезана. Кстати, такой многогранник с вырезанной гранью уже является неправильным многогранником, потому что имеет границу.

Являются ли многогранники топологическими объектами? Конечно, являются. Но ее топологическая сложность зависит от ее топологической реализации. Многогранник – это каркас. В частности, многогранники, показанные на рис. 3, являются топологически эквивалентными сфере и тору. Но всю свою топологическую красоту они получают, если в них выделить, вырезать или нарисовать структурные элементы многогранника. При этом они получат дополнительные топологические характеристики, соответствующие многогранникам.

С топологической точки зрения длина, угол и площадь не имеют никакого значения. Эта формула не теряет смысла и значимости также и применитель­но к иным, гораздо более общим случаям. Просто необходимо выделить соответствующие структурные элементы. Со свойствами вершины, ребра и грани. Вместо многогранников эле­ментарной геометрии с плоскими гранями и прямыми ребрами можно взять простые «многогранники», у которых «гранями» будут кривые по­верхности, а «ребрами» — кривые линии, или можно нарисовать «грани» и «ребра» на поверхности, например, шара.

И с этой общей точки зрения, многогранник очень даже "многогранен": в зависимости от точки зрения на нее, в нем в качестве составляющих структурных элементов можно выделить очень много более простых топологических объектов, связанных специальным образом. Например, обычный многогранник с точки зрения графического изображения через свои ребра состоит из объектов трех классов: из точечных объектов – вершин, линейных объектов – ребер и пространственных объектов – граней. Также возможно выделить в ней еще один объект – трехмерную внутренность, граница которой как раз и является многогранником. Но с другой точки зрения простой многогранник есть просто ограниченный границей трехмерный объем, топологически эквивалентный сфере: сама граница может и не входить в ее состав. Но не у всякого многогранника есть внутренность.

Многогранник как топологический объект может быть связным и несвязным (многосвязным).

Многомерные многогранники отличаются от объемных тем, что в качестве образующих ее каркас объектов могут быть не только вершины, ребра и грани, но и поверхности большей размерности. Традиционный многогранник двумерен – по размерности граней.

Многогранники сами по себе могут нести в себе классифицирующий признак ТП. Топологические инварианты пространств могут однозначно отображаться на класс многогранников: многогранники могут быть каркасами для многих других ТП.

1.14        Полиэдр

Подмножество P пространства R3 назовем r-мерным полиэдром, если P есть объединение конечного числа (см. рис. 3): точек – при r = 0, точек и отрезков – при r = 1, точек, отрезков и треугольников – при r = 2, точек, отрезков, треугольников и тетраэдров – при r = 3.

Рис. 5. Примеры полиэдров в R3.

 

1.15        Клеточный комплекс

2         Сравнение ТП

ТП объединяются классом Top. Существует великое множество различных изоморфных и не изоморфных между собой ТП. Среди множества непрерывных отображений ТП особое место занимают топологические гомеоморфные отображения. Гомеоморфизм является основой для сравнения различных ТП. Два ТП различаются между собой через наличие или отсутствие гомеоморфизма. Гомеоморфизм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) в топологии — это взаимно–однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно. Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.

Сравните: Гомоморфизм (от греч. homós — равный, одинаковый и morphe — вид, форма) — морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные соотношения. Изоморфизм  — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм.

Например, окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства.

Для определения класса эквивалентности топологий существуют понятия топологического и гомотопического инварианта.

Топологический инвариант — характеристика пространства, которая сохраняется при гомеоморфизме. То есть если два пространства гомеоморфны, то они имеют одну и ту же характеристику. Примерами ее являются мощность ТП, связность, компактность, размерность, однородность, изотропность.

Среди топологических инвариантов отрезка можно также отметить число ее концов. Топологическим инвариантом является число концевых и предельных граничных точек. Не замкнутый отрезок с граничными точками имеет два конца,  замкнутый в кольцо не имеет концов. 

Среди топологических инвариантов поверхности можно отметить число сторон и число краев. Диск имеет 2 стороны, 1 край и род 0. Тор имеет 2 стороны, не имеет краев, а его род равен 1. Введенные выше понятия позволяют уточнить определение топологии: топологией называется раздел математики, изучающий свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах.

Гомотопический инвариант — это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности ТП. Гомотопия есть непрерывное семейство отображений t, проиндексированное вещественным отрезком |0, 1|.

Два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют ту же характеристику. Любой топологический инвариант сохраняется при гомотопических преобразованиях, и  как следствие, топологический инвариант является еще и гомотопическим.

Например: изотропность, компактность, связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.

Гомологический инвариант -

2.1           По мощности

Может быть конечной, счетной, континуумом и т.д.

2.2           Связность

Связность является одной из топологических свойств ТП. Связность определяет грубо говоря количество не пересекающихся открытых подмножеств ТП.

Связное пространство — ТП, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества. Связность пространства — свойство топологическое, то есть инвариантное относительно гомеоморфизмов.

Пространство X связно тогда и только тогда, когда любую пару его точек можно покрыть связным множеством. Связность непрерывного пространства означает, что любые две ее точки можно соединить непрерывной линией.

В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого подмножества и всего пространства) имеет непустую границу. Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами, и называются открыто-замкнутыми подмножествами. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны - либо пусты, либо совпадают со всем пространством.

Каждое связное подмножество пространства X содержится в некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами связности (связными компонентами, компонентами) пространства X. Каждая компонента пространства X является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства X не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества A пространства X — это максимальные связные подмножества множества A.

Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне не связным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство Q рациональных чисел на числовой прямой. Непрерывное отображение из связного пространства во вполне не связное сводится к отображению в одну точку.

Односвязным пространством называется пространство, в котором любую замкнутую линию непрерывным отображением можно стянуть в точку. Существует гипотеза Пуанкаре. Эта гипотеза в ее нынешней стандартной форме гласит: "Всякое односвязное компактное n-мерное многообразие гомеоморфно n-мерной сфере". Условие "компактности" означает здесь требование, чтобы поверхность была конечной и не имела границ, а условие "односвязности" — что между любыми двумя точками многообразия можно провести непрерывную линию, и все такие линии могут быть преобразованы друг в друга плавным путем. Скажем, в "бублике" это не так. Надо еще иметь в виду, что Пуанкаре сформулировал свои условия (или свою гипотезу) для "сфер" любой размерности. В 2003 г. наш российский математик Григорий Перельман доказал эту гипотезу как для общего случая, так и для размерности 3 и получил всемирное признание.

О связности нашей Вселенной. Мы вполне можем считать, что наше пространство является связным топологическим пространством, хотя бы потому, что любые две ее точки мы можем связать с помощью светового луча. Много говорится о том, что существуют и другие Вселенные, существование которых мы не ощущаем. Существуют ли они? О существовании других Вселенных мы можем узнать, только если они каким–либо образом способны обмениваться информацией с Нашей Вселенной. А это значит, что они будут связны с нашим пространством и, следовательно, являются частью нашей Вселенной.

Наши Вселенные могут быть и не связными, но могут обладать общей границей, состоящей из общих предельных точек, полученных в результате предельного расширения типа "бесконечно удаленной границы". Топология этой границы может быть опять же произвольной. Тогда связь может осуществляться через эту общую внешнюю границу Вселенных. Информация непосредственно через границу не может перемещаться, в силу ее несвязности, но изменения свойств пространства вблизи границы будут индуцировать изменение свойств пространства с другой стороны границы, что можно интерпретировать как обмен информацией (типа туннельного эффекта в квантовой механике). Включив общую границу в объединенную Вселенную, мы снова получим связную Вселенную, но большую.

О несвязных с нами Вселенных мы ничего не можем узнать.

2.3           Однородность и изотропность

В ТП можно ввести понятие однородности и изотропности.

Однородным топологическим пространством называется пространство, в котором непрерывным отображением любую точку можно отобразить на любую другую точку. Две точки ТП называются однородными точками, если они обладают гомеоморфными окрестностями. Дополнительным условием однородности может быть ее локальная однородность, когда любые две точки однородны. Однородное пространство не может иметь особых точек типа граничного или изолированного, кроме случаев, когда все точки особые или изолированные.

Дискретное ТП однородно, потому что все ее точки одинаковы и любое преобразование уже является непрерывным.

Изотропным топологическим пространством называется пространство, в котором любые две точки непрерывным отображением можно отобразить на любые две другие точки.

Как исключение, дискретное ТП однородно и изотропно, потому что все ее точки одинаковы и любое преобразование уже является непрерывным.

2.4           Аксиомы отделимости

Аксиомы отделимости - это дополнительные ограничения, накладываемые на топологическую структуру и приближающие свойства ТП к привычным свойствам пространства Rn. С помощью этих аксиом определяются свойство отделимости двух точек окрестностями друг от друга. Наиболее часто используются следующие аксиомы.

Аксиома T0 (аксиома Колмогорова). Из каждых двух различных точек топологического пространства по крайней мере одна имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Аксиома Т1. Для любых двух различных точек p и q существует окрестность точки p, не содержащая точку q. Это означает, что точка есть замкнутое множество; конечные множества замкнуты. Такие ТП называется Колмогоровскими.

Действительно, если выполнена аксиома Т1, то дополнение к точке p равно объединению всех не содержащих p окрестностей всех отличных от p точек q . Объединение любого набора открытых множеств открыто; дополнение к открытому множеству замкнуто. Обратно, если точка - замкнутое множество, то она совпадает со своим замыканием. Это значит, что точка p обладает хотя бы одной окрестностью, не содержащей точку q (иначе бы точка q ¹ p принадлежала замыканию точки p, что противоречило бы замкнутости точки p).

Аксиома Т2 (аксиома Хаусдорфа). Для любых двух различных точек p и q существуют непересекающиеся окрестности, то есть множества Up Î t и Uq Î t, такие, что Up Ç Uq = Æ. Такие ТП называется хаусдорфовым.

Аксиома Т3. Любая точка и любое не содержащее ее замкнутое множество обладают непересекающимися окрестностями. Равносильная формулировка: любая окрестность любой точки содержит замыкание некоторой окрестности этой точки.

Пространство X называют регулярным пространством, если одновременно выполнены аксиомы T1 и T3 .

Аксиома Т4. Любые два непересекающиеся замкнутые множества обладают непересекающимися окрестностями. Равносильная формулировка: каждая окрестность замкнутого множества содержит замыкание некоторой окрестности этого множества.

Пространство X называют нормальным пространством, если одновременно выполнены аксиомы T1 и T4 .

Заметим, что среди аксиом T0 - T2 каждая следующая является более сильным условием на пространство, чем предыдущая. Если выполнена аксиома T1 , то это же верно для аксиом T2 - T4 .

2.5           Отделимость, определяемая границами

Примеры:

1) На бесконечной прямой любая точка разделяет ТП на две несвязные открытые области.

На плоскости и сфере любая замкнутая кривая, разделяет ее на две несвязные области.

2) На торе, листе Мебиуса, бутылке  Клейна и многих других поверхностях существуют замкнутые кривые, не разделяющие ее на несвязные области.

3) На поверхности с дыркой существуют замкнутые кривые, которые нельзя стянуть в точку.

2.6           Аксиомы покрытия ТП

Аксиомы покрытия - это дополнительные ограничения, накладываемые на топологическую структуру и приближающие свойства ТП к привычным свойствам пространства Rn. С помощью этих аксиом определяются возможность покрытия всего ТП открытыми подмножествами.

Открытым покрытием топологического пространства Х называют семейство его открытых подмножеств, объединением которого является всё X.

Открытое покрытие {Vb} называют вписанным в покрытие {Va}, если для любого b существует a такое, что Vb Î Va.

