Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: vektornaya_algebra.htm)
Тензорная алгебра

1      Векторное исчисление

Для изучения физических явлений наиболее часто используются скаляры, векторы и тензоры. В математике для изучения векторных объектов имеется специальный аппарат – векторный анализ или векторное исчисление. При использовании векторов нет произвола, связанного с выбором той или иной ортонормированной координатной системы, связанной с ИСО, и яснее видно физическое содержание уравнений. Тензорная запись, применяемая в теории относительности, позволяет относить уравнения не только к любой ИСО,  но и к произвольным координатам.

В литературе векторы обозначаются буквенными символами с чертой или стрелкой над символом, с возможным жирным начертанием:

Если по контексту понятно, что символ обозначает вектор, можно специально не выделять вектор жирным начертанием со стрелками или без них.

Использование индексов возможно для различения разных векторов, обозначенных одной и той же буквой, либо для обозначения составляющей вектора вдоль определенного направления. Место расположения индекса обычно справа сверху или снизу от обозначения вектора соответственно для контра- и ковариантного индексов. При определении вектора в тензорной форме с индексированием жирное начертание и стрелки не используются. 

Объектами векторного анализа являются скалярные и векторные поля произвольной размерности. Наиболее широко векторный анализ применяется для размерности 3 и частично – 4. Для них имеется хорошо разработанный аппарат векторной алгебры. Основными операциями векторной алгебры являются скалярное произведение векторов A и B: AB, их же векторное произведение [A´B] или A´B, градиент скалярного поля j(q): gradj, дивергенция divA(q) и ротор rotA(q) векторного поля A(q). Основными инструментами векторного анализа являются теорема Остроградского-Гаусса и теорема Стокса.

Наибольшую наглядность объекты, используемые в векторном анализе, имеют в случае поля вектора скорости и плотности сплошной среды – газа, жидкости, твердого тела: скалярным полем в этом случае является поле плотности среды, а векторным – поле скорости или плотности импульса. Градиенту gradj в этом случае соответствует направление и величина изменения плотности в пространстве, дивергенции divA соответствует изменение плотности со временем, ротору rotA – изменение направления движения сплошной среды в пространстве.

2      Основные понятия

Скаляром называется величина или параметр, связанный с конкретной точкой пространства или ее подмножеством, значение которого не зависит ни от координат, ни от ее преобразований, и вообще от чего бы то ни было другого. Скаляр может быть функцией координат точки пространства или функционалом области пространства, например, интегралом.

Похожими свойствами обладают константы. Константами являются, например, математические величины - число p ("пи") = 3,1459…, число e = 2,712… (основание натурального логарифма). Числа 0 и 1 тоже являются важными константами. К константам можно отнести "постоянную Планка" и другие физические константы как неизменяемые параметры конкретных теории. Константы не могут быть функциями.

Вектором называется направленный отрезок прямой определенной длины. Вектор может быть свободным и связанным. Со связанным вектором обычно связывается функция, со свободным – функционал.

Замечание: в этом определении вектор является отрезком прямой, соединяющим две точки пространства: , где A1 и A2 – две точки пространства. Но это просто одна из интерпретаций вектора. Вектор может определять различные геометрические и физические свойства пространства и материи и их движение. Например, скорость v, ускорение w м.т. или точки сплошной среды. Или элемент длины dl – как определено выше, или элементарную плоскую площадку ds в 3-мерном пространстве. Так называется вектор, направленный по нормали к площадке, численно равный ее поверхности и связанный с направлением обхода контура площадки, как направлением вращения головки правого винта при ее вворачивании. В правой с.к. тензорные компоненты вектора элементарной площадки, построенной на векторах OA1 = (dx1, dy1, dz1) и OA2 = (dx2, dy2, dz2), обходимой по контуру (OA1O'A2O) (см. рис. ниже), разлагаются на три составляющие:

 

 

В данном случае направление вектора ds – по правилу правого винта – перпендикулярно внутрь листа бумаги.

3      Градиент скалярного поля φ

Градиент скалярного поля j может быть записан по разному:

В данном определении записаны различные варианты написания выражения градиента скалярной функции: 1) через функцию "grad", 2) векторная форма записи, 3) через знак "набла", 4) как частную производную скалярной функции и 5) тензорную функцию.

Зная градиент скалярной функции j, можно найти приращение функции dj при смещении на отрезок dl = exdx + eydy + ezdz:

Скалярное поле φ называется потенциальным полем. В случае 4-мерного галилеева пространства поле φ иногда является временным элементом A0 4-мерного векторного поля A. Для физических полей это поле называется силовой функцией, а потенциалом называется поле –φ(r).

4      Поток векторного поля

Потоком вектора A через площадь S называется скалярная величина F, вычисляемая по формуле скалярного произведения

F = AS = |A|∙|S|∙cos(A, S),

где |A| - модуль вектора A векторного поля на поверхности S,

|S| - площадь поверхности, через которую проходит векторное поле,

cos(A, S) – косинус угла между вектором A и нормалью к поверхности S.

В случае произвольного поля A и поверхности S поток векторного поля определяется интегрированием по элементарным площадкам поверхности:

.

Здесь Si соответствует направлению нормали к площади S с длиной, равной площади этой поверхности.

Примером потока векторного поля через площадку является количество проходящей через поперечное сечение трубы площадью S за единицу времени жидкости со скоростью v:

J = vS.

4.1      Поток векторного поля через замкнутую поверхность

Интерес с точки зрения анализа представляет поток векторного поля через замкнутую поверхность S. Физически он соответствует изменению некоторого скалярного количества, примером которого может быть количество вещества в этом замкнутом объеме.

4.2      Дивергенция векторного поля

Большой интерес представляет также и предел отношения потока векторного поля к занимаемому им объему при стремлении объема к нулю. Эта функция является одной из основных в векторном анализе.

Дивергенция вектора divA