2.6.1        Плотное подмножество

Плотное подмножество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, A плотно в X, если всякая окрестность любой точки x из X содержит элемент A. Замыкание плотного подмножества есть все множество. Например, множество рациональных чисел плотно во множестве вещественных чисел.

В противоположность плотным множествам имеется и понятие нигде не плотного множества — множество, замыкание которого не содержит открытых множеств (замыкание имеет пустую внутренность).

Сепарабельное пространство — ТП, в котором имеется счётное всюду плотное множество.

2.6.2        Конечные покрытия.

Если покрытие содержит конечное число элементов (открытых подмножеств), то такое покрытие называется конечным покрытием.

Покрытие {Vb} называют локально конечным, если каждая точка х Î Х обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Про такие ТП говорят, что они удовлетворяют условию Бореля-Лебега.

ТП называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие.

Бикомпактным пространством называется пространство, удовлетворяющее условию Бореля-Лебега: всякое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Например, из любого покрытия отрезка прямой можно выбрать конечное подпокрытие. Теория бикомпактных пространств впервые была построена П.С.Александровым и П.С.Урысоном.

Классическая теорема Гейне — Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество Rn компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса бикомпактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей топологии, имеющих общематематическое значение.

Локально бикомпактное ТП.

Бикомпактификация по П.С.Тихонову. Всякое локально бикомпактное (но не бикомпактное) хаусдорфово ТП можно топологически вложить в некоторый бикомпакт, присоединив к исходному всего одну "бесконечно удаленную" точку.

2.6.3        Счетные покрытия

Если покрытие содержит счетное число элементов (открытых подмножеств), то такое покрытие называется счетным покрытием. Говорят, что топологическое пространство (X, t) удовлетворяет второй аксиоме счётности, если его топология t обладает счётной базой.

Семейство B(x) = {V(x)} окрестностей точки x называется базой системы окрестностей точки x, если в каждой окрестности точки x содержится некоторая окрестность из этого семейства. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет первой аксиоме счётности, если система окрестностей всякой его точки обладает счётной базой, т.е. базой, состоящей не более чем из счётного числа окрестностей.

Покрытие {Vb} называют локально счетным, если каждая точка х Î Х обладает окрестностью, пересекающейся только со счетным числом элементов этого покрытия.

ТП называется финально-компактным (линделёфовским) пространством, если всякое его открытое покрытие содержит не более чем счетное подпокрытие. Примерами не бикомпактных, но финально компактных пространств являются евклидовы пространства любой размерности и сепарабельные гильбертовы пространства.

Секвенциальная компактность.

2.7           Ретракция. Существование центральной или неподвижной точки. Существование неподвижного подмножества

2.8           Существование замкнутой кривой. Разделение ТП на две несвязные части некоторой границей

2.9           Количество сторон ТП

3         Размерность и мера

В физике размерность определяется количеством независимых параметров, необходимых для описания состояния объекта в определенный момент времени – например, координата и скорость. Размерность реального физического пространства определяется количеством координат, необходимых для определения положения точечного объекта. Оно не обязательно равно размерности описания состояния объекта. Скорость при этом окажется зависимой от времени и текущей координаты объекта.

Мера — аддитивная (или счётно-аддитивная) функция подмножеств некоторого пространства X (предметной области). Свойство аддитивности (счётной аддитивности): Мера всякого измеримого множества, разбитого на конечное (или счётное) число непересекающихся измеримых частей, есть сумма мер всех этих частей. По области определения аддитивности меры различаются конечно-аддитивные и счетно-аддитивные меры. Понятие меры является обобщением для абстрактных пространств понятий евклидовой длины, площади и n-мерного объёма.

В теории множеств в качестве размерности или меры выступает понятие мощности множества. Понятие мощности связано с существованием изоморфного отображения между множествами и оно является инвариантом.

В математике имеется много других определений размерности. Одно из определений понятия размерности множества может быть связан со способом создания множества. Например, размерность множества X1×X2 равна двум, по количеству участвующих в прямом произведении множеств. Но подобные определения размерности множества предполагают существование какой-то структуры на множестве и возможность ее разделения по составляющим произведение множествам.

Размерность геометрической фигуры в топологии относится к числу ее основных топологических свойств: ни­какие две фигуры различных размерностей не могут быть топологически эквивалентными. В этом заключается замечательная теорема об «инвариант­ности размерности»: чтобы оценить ее должным образом, стоит напомнить другую теорему, согласно которой множество точек квадрата имеет ту же мощность, что и множество точек отрезка. Соответ­ствие между точками, установленное при доказательстве этой теоремы, не топологическое, так как требование непрерывности нарушается.

Понятие о «числе измерений», или о «раз­мерности», не представляет особых затруднений, пока речь идет о прос­тых геометрических образах, каковы точки, линии, треугольники или мно­гогранники. Отдельная точка или любое конечное множество точек имеет размерность нуль, отрезок — размерность 1, поверхность треугольника или сферы — размерность 2. Множество всех точек куба имеет размерность 3. Однако при желании обобщить понятие размерности на точечные множества более общих типов возникает необходимость в точном определении. Какую размерность следует, например, приписать множеству R, состоящему из всех точек оси x, у которых координаты x — рациональные числа? Множество ра­циональных точек на оси x везде плотно и потому, казалось бы, ему, как и самому отрезку прямой, надлежало бы приписать размерность 1. С дру­гой стороны, между всякими двумя рациональными точками существуют иррациональные «дыры», как между всякими двумя точками конечного мно­жества, и это говорит в пользу размерности 0.

Еще один пример. Возьмем десятичное представление числа R числовой прямой и это представление разделим на две части: R1 и R2. В представлениях чисел первой части объединим все четные позиции дробного десятичного представления исходного числа, во вторую – все нечетные. При этом мы получим два множества, полностью идентичных исходному множеству. В результате мы имеем отображение множества всех точек прямой (R) на плоскость (R1, R2): r → (r1, r2). Кстати, на десятичном представлении числа, как и на представлениях с другими основаниями, в т.ч. и с переменным основанием, можно получить много множеств с не тривиальными свойствами.

Еще запутаннее обстоит дело с размерностью любопытного множест­ва, впервые рассмотренного Кантором, построенного следующим образом. Из единичного отрезка 0 ≤ x ≤ 1 удалим среднюю треть (интервал), т.е. все точки x, удовлетворяющие неравенству 1/3 ≤ x ≤ 2/3. Оставшееся точечное множество обозначим через C1. Множество C1 состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и то множество, кото­рое останется, обозначим через C2. Повторим опять эту процедуру, удаляя среднюю треть у всех четырех отрезков; получим C3. Дальше таким же об­разом получим C4, C5, C6, .... Обозначим через C множество точек, которое останется, когда все средние трети будут удалены; т. е. C есть, другими сло­вами, множество точек, принадлежащих одновременно всем множествам C1, C2, C3, .... В первой операции был удален интервал длины 1/3; во второй операции — два интервала,

Рис. 1. Канторово множество

каждый длины 1/9 и т. д.; сумма длин всех удаленных интервалов равна

Бесконечный ряд в больших скобках есть геометрическая прогрессия, сумма которой равна; итак, сумма длин удаленных промежутков составляет 1. И все-таки далеко не все точки отрезка удалены: множество C не пустое. Например, все точки, являющиеся концами удаленных отрезков

ему принадлежат. Можно легко убедиться, что множество С состоит из всех тех чисел х, разложения которых в бесконечную дробь по основанию 3 могут быть написаны в форме

где всякое an есть 0 или 2, тогда как в аналогичном разложении для всякой удаленной точки среди чисел an хоть раз встретится 1.

Какова же размерность множества C? Диагональный процесс, с помо­щью которого была доказана несчетность множества всех действительных чисел, может быть видоизменен таким образом, чтобы тот же результат по­лучился и для множества C. Отсюда было бы естественно заключить, что множеству C надлежит приписать размерность 1. С другой стороны, C не содержит никакого, даже самого малого, промежутка, как и любое конечное множество; это сближает C с множествами размерности 0. Таким же обра­зом, восставив в плоскости x, y из каждой рациональной точки или из каждой точки канторова множества перпендикуляр длины 1 к оси x (направляя его в сторону положительных значений у), мы получим множества, относитель­но которых может возникнуть сомнение — приписать ли ему размерность 2 или 1.

В общей топологии размерность относится к основным и наиболее геометричным топологическим инвариантам, обобщающая элементарно-геометрическое понятие числа измерений ТП. Этот инвариант позволяет топологически охарактеризовать все подмножества всевозможных n-мерных арифметических пространств Rn, n = 1, 2, 3, … Например, прямой и отрезка, плоскости и квадрата, 3-пространства и куба.

3.1.1        Большая индуктивная размерность

Впервые Пуанкаре (в 1912 г.) обратил внимание на необходимость бо­лее глубокого анализа и более точного определения размерности. В то время не было даже ясности, является ли размерность предметом изучения топологии, хотя уже было ясно, что это не является предметом изучения теории множеств. В 1911 г. Л.Брауэр сформулировал и доказал теорему о негомеморфности евклидовых пространств Rn и Rm при n ¹ m.

Пуанкаре заметил, что прямая или кривая имеет размерность 1, так как любые две точки на ней можно разделить, удаляя одну единственную точку (множес­тво размерности 0); плоскость же имеет размерность 2 по той причине, что для разделения двух точек на плоскости нужно удалить целую замкнутую кривую (множество размерности 1). Это приводит к мысли о том, что поня­тие размерности имеет «индуктивную» природу: некоторому «пространству» следует приписать размерность n, если две точки в нем разделяются при удалении подмножества точек размерности n - 1 (но удаления подмножества меньшей размерности уже не было бы достаточно). В сущности такого рода индуктивное определение неявно содержится уже в евклидовых «Началах», где одномерный образ толкуется как нечто, граница чего состоит из точек; двумерный образ — как нечто, граница чего состоит из линий; наконец, трех­мерный образ — как нечто, граница чего состоит из поверхностей. В 1913 году Л.Брауэр, опираясь на этот подход, сформулировал точное определение, которое для достаточно широкого класса ТП дает их так называемую большую индуктивную размерность IndX. Л.Брауэр показал, что для евклидовых пространств IndRn = n.

За последние годы была развита обширная теория — теория размер­ности. Определение размерности начинается с того, что разъясняется смысл термина «точечное множество размерности 0». Любое конечное точечное мно­жество обладает тем свойством, что каждая его точка может быть заключена в сколь угодно малую область пространства, причем на границе области нет точек множества. Это свойство принимается теперь за определение размер­ности 0. Условимся ради удобства говорить, что пустое множество имеет размерность -1. В таком случае множество S имеет размерность 0, если оно не имеет размерности -1 (т. е. если S содержит хотя бы одну точку) и если каж­дая точка S может быть заключена в произвольно малую область, граница которой пересекает S по множеству размерности -1 (т. е. совсем не содержит ни одной точки S). Так, например, множество рациональных точек на прямой имеет размерность 0, так как каждая рациональная точка может быть рас­сматриваема как центр произвольно малого промежутка с иррациональными концами. Канторово множество C — также размерности 0, так как, подобно множеству рациональных точек, оно получается посредством удаления везде плотного множества точек прямой.

Итак, мы уже определили понятия «размерность -1» и «размерность 0». Теперь легко понять, что такое «размерность 1»: говорят, что множество S имеет «размерность 1», если оно не есть ни размерности — 1, ни размернос­ти 0 и если каждая точка S может быть заключена в произвольно малую область, граница которой пересекается с S по множеству размерности 0. От­резок прямой обладает этим свойством, так как границей каждого проме­жутка является пара точек, т. е. множество размерности 0 по предыдущему определению. Дальше, продолжая таким же образом, мы можем последова­тельно определить, что такое размерность 2, размерность 3 и т.д., причем каждое следующее определение основывается на предыдущем.

Таким образом, говорят, что множество S имеет размерность n, если оно не имеет меньшей размерности и если каждая точка S может быть заключена в произвольно малую область, граница которой пересекается с S по множеству размерности n - 1. Например, плоскость имеет размерность 2, так как любая точка плоскости может быть заключена в кружок произволь­но малого радиуса, граница которой имеет размерность 1. В обыкновен­ном пространстве никакое множество точек не может иметь размерность, большую чем 3, так как любая точка пространства есть центр произволь­но малой сферы, граница которой имеет размерность 2. Но в современной математике термин «пространство» употребляется в более общем смысле; он обозначает любую систему объектов, для которой введено понятие «рассто­яния» или «окрестности», и такого рода абстрактные «пространства» могут иметь размерность, большую чем 3. Простым примером является декартово n-пространство, «точки» которого суть системы из n действительных чисел, взятых в определенном порядке:

а «расстояние» между Р и Q определяется по формуле

Можно показать, что это пространство имеет размерность n. Простран­ство, которое не имеет размерности n, как бы велико ни было n, называется пространством бесконечной размерности. Известно много примеров таких пространств.

3.1.2        Теорема о мостовых

В теории размерности устанавливается одно чрезвычайно интересное свойство двумерных, трехмерных и вообще n-мерных фигур. Начнем с дву­мерного случая. Если какая-то простая двумерная фигура подразделена на достаточно маленькие «ячейки» (причем предполагается, что каждая ячей­ка содержит свою границу), то непременно найдутся такие точки, которые принадлежат сразу по меньшей мере трем ячейкам, какова бы ни была фор­ма выбранных ячеек. Вместе с тем существуют такие подразделения фигуры на ячейки, что никакая точка фигуры не принадлежит сразу больше чем трем ячейкам. Так, если рассматриваемая двумерная фигура есть квадрат (рис. 2), то непременно имеются точки вроде той, которая сразу принад­лежит трем ячейкам 1, 2 и 3, но для указанного на рисунке подразделения не существует точки, которая сразу принадлежала бы большему числу яче­ек. Точно так же в трехмерном случае можно доказать, что если некоторая объемная фигура (тело) разбита на достаточно маленькие ячейки, то навер­ное существуют точки, принадлежащие по меньшей мере четырем ячейкам, и вместе с тем можно выбрать такие подразделения, что никакая точка не будет принадлежать сразу больше чем четырем ячейкам.

Рис. 2. Теорема о мостовых, или покрытии пространства.

Это свойство размерности было сформулировано А.Лебегом примерно в 1911 г. и называется "теоремой о мостовых": ес­ли n-мерная фигура подразделена на достаточно ма­ленькие ячейки, то непременно существуют точки этой фигуры, принадлежащие сразу по меньшей ме­ре n + 1 ячейкам; вместе с тем возможно указать и такие подразделения, что ни одна точка фигуры не будет принадлежать сразу более чем n + 1 ячей­кам. Эта теорема характеризует размерность рас­сматриваемой фигуры: все фигуры, для которых те­орема верна, являются n-мерными, все прочие име­ют иную размерность. Теорема была доказана позже Брауэром в 1913 и Лебегом в1921. В дальнейшем "теорема о мостовых" привела к определению основного размерностного инварианта dimX топологического пространства X. Связь этого инварианта с другими следующая. Для любого Rn: Ind Rn = ind Rn = dim Rn = n.  Для метрических пространств есть только равенство Ind X = dim X и может быть  ind X < Ind X. За этими пределами эти размерности не эквивалентны и теория размерности здесь главным образом определяется dim X.

Теория dim-размерности позволила говорить о числе измерений не только геометрических фигур, но и совершенно произвольных подмножеств евклидовых пространств Rn. Эти подмножества могут быть очень сложно устроены. Оказалось, что размерность совершенно произвольных топологических пространств можно охарактеризовать при помощи понятия числа измерений полиэдра и даже n-мерного куба. Впервые это было сделано в 20-х годах советским математиком П.С.Александровым в его теоремах об ε-сдвигах и ε-отображениях и в теореме о существенных отображениях.

Рассмотрим  теорему об ε-сдвигах в случае R3. Подмножество P пространства R3 назовем r-мерным полиэдром, если P есть объединение конечного числа (см. рис. 3): точек – при r = 0, точек и отрезков – при r = 1, точек, отрезков и треугольников – при r = 2, точек, отрезков, треугольников и тетраэдров – при r = 3.

Рис. 3. Примеры полиэдров в R3.

Замкнутое и ограниченное подмножество X евклидова пространства R3 имеет размерность dimX = r, r = 0, 1, 2, 3 тогда и только тогда,

1) когда "сколь угодно малым непрерывным ε-шевелением" множество X можно "превратить" в не более чем r-мерный полиэдр:

"ε>0 $fнепр:X®R3: fнепрX есть не более чем r-мерный полиэдр, и ρ(x, fx)<ε, xÎX,

2) а при "достаточно малых непрерывных ε0-шевелениях" пространство X нельзя "превратить" в менее  чем r-мерный полиэдр:

$ε0>0: fнепр:X®R3 есть ε0-сдвиг и fнепрX есть полиэдр, то число измерений этого полиэдра больше или равно r.

Теорема Александрова об ε-сдвигах позволила топологически охарактеризовать такой важный класс пространств, как все подмножества всех евклидовых пространств Rn. Оказалось, что это в точности все конечномерные метризуемые пространства со счетной базой (теорема Небелинга-Понтрягина, 1930-1931 гг.). Теорема о существенных отображениях явилась началом построения Александровым гомологической теории размерности, характеризующей размерность алгебраически.

Для примера возьмем точку. При любом ε-сдвиге,  точка снова превратится в точку же. Следовательно, размерность точки равна 0.

Другой пример – отрезок. Никаким малым (менее длины отрезка) непрерывным ε-шевелением невозможно превратить отрезок в точку. Точно также никаким непрерывным ε0-отображением отрезок нельзя превратить в треугольник. Следовательно, размерность отрезка равна 1.

Третий пример – треугольник. Никаким малым (менее диаметра треугольника) непрерывным ε-шевелением невозможно превратить треугольник в отрезок. Точно также никаким непрерывным ε0-отображением треугольник нельзя превратить в тетраэдр. Следовательно, размерность отрезка равна 1.

Возьмем "отрезок" с плотно удаленными точками. Во первых, любым малым (менее длины отрезка) непрерывным ε-шевелением этот отрезок можно превратить во множество изолированных точек, не нарушая условие непрерывности, взяв в качестве образов этих точек открытые "подотрезки" этого "отрезка" длиной менее ε. Во вторых, никаким шевелением мы не можем отобразить это множество в пустое подмножество. Следовательно, такой отрезок имеет размерность, равную нулю.

3.1.3        Малая индуктивная размерность

В 1922 г. советский математик П.С.Урысон и австрийский математик К.Менгер, отталкиваясь от индуктивного подхода к определению размерности, независимо от Брауэра и друг от друга определили так называемую малую индуктивную размерность indX топологического пространства X и установили ряд ее фундаментальных свойств.

3.1.4        Другие определения размерности

Размерность множества. Если множество X можно определить через прямое произведение других множеств Xi, размерность которых принята за единицу, то размерность такого множества равна количеству участвующих в произведении множеств:

X = X1×X2×…×Xi: iÎ{1…n},

Здесь число n называется размерностью множества X. Обычно в этом случае множества Xi совпадают или хотя бы равномощны. Наиболее известное математическое множество такого рода – векторное пространство. Дополнительным требованием ко множествам Xi может быть их упорядоченность, непрерывность или хотя бы гомоморфность.

Из определения пространства как прямого произведения одного и того же множества X1 на себя видно, что результирующее множество X можно получить как произведение  конечного множества N = {e1, e1, … en } на множество X1:

X = {e1, e1, … en } × X1 = {e1× X1, e1× X1, … en× X1}

или даже бесконечного множества множеств. Это выражение говорит о том, что результирующее множество имеет форму "векторного" пространства, координатами которого являются значения из множества X1. При этом множество N называется базой множества X.

Для других множеств, в частности метрических пространств, могут быть приняты и другие определения размерности. Наиболее широко понятие размерности применяется в топологии. Следующие примеры размерностей так или иначе относятся к топологии.

Размерность линейного векторного пространства равна минимальному количеству независимых векторов, с помощью которых можно получить любой другой элемент векторного пространства:

V = V1×V2×…×Vn: iÎ{1…n},

Здесь V1Vi – множество из n независимых элементов векторного пространства. При этом любой элемент векторного пространства раскладывается в сумму

V = a1V1 + a2V2 +…+ anVn: ai Î R.

Эта размерность очень близка к интуитивному понятию размерности физического пространства.

Для других множеств, в частности метрических пространств, могут быть приняты и другие определения размерности.

Размерность Минковского ограниченного множества в метрическом пространстве равна

lim (ln Ne /ln e),

где Nε — минимальное число множеств диаметра ε, которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского. Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Мера множества

Мера Бореля

Мера Хаара

 

Мера Жордана

Размерность или Мера Хаусдорфа естественный способ определить размерность множества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для фрактальных множеств размерность Хаусдорфа может принимать дробные значения.

Размерность (или мера) Лебега для топологических пространств:

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства X размерностью Лебега называется наименьшее целое число n такое, что ко всякому конечному открытому покрытию пространства X существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие а кратности n + 1. При этом покрытие P называется вписанным в покрытие Q, если каждый элемент покрытия P является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия Q.

 

4         Определение новых ТП

Новые ТП можно создать различными способами из уже существующих.

Если ТП определено с помощью приведенных ниже операций, то обратная операция – определение исходных составляющих ТП – определяется в общем случае не однозначно или вообще не определяется. Разложение ТП на составляющие имеет значение для классификации ТП. Если какую-то топологию можно представить как сумму ТП, произведение ТП, отображение ТП, … или их комбинацию, то это уже есть элемент классификации.

4.1           Подмножества ТП

Во первых, любое подмножество А топологического пространства Х обладает естественной топологической структурой, состоящей из пересечений с А открытых множеств из X. Снабженное этой структурой А называют подпространством пространства X.

Этот способ получения нового ТП  использует в качестве основы только исходное ТП.. Существуют также способы получения новых ТП с помощью двух исходных, возможно, одинаковых ТП.

4.2           Индуцированная отображением топология

Первый способ получения ТП – индуцированная топология. Пусть f: X ® Y — произвольное отображение, множества X в ТП Y. Индуцированная топология даёт естественный способ введения топологии на X: за открытые множества в X берутся всевозможные прообразы открытых множеств в Y; то есть U Î X открыто, если существует открытое V Î Y такое что U = f − 1V.

4.3           Топология через упорядочение

Множество интервалов (сегментов) упорядоченного множества как базис однозначно определяет топологическое пространство. Можно наложить дополнительное ограничение на открытость снизу и/или сверху для базисных интервалов и сегментов. Потому что

Множество закрытых интервалов (сегментов) упорядоченного множества как базис однозначно определяет тривиальное дискретное топологическое пространство.

4.4           Прямая сумма ТП

Вторая такая операция – операция прямой суммы нескольких (в перспективе – любой мощности) ТП:

T = T1 Å T2.

При выполнении этой операции открытыми множествами пространства T будут являться все открытые подмножества обеих пространств.

Особенностью этого способа определения топологии является то, что каждый из составляющих ТП общего ТП является независимым элементом связности, при условии ее непересекаемости с другими составляющими. Если составляющие сумму ТП пересекаются, то топологии, определенные на каждом из них, можно принять только в качестве предбазы топологии, определенной на их пересечении. Вне пересечения топология определяется топологией исходных ТП.

Представление ТП через сумму ТП определяется однозначно компонентами связности ТП.

4.5           Прямое произведение ТП

Следующая такая операция – операция прямого произведения нескольких (ограничение – конечного числа) ТП, определенное еще Кантором для двух множеств:

T = T1 Ä T2.

При выполнении этой операции определить все открытые множества пространства T затруднительно. Существует две возможности определения открытых множеств результирующего ТП.

1) T – просто прямая сумма исходного ТП T1, повторенная T2 раз как индекс.

2) Но можно считать, что если T1 и T2 – открытые множества соответственно для T1 и T2, то T1 Ä T2 будет являться открытым подмножеством пространства T. Но этим не исчерпываются все открытые подмножества пространства T, а это множество будет являться только базой ТП T, состоящей из "шаров-параллелепипедов".

Через возможность определения ТП через произведение других ТП может быть определено такое топологическое свойство ТП, как ее размерность: размерность ТП равна количеству участвующих в произведении ТП. Обычно в этом случае составляющие ТП совпадают или хотя бы равномощны. Дополнительное ограничение – односвязность и бесконечность составляющих ТП. Это определение размерности, конечно, очень даже не строгое, но она может совпасть с обычной размерностью n евклидовых пространств.

4.6           Метризация

Можно задать некоторую бинарную функцию f(x1, x2), удовлетворяющую аксиомам метрики. Каждое такое (метрическое, см. далее) пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой некоторую её открытую ε-окрестность (шар радиуса ε с центром в этой точке). В частности, любое подмножество n-мерного евклидова пространства Rn является топологическим пространством.

4.7           Расширения (или вложения) ТП

Например, присоединением граничных или предельных точек.

4.8           Бикомпактное расширение ТП

Бикомпактификация по П.С.Тихонову. Всякое локально бикомпактное (но не бикомпактное) хаусдорфово ТП можно топологически вложить в некоторый бикомпакт, присоединив к исходному всего одну "бесконечно удаленную" точку.

4.9           Фактор-пространства

4.10        Предел обратного спектра

4.11        Комбинированный способ

Операции прямой суммы и произведения могут быть обобщены на любое другое, как конечное, так и бесконечное, количество исходных ТП. Кроме конкретно этих операций, конечно, можно воспользоваться любой их комбинацией, в т.ч. и с применением остальных способов.

5         Гомотопия

Использован материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пусть X и Y суть ТП. Гомотопия есть непрерывное семейство отображений  Ft: X ® Y, t Î |0, 1| или непрерывное отображение Ft: |0, 1| ´ X ® Y. При этом значение F(t, x) чаще обозначается Ft(x).

Гомотопные отображения. Отображения f, g: X ® Y называются гомотопными или g ~ f, если существует гомотопия ft такая, что f0 = f  и f1 = g.

Гомотопическая эквивалентность ТП X и Y есть пара непрерывных отображений f: X ® Y и g: Y ® X такая, что fg ~ idY и gf ~ idX, здесь ~ обозначает гомотопическую эквивалентность отображений. В этом случае говорят, что X и Y гомотопически эквивалентны, или X с Y имеют один гомотопический тип.

Гомотопический инвариант — это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности ТП. То есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, формула Эйлера, эйлерова характеристика.

Отображение f: X ® Y называется слабой гомотопической эквивалентностью если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп.

Если на некотором подмножестве A Ì X, F(t, a) = f(a) для всех t при a Î A, то F называется гомотопией относительно A, а f и g гомотопными относительно A.

Изотопия — гомотопия топологического пространства X по топологическому пространству Y есть гомотопия Ft: X ® Y, t Î |0, 1|, в которой при любом t отображение ft является гомеоморфизмом X на f(X) Ì Y.

Гомотопия задаёт отношение эквивалентности между непрерывными отображениями X ® Y.

5.1           Гомотопические группы

5.2           Фундаментальная группа

В алгебраической топологии и связанных с нею областях математики фундаментальной группой называется алгебраический объект, который сопоставляется топологическому пространству и измеряет, грубо говоря, количество дырок в нем. Наличие дырки определяется невозможностью непрерывно стянуть некоторую замкнутую петлю в точку. Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.

Пусть X — ТП с отмеченной точкой x0 Î X. Рассмотрим множество петель в X из x0; то есть множество непрерывных отображений f:|0, 1| ® X, таких что f(0) = x0 = f(1). Две петли f и g считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель. Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

(f*g)(t) = \begin{cases}
f(2t), ~ t\in [0, {1 \over 2}] \\
g(2t-1), ~ t\in [{1 \over 2},1]
\end{cases}

Произведением двух гомотопических классов [f] и [g] называется гомотопический класс [f * g] произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства X с отмеченной точкой x0 и обозначается π1(X, x0).

Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.

5.3           Цепная гомотопия

5.4           Формула Эйлера для многогранника

В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней простого трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

S + H = A + 2,

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер. Число 2 будет называться родом многогранника.

Более удобна другая форма записи этой формулы:

S - A + H = 2.

Ранее эта формула встречается в рукописях Р. Декарта, опубликованных Лейбницем в 1760 году. В 1899 году Пуанкаре обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника. Если формально считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в виде:

где An — количество n-мерных граней N-мерного многогранника.

Минимальным многогранником является треугольник:

Выпишем формулу Эйлера для нее:

3(вершины) – 3(ребра) + 2(граней) = 2.

Количество граней равно двум, потому что кроме внутренней области треугольника учитывается внешняя ее область.

Для плоского многогранника (не ориентированного графа) без внешней области верна формула

3(вершины) – 3(ребра) + 2(граней) = 1.

 Она выполняется даже для отрезка – не плоского многогранника, но не ориентированного графа: 2 – 1 + 0 = 1:

и просто точки: 1 – 0 + 0 = 0 (обобщение Пуанкаре формулы Эйлера):

 

Докажем по индукции формулу Эйлера для плоского многогранника.

Действительно, для минимального многогранника – треугольника - эта формула выполняется (см. выше). Любой другой плоский многогранник можно получить последовательным применением операции добавления дополнительной вершины, дополнительных ребер и получающихся при этом дополнительных граней. Вершину можно добавить либо на уже существующее ребро, либо внутри грани (точка A на рис. 6). Во втором случае дополнительную точку надо связать ребром с какой-либо другой ближайшей или несколькими вершинами ("ежик"). Ребро (без дополнительной вершины) можно добавить между двумя ближайшими вершинами, и при этом необходимо учесть, что для простого многогранника в этом случае появится еще одна грань. Отдельно одну грань добавить невозможно.

Замечание. Ближайшей вершиной считается любая  другая вершина, находящаяся на границе грани, на которой добавлена новая вершина.

Рис. 6. Способы добавления вершины к многоугольнику.

Других способов нет. Рассмотрим все три случая отдельно.

Доказательство. Для минимального графа – единственной вершины – формула Эйлера выполняется.

Предположим, что при всех предыдущих применениях этого процесса формула Эйлера выполнялась на любом шаге. Докажем, что она будет выполняться и далее. Пусть у нас имеется произвольный граф и мы добавим к ней одну дополнительную вершину, ребро или и то и другое одновременно:

Рис. 7. Способы добавления вершин и ребер к многоугольнику.

В первом случае (см. рис. 7a) мы получили дополнительно 1 вершину (A), одно дополнительное ребро за счет деления общего ребра на две части и ни одной новой грани. Т.е. сумма дополнительных вершин равна количеству дополнительных ребер. Формула Эйлера на этом шаге преобразуется:

(S + 1) + (H + 0) = (A + 1) + 1,

S + H = (A + 1) + 1 – (1) =

= (A + 1 + 1 – 1) =

= A + 1.

Следовательно, по индукции в этом случае формула Эйлера верна.

Во втором случае (см. рис. 7b) мы опять получили дополнительно 1 вершину (A), n ребер (по количеству дополнительных ребер - AB1, AB2 и AB3) и n-1 граней (AB1B2, AB1B3, AB2B3 минус исходная грань). И в этом случае сумма дополнительных вершин и граней равна количеству дополнительных ребер. Формула Эйлера на этом шаге преобразуется:

(S + 1) + (H + n - 1) = (A + n ) + 1,

S + H = (A + n) + 1 – (1 + n - 1) =

= (A + 1) + (n - n) =

= A + 1.

В случае добавления точки внутри грани и одного ребра (n = 1) , проведенного к любой вершине, ребро и вершина просто компенсируют друг друга и получим тот же результат:

(S + 1) + (H + 1- 1) = (A + 1 ) + 1,

S + H = (A + 1) + 1 – (1 + 1 - 1) =

= (A + 1) + (1 - 1) =

= A + 1.

В третьем случае (см. рис. 7c) мы не получили дополнительно ни одной вершины, но  получили одно ребро - AB и дополнительно одну грань (ABB1 или ABB2). Т.е. сумма дополнительных вершин и граней равна количеству дополнительных ребер. Формула Эйлера на этом шаге преобразуется:

S + (H + 1) = (A +  1) + 1,

S + H = (A + 1) + 1 – 1 =

= (A + 1 + 1 – 1) =

= A + 1.

Следовательно, по индукции и в этом случае формула Эйлера верна.

Следовательно, по индукции формула Эйлера верна в любом случае.

Формула для объемного многогранника верна потому, что любой многогранник можно отобразить на плоскость и получить плоский не ориентированный граф. При этом надо учесть, что одной из ее граней будет  соответствовать внешняя область получившегося плоского многогранника.

Для не простых многогранников формула Эйлера не выполняется. Есть много разновидностей не простых многогранников.

Во первых, они могут отличаться связностью. Простой многогранник является связным. Для многосвязных многогранников, состоящих из нескольких простых, формула Эйлера верна для каждой связной области в отдельности и в общем по формуле

SA + H = 1 + n,

где n – связность многогранника.

Во вторых, некоторые из граней могут быть вырезанными или, наоборот, можно натянуть грань на уже существующие ребра. Естественно, что формула Эйлера будет отличаться на количество вырезанных граней.

Даже связные многогранники могут быть не простыми. Если в простом многограннике вырезать две грани, соединить их вершины между собой n > 0 новыми ребрами и замкнуть их новыми гранями, мы получим многогранник с дыркой. При этом формула Эйлера изменится:

S' – A' + H' =

SA + H

0(новых вершин) – n(новых ребер) - 2(вырезанные грани) + n(новых граней) =

+ 0 – n + (n  - 2) =

= SA + H – 2.

Из этой формулы видно, что род многогранника уменьшается на 2 единицы с каждой дыркой в многограннике. Для простого многогранника с одной дыркой верна следующая модифицированная формула Эйлера:

S' – A' + H' = 0.

При n = 0 натягивается одна грань между вырезанными гранями и будет верна формула

S' – A' + H' = 1.

Для общего случая простого многогранника с несколькими дырками будет верна модифицированная формула Эйлера:

S' – A' + H' = 2 – 2p,

где p – род многогранника.

Можно вырезать только одну грань и ее n > 0 вершин соединить с любой другой не ближайшей вершиной. В этом случае константа Эйлера изменится:

S' – A' + H' =

SA + H

0(новых вершин) – n(новых ребер) - 1(вырезанная грань) + n(новых граней) =

+ 0 – n + (n  - 1) =

= SA + H – 1,

и формула Эйлера преобразуется в формулу

S' – A' + H' = 1,

При n = 0 формула Эйлера останется правильной. Такие многогранники можно назвать "лепешками".

В общем случае вырезания нескольких граней и соединения вершин этих граней с другими не ближайшими вершинами модифицированная формула Эйлера будет следующей:

S' – A' + H' = 2 - p,

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что формула Эйлера верна только для частных случаев связных простого многоугольника, ежика и лепешки (для случая соединения любой внутренней точки (ребра или другого несвязного с исходным графа) грани (нескольких граней) простого многоугольника с какой либо не собственной вершиной (ребром или системой ребер, эквивалентных внутреннему графу)).  Можно вывести аналог формулы Эйлера для других не простых многоугольников.

5.5           Род поверхности

Многие простые, но весьма существенные обстоятельства выясняются при изучении двумерных поверхностей. Сравним, например, поверхность сферы с поверхностью тора. Взгля­нув на рис. 8, сразу можно обнаружить различие: на сфере, как и на плоскости, замкнутая кривая, вроде С, разделяет поверхность на две части; но на торе существуют и такие замкнутые кривые, например С', которые не разделяют поверхности на две части. Если мы говорим, что кривая С разделяет сферу на две части, то это означает, другими сло­вами, что при разрезании поверхности сферы по кривой С эта поверх­ность распадается на два не связанных между собой куска, или, еще иначе, что можно найти две такие точки сферы, что всякая кривая на сфере, их соединяющая, непременно пересечется с кривой С. Напро­тив, если разрезать тор по кривой С', то после разреза поверхность не распадется: любые две ее точки можно соединить кривой, не имеющей общих точек с С'. Указанное различие свидетельствует о том, что сфера и тор в топологическом смысле не принадлежат одному и тому же классу поверхностей: тор нельзя топологически преобразовать в сферу.

    

 

Рис. 8. Разрезы на сфере и на торе

Рассмотрим теперь поверхность с двумя «дырами», изображенную на рис. 9. На этой поверхности оказывается возможным провести сра­зу две замкнутые кривые А и В, которые не разделяют поверхности на части. Тор, напротив, при проведении двух таких кривых непременно разделится на части. С другой стороны, любые три замкнутые кривые разделяют нашу поверхность с двумя дырами.

Рис. 9. Разрезы на бублике

Все это подсказывает мысль ввести понятие рода поверхности, понимая под родом поверхности наибольшее возможное число вза­имно не пересекающихся простых замкнутых кривых, которые мож­но провести на поверхности, не разделяя ее на части. Род сфе­ры равен 0, род тора равен 1, род поверхности, изображенной на рис. 9, равен 2. Такая же поверхность с р «дырами» имеет род р. Род есть топологический инвариант поверхности: он не изменяется при деформировании поверхности. Обратно, можно доказать, что если две замкнутые по­верхности имеют один и тот же род, то одну можно деформировать в другую; таким образом, род р = 0, 1, 2, ... замкнутой поверхности полностью характеризует топологический класс, к которому она при­надлежит. (Здесь предполагается, что мы рассматриваем только обык­новенные «двусторонние» поверхности. В пункте 3 этого параграфа мы рассмотрим также и «односторонние» поверхности.) Например, толь­ко что рассмотренная поверхность с двумя дырами и сфера с двумя «рукоятками», изображенная на рис. 10, являются обе замкнутыми поверхностями рода 2, и мы видим, что каждую из этих поверхнос­тей удается деформировать в другую. Так как поверхность с р дырами или ее эквивалент — сфера с р рукоятками — поверхности рода р, то любую из этих поверхностей можно взять в качестве «топологического представителя» всех замкнутых поверхностей рода р.

Рис. 10. Поверхность рода 2

5.6           Односторонние поверхности

У каждой из обыкновенных поверхностей имеется по две стороны. Это относится и к замкнутым поверхностям вроде сферы или тора, и к поверхностям, имеющим гра­ницы, каковы, например, диск или тор, из которого удален кусок по­верхности.

Простейшей односторонней поверхностью является лист Мебиуса. Он назван так в честь А. Мебиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858 г. Чтобы ее построить, нужно взять лист бумаги, имеющий форму очень вытянутого прямоугольника, и склеить его концы после полупо­ворота, как показано на рис. 11. У этой фигуры есть только одна поверхность и один край. Любая попытка окрасить только одну сторону листа Мебиуса обречена на неудачу, так как у листа Мебиуса всего одна сторона.

Предположим, что по таким поверхностям ползал бы клоп и что-нибудь мешало бы ему пересекать граничные кривые; тогда он оста­вался бы всегда на одной стороне поверхности. Клоп, ползущий по середине листа Мебиуса (не пересекая края), вернется в исходную точку в положении "вверх ногами". При разрезании листа Мебиуса по средней линии он не распадается на две части.

Рис. 11. Лист Мёбиуса: а, б, в — перекручивание и склеивание ленты; г — ориентация «сторон». Бесконечная простая полоска бумаги (а, б)) имеет внутреннюю и внешнюю стороны и два края. Лист Мебиуса (в, г), склеенный из перекрученной на полоборота прямоугольной полоски (а), имеет только одну сторону и один край.

Другое замечательное свойство поверхности Мебиуса заключает­ся в том, что у нее только один край: вся граница состоит из одной замкнутой кривой. Обыкновенная двусторонняя поверхность, получа­ющаяся при склеивании концов ленты без всякого поворота, явственно имеет две различные граничные кривые. Если эту последнюю поверх­ность разрезать по центральной линии, она распадется на две поверх­ности того же типа. Но если разрезать таким же образом по централь­ной линии ленту Мебиуса (см. рис. 11), то мы увидим, что распадения на две части не будет. Тому, кто не упражнялся с лентой Мебиуса, трудно предсказать это обстоятельство, столь противоречащее нашим интуитивным пред­ставлениям о том, что «должно» случиться.

Но если поверхность, полученную после описанно­го выше разрезания ленты Мебиуса, снова раз­резать по ее центральной линии, то у нас в ру­ках окажутся две не связанные, но переплетен­ные между собой ленты!

Очень интересно разрезать по линиям, па­раллельным границе и отстоящим от нее на ½, 1/3 и т. д. ширины ленты.

Граница поверхности Мебиуса представляет собой простую «незаузленную» замкнутую кривую и ее мож­но деформировать в окружность. Но придется допус­тить, что в процессе деформации поверхность будет са­ма себя пересекать. Получающаяся при этом самопере­секающаяся односторонняя поверхность известна под названием «кросс-кэп» («перекрещивающаяся шляпа» (англ. cross-cap.) – см. рис. 12). Линию пересечения здесь следует считать дважды, один раз относя к од­ному из пересекающихся листов поверхности, другой раз — к другому. Кросс-кэп, как и всякую односторон­нюю поверхность, нельзя непрерывно деформировать в двустороннюю (топологическое свойство).

Рис. 12. Кросс-кэп.

Любопытно, что ленту Мебиуса можно, оказывается, так деформи­ровать, что ее граница будет плоской ломаной, — а именно, треугольни­ком, — причем лента останется несамопересекающейся. Такая модель, найденная д-ром Б. Туккерманом, показана на рис. 13, а; границей лен­ты служит треугольник ABC, ограничивающий половину диагональ­ного квадратного сечения октаэдра (симметричного относительно это­го сечения). Сама лента состоит при этом из шести граней октаэдра и четырех прямоугольных треугольников — четвертей вертикальных диагональных плоскостей октаэдра 2.

Рис. 13. Лента Мёбиуса с прямолинейным краем (а) и ее развертка (б)

Другой любопытный пример односто­ронней поверхности — так называемая «бутылка Клейна». Это — замкнутая по­верхность, но она, в противоположность известным нам замкнутым поверхностям, не делит пространства на «внутреннюю» и «внешнюю» части. Топологически она эк­вивалентна паре кросс-кэпов со склеенными между собой граничными кривыми.

Рис. 14. Бутылка Клейна

Можно доказать, что всякая замкнутая односторонняя поверхность рода р = 1, 2,... топологически эквивалентна сфере, из которой вы­нуты р дисков и заменены кросс-кэпами. Отсюда легко выводится, что эйлерова характеристика VE + F такой поверхности связана с родом р соотношением

VE + F = 2 – p,

где V - число вершин, Е - число дуг и F - число областей.

Доказательство этого предложения такое же, как и для двусторонних по­верхностей. Прежде всего убедимся, что эйлерова характеристика кросс-кэпа или ленты Мебиуса равна 0. Для этого заметим, что, перерезая поперек ленту Мебиуса, предварительно подразделенную на области, мы получим прямо­угольник, у которого будут все лишнее вершины и одна лишняя дуга, число же областей останется то же самое, что и для ленты Мебиуса. Мы видели на стр. 283, что для прямоугольника VE + F = 1. Следовательно, для лен­ты Мебиуса VE + F = 0.

Изучение топологической структуры поверхностей, подобных тем, которые только что были описаны, проводится более удобно, если воспользоваться плоскими многоугольниками с попарно идентифициро­ванными сторонами (см гл. IV, приложение, пункт 3). Так, на схемах рис. 15 стрелки показывают, какие из параллельных сторон и в ка­ком направлении должны быть идентифицированы: если возможно, то физически, если невозможно, то хотя бы мысленно, абстрактно.

 

Рис. 15. Замкнутые поверхности, определенные посредством идентификации сторон квадрата: a) цилиндр, b) тор, c) лист Мебиуса, d) бутылка Клейна.

Рис. 16. Определение трехмерного тора посредством идентификации граней куба.

Рис. 17. Другое представление трехмерного тора (разрезы показывают иден­тификацию)

Метод идентификации можно применить и для определения трех­мерных замкнутых многообразий, аналогичных двумерным замкну­тым поверхностям. Например, отождествляя соответствующие точки взаимно противоположных граней куба (рис. 16), мы получаем замк­нутое трехмерное многообразие, называемое трехмерным тором. Та­кое многообразие топологически эквивалентно пространственной об­ласти, заключенной между двумя концентрическими поверхностями тора (одна внутри другой), с идентификацией соответствующих точек (рис. 17). Действительно, это последнее многообразие получается из куба, если привести в «физическое» совпадение две пары «мысленно отождествленных» взаимно противоположных граней.

5.7           Эйлерова характеристика поверхности

Предположим, что замкнутая поверхность S рода р подразделена на некоторое чис­ло областей: такое подразделение получается, если мы отметим на S ряд «вершин» и соединим их затем между собой дугами кривых. Мы покажем, что в таком случае

V - Е + F = 2 - 2р,                                                                          (1)

где V - число вершин, Е - число дуг и F - число областей. Чис­ло 2 - 2р называется эйлеровой характеристикой поверхности. Как мы уже видели, для случая сферы V - Е + F = 2, что согласуется с фор­мулой (1), так как сфера имеет род р, равный нулю.

Рис. 18. К эйлеровой характеристике поверхностей

Желая доказать общую формулу (1), вообразим, что S есть сфера с р рукоятками. Как мы отметили, любая поверхность рода р может быть непрерывной деформацией приведена к этому виду, и во время деформации ни V - Е + F, ни 2 - 2р не изменяются. Непрерывную деформацию мы выберем таким образом, чтобы замкнутые кривые А1, А2, B1, В2, ..., по которым рукоятки соединяются со сферой, пришлись как раз на дуги данного подразделения. (Рис. 18 иллюстрирует опи­сываемую дальше процедуру в случае р = 2.)

Прорежем теперь поверхность S по кривым A2, В2, … и выпря­мим рукоятки. У каждой рукоятки появится свободный край, ограни­ченный новой кривой А*, В*, ..., причем на появившемся крае будет столько же вершин и столько же дуг, сколько их было соответственно
на А2, В2.       

Число V - Е + F при прорезывании не изменится, так как новых областей не возникнет, а число вновь возникших вершин уравновеши­вается числом вновь возникших дуг. Затем деформируем поверхность дальше, сплющивая торчащие рукоятки (включая их в поверхность сфе­ры). В итоге получается сфера с 2р отверстиями. Так как V - Е + F, как нам известно, равно 2 для всякого подразделения полной сферы, то для нашей сферы с 2р отверстиями мы получаем V - Е + F = 2 - 2р, и это равенство, очевидно, справедливо также и для первоначальной сферы с р рукоятками. Наше утверждение доказано.

Рис. 3 иллюстрирует применение формулы (1) к поверхности S, составленной из плоских многоугольников. Эту поверхность можно то­пологически деформировать в поверхность тора, так что ее род р ра­вен 1, и потому 2 - 2р = 2 - 2 = 0. Как и требуется по формуле (1), мы получаем

V - Е + F = 16 - 32 + 16 = 0.

5.8           Эйлерова характеристика

или характеристика Эйлера—Пуанкаре есть топологический инвариант (и даже гомотопический инвариант) определённый на большом классе ТП. Обычно эйлерова характеристика пространства X обозначается χ(X).

Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

χ = k0 - k1 + k2 - ...,

где ki обозначает число клеток размерности i.

Эйлерова характеристика произвольного ТП может быть определена через числа Бетти bn как знакопеременная сумма:

\chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, ...

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Окружность и тор имеют характеристику 0, а шар имеет характеристику 1.

Эйлерова характеристика сферы с g ручками равна

2 - 2g.

Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле: χ = Γ - P + B где Г, P и B суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для любого многогранника верна формула Эйлера:

Γ - P + B = χ(S2) = 2.

Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Согласно формуле Гаусса — Бонне, эйлерова характеристика замкнутой поверхности S равна

\chi(S)=\int\limits_SK

где K обозначает гауссову кривизну.

Обобщённая формула Гаусса — Бонне даёт похожую формулу для произвольных замкнутых римановых многообразий.

Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Боне, гласящий, что эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра делённой на .

Если два пространства гомотопически эквивалентны то их числа Бетти совпадают, а таким образом и эйлеровы характеристики совпадают.

6         Гомология

 

7         Подмножества пространства Rn.

Существует великое множество топологических пространств произвольной размерности. Наиболее простые из них – евклидовы пространства. Т.к. любое подмноджество ТП снова является ТП, то существует такое же количество и подмножеств ТП. Гладких и негладких, непрерывных и не очень.

Но для подмножеств, кроме самой топологической структуры, имеет значение и способ вложения в объемлющее пространство. Да и сама структура подмножества может иметь значение. Например, структура узлов или кос может быть очень разнообразной.

Есть и совсем не тривиальные примеры.

Также надо иметь в виду, что любой вышеприведенный и нижеприведенный примеры являются только представителями своего класса подмножеств евклидова пространства Rn с похожими свойствами. Многие из них имеют фрактальную структуру. Конкретных реализаций этих подмножеств великое множество, даже если не учитывать их гомеоморфные классы.

7.1           Прямая и ее подмножества

Наиболее известными множествами размерности 1 являются прямые и кривые линии в своей очевидной, бытовой ипостаси. Среди кривых линий можно отметить, например, окружность. Менее известны графы. Окружность и графы, конечно, не являются подмножествами прямой.

Всю прямую можно отобразить на множество вещественных чисел, поэтому прямая эквивалентна множеству вещественных чисел, а подмножества прямой эквивалентны подмножествам множества вещественных чисел. Наиболее известными подмножествами прямой являются

1) отдельные точки,

2) открытые, полуоткрытые, закрытые отрезки (интервалы) и лучи,

3) вся прямая сама по себе.

4) Множество точек, соответствующих натуральным или целым числам

5) или их конечному подмножеству.

Кроме них, можно отметить и другие, не тривиальные подмножества.

6) Множество рациональных точек прямой.

7) Множество иррациональных точек прямой.

8) На только что приведенных примерах можно оставить или удалить всюду плотные или не плотные подмножества точек счетной или континуальной мощности со сложной внутренней структурой.

9) А также их произвольные объединения, пересечения, разности. Последовательность вложенных отрезков обязательно имеет предел – он не пуст. Объединение бесконечного количества сегментов может быть открытым интервалом, пересечение бесконечного количества вложенных сегментов может быть закрытым отрезком.

1-й, 4-й и 5-й примеры являются примерами нигде не плотных подмножеств на прямой. 2-й и 3-й виды подмножеств являются непрерывными везде плотными, полными подмножествами прямой. С 4-го по 7-й примеры подмножеств не являются непрерывными и имеют размерность dimM = 0. 6-й и 7-й примеры являются примерами везде плотных подмножеств прямой. Три последних примера являются примерами подмножеств различной мощности на прямой.

7.2           Плоскость и ее подмножества

Наиболее известными множествами размерности 2 являются евклидова плоскость и другие кривые плоские поверхности в своей очевидной, бытовой ипостаси. Среди кривых поверхностей можно отметить, например, сферу и тор. Всем хорошо известны многогранники. А также большое количество других плоских фигур, которые можно нарисовать карандашом или вырезать с помощью ножниц – круг, квадрат, другие многоугольники.

Наиболее известными подмножествами плоскости являются одномерные подмножества прямой и кривых линий на плоскости (см. выше), и собственно двумерные подмножества. В качестве примера назовем одно подмножество плоскости – окружность и графы. Их я выбрал потому, что они не являются подмножествами прямой.

Многие множества размерности 2 не являются подмножествами евклидовой плоскости, но они интересны сами по себе. Относительно некоторых подмножеств даже сложно сказать, какие они – одномерные или двумерные.

Всю плоскость можно отобразить на множество пар вещественных чисел, поэтому прямая эквивалентна множеству пар вещественных чисел, а подмножества прямой эквивалентны подмножествам множества пар вещественных чисел.

7.3           Пространство и ее подмножества

Все, что было сказано в отношении плоских множеств и подмножеств, можно повторить и в отношении множеств и подмножеств размерности 3 и более, с некоторыми уточняющими корректировками. Только разнообразия здесь еще больше.

7.4           Канторово множество (дисконтинуум или пыль Кантора).

Классическое множество Кантора или пыль Кантора, названо по имени Георга Кантора, который описал его в 1883 году. Существование пыли кантора отмечалось до этого Генри Смитом в 1875 году или ещё ранее. Это множество известно как пример множества нулевой меры Лебега, чья мощность равна мощности континуума.

Канторово множество строится следующим образом. Из единичного отрезка 0 ≤ x ≤ 1 удалим среднюю треть (интервал), т.е. все точки x, удовлетворяющие неравенству 1/3 ≤ x ≤ 2/3. Оставшееся точечное множество обозначим через C1. Множество C1 состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и то множество, кото­рое останется, обозначим через C2. Повторим опять эту процедуру, удаляя среднюю треть у всех четырех отрезков; получим C3. Дальше таким же об­разом получим C4, C5, C6, .... Обозначим через C множество точек, которое останется, когда все средние трети будут удалены; т. е. C есть, другими сло­вами, множество точек, принадлежащих одновременно всем множествам C1, C2, C3, .... В первой операции был удален интервал длины 1/3; во второй операции — два интервала,

Рис. 1. Канторово множество

каждый длины 1/9 и т. д.; сумма длин всех удаленных интервалов равна

Бесконечный ряд в больших скобках есть геометрическая прогрессия, сумма которой равна; итак, сумма длин удаленных промежутков составляет 1. И все-таки далеко не все точки отрезка удалены: множество C не пустое. Например, все точки, являющиеся концами удаленных отрезков

ему принадлежат. Можно легко убедиться, что множество С состоит из всех тех чисел х, разложения которых в бесконечную дробь по основанию 3 могут быть написаны в форме

где всякое an есть 0 или 2, тогда как в аналогичном разложении для всякой удаленной точки среди чисел an хоть раз встретится 1. Точнее, число, в 3-ичном представлении  которого есть 1, принадлежит канторову множеству, если эта 1 является последней.

Существует великое множество подмножеств прямой, похожих на канторово множество. Все они получаются применением похожего механизма построения точек "псевдоканторова множества". Самый простой из них – делить отрезки на каждом шаге на три, не обязательно равных, отрезка. Или просто выполнить непрерывное отображение отрезка [0, 1] с канторовым множеством на себя после построения. В конце концов, все они получаются этим способом.

Основные свойства.

1.      Любая точка канторова множества является односторонней точкой.

2.      У любой внутренней точки канторова множества имеется смежная ей односторонняя точка.

3.      Мощность канторова множества равняется континууму.

4.      Длина всех отрезков канторова множества равна нулю.

5.      Канторово множество не содержит невырожденных отрезков (отсюда "дисконтинуум").

6.      Канторово множество нигде не плотно и не полно, т.е. между любыми двумя точками имеется конечный пустой интервал.

7.      Дисконтинуум повторяет себя в каждом своем отрезке, и не одним способом. При выборе отображения необходимо обеспечить отображение пары смежных (соседних) точек в такую же пару других смежных точек.

7.5           Канторова лестница

С канторовым множеством связана обладающая некоторыми весьма интересными свойствами непрерывная функция c(x), называемая канторовой лестницей. Функция определена на всей прямой. На участках, соответствующих выброшенным из отрезка [0, 1] точкам канторова дисконтинуума она представляет собой горизонтальную прямую. Высота этой прямой определяется уровнем этого отрезка. Первый отрезок находится на высоте ½, следующие уровни находятся на половине высоты между соседними отрезками предыдущих соседних уровней. На рис. 4 показано построение канторовой лестницы до третьего уровня. На точках, соответствующих канторову дисконтинууму, значение функции равно пределу процесса построения горизонтальных участков.

Рис. 4. Построение канторовой лестницы.

Функция во всех точках, не соответствующих точкам канторова дисконтинуума, имеет нулевую производную, но сама функция не постоянна, а растет от 0 до 1, что видно из построения. В точках дисконтинуума производная не определена, или бесконечна.

Для получения значения функции в точке дисконтинуума в троичной записи числа необходимо заменить цифры "2" на цифру "1" и считать ее двоичным числом. Значение функции в других точках равно значению в ближайшей левой точке дисконтинуума. Чтобы найти это число, из троичной записи числа необходимо выбросить весь хвост после первой единицы.

Существует великое множество подмножеств лестниц, похожих на канторову лестницу. Все они получаются применением похожего механизма построения точек "псевдоканторовой лестницы". Эти способы делятся на две части. Первая часть – построить "псевдоканторово множество". Вторая часть – алгоритм получения вертикальных делений. Самый простой из них – вертикальное деление на каждом шаге производить не обязательно на равные части. Или просто выполнить непрерывное отображение отрезка [0, 1] обеих осей на себя после построения. В конце концов, все они получаются этим способом.

Лестница повторяет себя в каждом своем отрезке, и не одним способом. Принцип и причина подобия та же, что и для канторова множества.

7.6           Ковер Серпиньского

Ковер Серпиньского представляет собой плоский аналог канторова множества. Первым его построил и описал польский математик Вацлав Серпиньский в 1915 г.

Строится ковер Серпиньского следующим образом.

Строится единичный квадрат {(x, y) ÎR2: 0 ≤ x, y ≤ 1} плоскости R2. Назовем его квадратом нулевого ранга. Горизонталями и вертикалями разделим этот квадрат на 9 одинаковых квадратов со сторонами ⅓ и вырежем открытый центральный квадрат, оставив 8 нецентральных замкнутых квадрата (см. рис. 5).

 На следующем шаге повторим эту же процедуру к оставшимся 8 квадратам. При этом в каждом из этих квадратов останутся 8 замкнутых квадратов поменьше.

Рис. 5. Ковер Серпиньского на основе квадрата. Ковер можно построить и на основе равностороннего треугольника (треугольник Серпиньского)..

На каждом следующем шаге повторим эту процедуру ко все более мелким квадратам очередного шага. В конце концом получим искомое множество – ковер Серпиньского.

Ковер Серпиньского замечателен тем, что является плоской (понимаемой в самом общем смысле) линией и топологически содержит все плоские одномерные множества (при этом подмножество плоскости не более чем одномерно тогда и только тогда, когда оно не содержит никакого круга). Ковер Серпиньского является непрерывной связной линией.

Можно заметить, что точки ковера Серпиньского на линиях, являющихся линиями симметрии квадрата (центральные горизонтальная, вертикальная и диагональные линии) в точности определяют точки канторова множества. В то же время она обладает фрактальными свойствами: маленькие квадраты в точности подобны большим квадратам. И все это не мешает коверу Серпиньского быть связным множеством.

Весь периметр любого квадрата полностью входит в состав ковера. Любая линия от одной стороны квадрата до противоположной стороны, включающая в себя ребра выброшенных квадратов первого шага, полностью входит в состав ковера. Любая линия от одного ребра квадрата до противоположного ребра, включающая в себя ребра выброшенных квадратов определенного шага, ближайших к внешней границе исходного квадрата и параллельных этой границе, полностью входит в состав кривой. Это говорит о том, что весь ковер состоит из периметров квадратов каждого уровня построения и форма этой кривой есть бесконечная плоская сетка.. В силу этого линию ковера невозможно совершенно упорядочить как прямую линию. В этом отличие произвольных линий от линий, подобных прямой и окружности.

Рассмотрим представление ковера с помощью числового множества. Для этого все точки ковера отобразим на числовой отрезок следующим образом.

Множество чисел представим как числа на отрезке [0, 1] в троичной системе исчисления. Это в точности единица и все числа, представляемые как конечные и бесконечные последовательности цифр вида "0,xxxxxx..", где x – цифра из множества {0, 1, 2}. Множество, представляющее множество "ковер Серпиньского", будет ее подмножеством.

Представление множества точек плоскости получим как объединение троичного представления двух чисел x и y в общем парном поразрядном представлении "0,xy'xy'xy'..": в каждой паре первая цифра есть цифра соответствующего разряда первого числа (x), а вторая цифра есть цифра соответствующего разряда второго числа - (y). Рассмотрим эти числа.

На первом шаге мы исключаем все числа вида "0,11'xy'xy'..", где x – цифра из множества {0, 1, 2}, кроме бесконечной последовательности нулей. Все остальные числа рассматриваются на следующем шаге.

Т.к. каждый квадрат ковера второго уровня подобен большому квадрату, то множество запрещенных чисел получается делением запрещенных чисел первого уровня на 3*3 = 9 и прибавлением значения цикла, равного 1/3 по обоим координатам. Мы получим числа вида"0,xy'11..", причем числа вида "0,11'xy'xy…" мы уже исключили. Если мы продолжим эту процедуру, то должны будем исключить из чисел множества "ковер Серпиньского" все числа, в троичном попарном представлении которого встречается пара "11" с произвольным продолжением, кроме бесконечной последовательности нулей.

7.7           Универсальная кривая (губка) Менгера

Универсальная кривая Менгера представляет собой пространственный аналог канторова множества. Первыми его построили и описали австрийский математик К.Менгер и П.С.Урысон.  Она называется универсальной потому, что сама является линией и топологически содержит все вообще линии и даже все одномерные множества пространства (при этом подмножество пространства не долее чем одномерно тогда и только тогда, когда оно не содержит никакого шара).

Строится аналогично коверу Серьпинского, но при этом процедура применяется к единичному квадрату, который делится на 27 более маленьких одинаковых квадрата плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Из него вырезается 7 центральных куба, в сумме похожих на противотанковый еж, оставив 20 замкнутых кубов.

Дальше процедура будет применяться с продолжением к этим 20 оставшимся кубам.

Картинка 55 из 451

Рис.7. Губка Менгера после 3-х шагов построения. Существует также пирамида Серпиньского, построенная на основе равносторонней пирамиды, на каждом шаге построения  которого остаются только 4 угловых пирамиды размером в 2 раза меньше.

Эта кривая замечательна еще и своей топологической однородностью. Это означает, что для любых двух точек x, y из M существует такое топологическое отображение f кривой M на себя, что fx = y. В то же время она обладает фрактальными свойствами: маленькие кубы в точности подобны большим кубам.

Замечание. Можно ли назвать "универсальную кривую Менгера" кривой. По моему, нет. Лучше подходит просто обобщенное понятие "линия". Но общепринято называть эту линию "универсальной кривой Менгера".

Кривая Менгера замечательна тем, что является пространственной (понимаемой в самом общем смысле) линией и топологически содержит все пространственные одномерные множества (при этом подмножество куба не более чем одномерно тогда и только тогда, когда оно не содержит никакого круга). Кривая Менгера является связной непрерывной линией.

Можно заметить, что точки кривой Менгера на линиях, являющихся линиями симметрии квадрата (центральные горизонтальные, вертикальные и диагональные линии граней куба, а также диагонали куба) в точности определяют точки канторова множества. Но это не мешает коверу Серпиньского быть связным множеством.

Весь периметр (сумма внешних ребер) любого куба полностью входит в состав кривой. Любая линия от одной стороны куба до противоположной стороны, включающая в себя ребра выброшенных на первом шаге кубов, полностью входит в состав кривой. Любая линия от одной стороны куба до противоположной стороны, включающая в себя ребра выброшенных кубов определенного шага, ближайших к внешней поверхности исходного куба и параллельных этой поверхности, полностью входит в состав кривой. Это говорит о том, что вся кривая состоит из периметров кубов каждого уровня построения и форма этой кривой есть бесконечная пространственная сетка.. В силу этого кривую Менгера невозможно совершенно упорядочить как прямую линию.

Рассмотрим представление кривой с помощью числового множества. Для этого все точки линии Менгера отобразим на числовой отрезок следующим образом.

Множество чисел представим как числа на отрезке [0, 1] в троичной системе исчисления. Это в точности единица и все числа, представляемые как конечные и бесконечные последовательности цифр вида "0,xxxxxx…", где x – цифра из множества {0, 1, 2}. Множество, представляющее множество " линия Менгера ", будет ее подмножеством.

Представление множества точек пространства получим как объединение троичного представления двух чисел x, y и z в общем трехместном поразрядном представлении "0,xyzxyzxyz...": в каждой тройке первая цифра есть цифра соответствующего разряда первого числа (x), вторая цифра есть цифра соответствующего разряда второго числа - (y), а третья цифра есть цифра соответствующего разряда третего числа - (y),. Рассмотрим эти числа.

На первом шаге мы исключаем все числа вида "0,abc'xyz, где abc – трехразрадное число, состоящее только из единиц и нулей, кроме комбинации "000",  x – цифры из множества {0, 1, 2}, кроме бесконечной последовательности нулей. Это числа вида "0,011'xyz'…", "0,101'xyz'…", "0,110'xyz'…" "0,111'xyz'…", "0,001'xyz'…", "0,010'xyz'…" "0,100'xyz'…". Все остальные числа рассматриваются на следующем шаге.

Т.к. каждый куб линии второго уровня подобен большому кубу, то множество запрещенных чисел получается делением запрещенных чисел первого уровня на 3*3*3 = 27 и прибавлением значения цикла, равного 1/3 по всем трем координатам. Мы получим числа вида "0,xyz'abc'...", причем числа вида "0,abc'xyz мы уже исключили. Если мы продолжим эту процедуру, то должны будем исключить из чисел множества "универсальная кривая Менгера" все числа, в троичном трехразрядном представлении которого встречается тройка, состоящая только из нулей и единиц (кроме 000),  с произвольным продолжением, кроме бесконечной последовательности нулей.

7.8           Кривые Пеано

Кривыми Пеано называются непрерывные кривые линии на части плоскости и полностью ее заполняющие, т.е. проходящие через каждую ее точку. Кривые Пеано являются Жордановыми кривыми.

Практически кривые Пеано получаются как предел бесконечной последовательности кривых на плоской геометрической фигуре, получаемых на каждом шаге построения. Построим кривую Пеано как непрерывное отображение отрезка на прямоугольный треугольник.

Пусть τ – единичный отрезок [0, 1].

Разделим ее на две половинки: отрезки [0, ½] и [½, 1]. Присвоим каждой половинке числа, соответствующие в двоичной системе координатам крайних левых точек – 0.0 и 0.1. Крайнюю правую точку отрезка обозначим как 1.

Получившиеся половинки еще раз поделим пополам и для различения каждой четвертинки добавим к числовым обозначениям половинок число 0 – к левой четвертинке половинки, 1 – к правой четвертинке половинки. Мы получим 4 отрезка, обозначенные как 0.00, 0.01, 0.10 и 0.11.

Продолжая процесс, мы каждую точку всего отрезка [0, 1] обозначим через некоторое вещественное число в двоичной системе. При этом некоторые могут получить неоднозначное обозначение. Такими точками являются точки с координатами , где n и kn - целые числа. Такие точки называются двойными.

Проведем аналогичные построения для прямоугольного треугольника (см. рис 5a). Крайнюю правую нижнюю точку треугольника обозначим как 0. Крайнюю верхнюю точку треугольника обозначим как 1. Сам треугольник пронумеруем как "ноль".

Дальнейшие шаги будут связаны с разделением треугольников на два треугольника и их нумерацией. При этом важно обеспечить некоторые условия. Эти условия выпишем для произвольной исходной фигуры.

1) В процессе деления фигуры подфигуры в пределе должны иметь бесконечно малый диаметр. Это условие будет выполняться гарантированно для треугольников, если будем делить треугольники биссектрисой наибольшего угла. Но гарантированное условие не является обязательным. При этом для любого e > 0 найдется n0, что для всех n0 > n0 диаметры всех подфигур будут меньше e. А это значит, что любая последовательность вложенных подфигур будет иметь пределом вполне определенную точку. А если мы будем делить фигуру на несколько частей, и продолжим процесс деления получившихся подфигур, то для любой точки фигуры найдется хотя бы одна последовательность вложенных подфигур, сходящихся к этой точке. Многократными точками будут являться границы подфигур.

Нумерацию треугольников проведем так, чтобы:

2) первый треугольник любого ранга содержал точку 0, последний – точку 1.

3) обеспечивалась сплошная последовательная нумерация их: можно было из треугольника предыдущего шага  войти в треугольник , обойти в нем последовательно внутренние треугольники и выйти в треугольник , пересекая лишь стороны (но не вершины) треугольников ранга r + 1. Каждый переход должен совершаться в треугольник с большим номером. Такая нумерация возможна всегда.

Эти три условия являются определяющими для построения кривой Пеано.

Разделим наш треугольник на две половинки высотой, проведенной с вершины прямого угла. Мы получим два треугольника: [0, ½] и [½, 1] с одной общей стороной (см. рис 5b). Пронумеруем треугольники от нулевой точки справа снизу влево вверх до единичной точки и присвоим каждому треугольнику числа, соответствующие в двоичной системе их нумерации, деленной на 2 – это 0.0 и 0.1.

Рис. 5. Построение кривой Пеано. Первые шаги. На рис. a) кривая состоит всего из одной точки; b) кривая состоит из двух точек – начала и конца стрелки; c) кривая состоит из 4-х точек – начала и конца стрелки и двух промежуточных точек;

Получившиеся половинки еще раз поделим пополам и для различения каждой четвертинки добавим к числовым обозначениям половинок число 0 – к левой (или нижней) четвертинке половинки треугольника, 1 – к правой (или верхней) четвертинке половинки треугольника (см. рис 5c). Мы получим 4 треугольника, обозначенные как 0.00, 0.01, 0.10 и 0.11.

Продолжая процесс деления треугольников (см. рис 6a), нумеруя и присваивая им числовое обозначение, мы каждую точку всего треугольника [0, 1] обозначим через некоторое вещественное число в двоичной системе. 

Рис. 5. Продолжение построения кривой Пеано. Шаги с 4-го по 6-й.

Можно отметить, что любые два треугольника имеют не более одного общего ребра. При этом некоторые треугольники могут получить неоднозначное обозначение, в силу того, что некоторые точки, являющиеся вершинами треугольников или принадлежащие ребрам, одновременно принадлежат нескольким треугольникам: существуют двойные, тройные и четверные точки. Точки ребра треугольника могут принадлежать двум треугольникам, вершины могут принадлежать в нашем случае восьми треугольникам. Соответственно, каждая n-арная точка может иметь n значений нумерации, и только некоторые из этих нумерации определяются одним и тем же числом, только в различных видах записи типа бесконечной двоичной единицы. Такой точкой, например, является прямоугольная вершина ½ исходного треугольника с нумерациями 0.0111… и 0.1. Вершина ¼ имеет следующие нумерации: 0.00111…, 0.0100…, 0.10111… и 0.11000…, соответствующие двум вещественным числам 0.01 (=¼) и 0.11 (=¾).

В результате всех этих построений мы имеем два множества, пронумерованные с помощью вещественных чисел – отрезок и прямоугольный треугольник. А это значит, что можно поставить в соответствие каждой точке отрезка [0. 1] точки прямоугольного треугольника. Если даже некоторая точка имеет два двоичных представления, то они обе приводят к одной и той же точке как отрезка, так и треугольника. И это отображение поэтому является однозначным: каждой точке отрезка, соответствующей вещественному числу, соответствует единственная точка треугольника. Обратное отображение при этом, правда, не является однозначной, в силу наличия n-арных (n > 2) точек в треугольнике.

Кривая Пеано, построенная выше, не является единственной. Существует целый класс кривых Пеано. Исходной фигурой для построения кривой может быть любая связная фигура, гомеоморфная кругу (треугольнику, квадрату, ююю). Деление этой фигуры на каждом шаге тоже может производиться многими способами, в т.ч. и на любое количество подфигур, зависящее только от самой делимой фигуры,. Единственное, что необходимо соблюдать – это три вышеуказанных условия на процесс деления.

Аналог кривой Пеано можно построить и на фигуре любой другой размерности, вплоть до счетномерной.

7.9           Кривая Минковского

Кривая Минковского или колбаса Минковского — классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломаная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга) - см. рис.

Рис.6. Кривая Минковского с генератором "одиночный импульс". Первые три шага построения с хаусдорфовой размерностью ln4/ln3.

Рис.6. Кривая Минковского с генератором "одиночный знакопеременный импульс" с хаусдорфовой размерностью ln8/ln4 = 1,5. Первые три шага построения.

Свойства.

  • Кривая Минковского нигде не дифференцируема и не спрямляема.
  • Кривая Минковского не имеет самопересечений.
  • Кривая Минковского имеет Хаусдорфову размерность \ln8/\ln4\ = 3/2(поскольку она состоит из восьми равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/4). В частности,

Кривая Минковского имеет нулевую меру Лебега.

7.10        Снежинка Коха

Граница снежинки, придуманной Гельгом фон Кохом в 1904 году, описывается кривой, составленной из трех одинаковых фракталов размерности d = 1,2618.                        

Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон равностороннего треугольника. Пусть K0 — начальный отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка такой же длины. Назовем полученное множество К0. Повторим данную процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками. Обозначим через Кn фигуру, получившуюся после n-го шага.                                

                                                                    

                                                                   

Интуитивно ясно, что последовательность кривых {Кn}n=1 сходится к некоторой предельной кривой К. Предположим, что кривая К существует, и рассмотрим некоторые ее свойства. Если взять копию К, уменьшенную в три раза (г = 1/3), то все множество К можно составить из N = 4 таких копий. Следовательно, отношение самоподобия выполняется при указанных N и г, а размерность фрактала будет:  d = log(4)/log(3) = 1,2618.

Еще одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха — ее бесконечная длина. Это может показаться удивительным читателю, привыкшему иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие, они всегда имеют конечную длину. Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерения длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.

Доказательство. Достаточно показать, что каждый из трех идентичных фракталов К, полученных итерациями, имеет бесконечную длину. Пусть исходный отрезок Ко имеет единичную длину. Тогда длина кривой К1равна 4/3. Длина кривой К2 равна 42/32. Продолжая таким образом имеем, что кривая Кn после n-го шага имеет длину 4n/3n. Следовательно, длина предельной кривой К равна бесконечности.

(Ричард М, Кроновер "Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.")

8         Важные проблемы и результаты. Некоторые теоремы

8.1           Задача о Кенигсбергских мостах

Еще один вклад Эйлера в развитие топологии - это решение знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кенигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава - Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты - линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки - его вершинами, а линии - ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кенигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута. Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах зависит только от взаимного расположения мостов. Оно положило формальное начало топологии как разделу математики.

8.2           Проблема раскраски карт

Проблема четырех красок. Проблема заключается в следующем: можно ли любую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были раскрашены в различные цвета? Проблема четырех красок топологическая, так как ни форма стран, ни конфигурация границ не имеют значения. Гипотеза о том, что четырех красок достаточно для соответствующей раскраски любой карты, была впервые высказана в 1852. Опыт показал, что четырех красок действительно достаточно, но строгого математического доказательства не удавалось получить на протяжении более ста лет. И только в 1976 К.Аппель и В. Хакен из Иллинойского университета, затратив более 1000 часов компьютерного времени, добились успеха.

 

8.3           Теорема Жордана о замкнутой кривой

Если на поверхности проведена простая замкнутая кривая, то существует ли какое-либо свойство кривой, которое сохраняется при деформации поверхности? Существование такого свойства вытекает из следующей теоремы: простая замкнутая кривая на плоскости делит плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю. Эта кажущаяся тривиальной теорема очевидна для кривых простого вида, например, для окружности; однако для сложных замкнутых ломаных дело обстоит иначе. Теорема была впервые сформулирована и доказана К.Жорданом (1838-1922); однако доказательство Жордана оказалось ошибочным. Удовлетворительное доказательство было предложено О.Вебленом (1880-1960) в 1905.

8.4           Теорема Брауэра о неподвижной точке

Пусть D - замкнутая область, состоящая из окружности и ее внутренности. Теорема Брауэра утверждает, что для любого непрерывного преобразования, переводящего каждую точку области D в точку этой же области, существует некоторая точка, которая остается неподвижной при этом преобразовании. (Преобразование не предполагается взаимно однозначным.) Теорема Брауэра о неподвижной точке представляет особый интерес потому, что она, по-видимому, является, наиболее часто используемой в других разделах математики топологической теоремой.

8.5           Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры утверждает, что если функция f(z) имеет вид

 (1)

где — какие угодно комплексные числа, то существует такое комплексное число, что= 0. Другими словами, в поле комплексных чисел всякое алгебраическое уравнение имеет корень. (Основываясь на этой теореме, мы на стр. 138 сделали дальней­шее заключение: полином f(z) может быть разложен на п линейных множителей

где— нули f(z).) Замечательно, что эту теорему можно доказать, исходя из соображений топологического характера, как и теорему Брауэра о неподвижной точке.

Это число нужно, конечно, брать в алгебраическом смысле, т.е. с учетом на­правления вращения.

Пусть читатель вспомнит, что комплексное число есть символ ви­да х + yi, где х и у — действительные числа, а символ i обладает свой­ством i2 = — 1. Комплексное число х + yi изображается точкой (x, у) в плоскости прямоугольных координат. Если мы введем в этой же плос­кости полярные координаты, принимая начало координат за полюс, а положительное направление оси х за полярную ось, то можно будет написать

где,

Из формулы Муавра следует, что  (см. стр. 133). Отсюда ясно, что если комплексное число z описывает круг радиуса г с центром в начале координат, то zn опи­шет ровно n раз круг с радиусом. Напомним еще, что модуль z (обозначаемый через \z\) представляет собой расстояние z от 0 и что, если z' = х' + iy', то \z z'\ есть расстояние между z и z'. После этих напоминаний можно перейти к доказательству теоремы.

Рис. 19. Доказательство основной теоремы алгебры

Допустим, что полином (1) не имеет корней, так что при любом комплексном z

При этом допущении, если z описывает некоторую замкнутую кривую в х, у плоскости, то f(z) опишет некоторую замкнутую кривую Г, не проходящую через начало координат (рис. 19). Можно определить по­рядок точки О для функции f(z) относительно замкнутой кривой С как число полных поворотов, совершаемых вектором, идущим от О к точ­ке f(z) на кривой Т, когда z делает полный обход по кривой С. Возьмем в качестве кривой С окружность с центром О и радиусом t и обо­значим черезпорядок точки О для функции f(z) относительно окружности с центром О и радиусом t. Очевидно, = 0, так как круг радиуса 0 сводится к одной точке и кривая Г также сводится к одной точкеЕсли мы докажем, что при достаточно больших значениях t функцияравна п, то в этом уже будет заключаться противоречие, так как, с одной стороны, порядокдолжен быть не­прерывной функцией t (поскольку f(z) есть непрерывная функция z), а с другой стороны, функцияможет принимать только целые зна­чения и потому никак не может перейти от значения 0 к значению n непрерывно.

Нам остается доказать, что при достаточно больших значениях t

Для этого заметим, что если радиус круга t удовлетворяет неравенст­вам

то

Так как выражение слева есть не что иное, как расстояние между точ­ками zn и f(z), а выражение в самой правой части неравенства — расстояние точки zn от начала координат, то мы видим отсюда, что отрезок, соединяющий точки zn и f(z), не пройдет через начало коор­динат, если только z будет находиться на круге радиуса t с центром в начале. В таком случае имеется возможность деформировать кри­вую, описываемую точкой f(t) в кривую, описываемую точкой zn, без прохода через начало, смещая непрерывным движением каждую точ­ку f(z) к соответствующей точке zn по прямоугольному отрезку. При этом порядок начала может принимать только целые значения и, вместе с тем, во время деформации может меняться не иначе, как непрерыв­но; значит, для обеих функций  f(z) и zn он одинаков, и так как для zn он равен n, то имеет то же самое значение и для f(z). Доказательство закончено.

9         Литература

  • Р.Курант, Г.Роббинс. Что такое математика? М., НИЦ "РИХД", 2001.
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
  • Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf).
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
  • Ху Сы-цзян. Теория гомотопий. М., 1964
  • Куратовский А. Топология, тт. 1-2. М., 1966, 1969
  • Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977
  • Келли Дж. Общая топология. М., 1981
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
  • Использованы материалы из интернет-сайта Википедиа: http://ru.wikipedia.org.

 

Ссылка на этот материал: topologiya.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 98 вычесть 81 =

---Load files---
Сегодня - 20_08_2019
Время переоткрытия сайта 13 ч 57 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:5 V:6
Уникальных посетителей: 5 Просмотров: 6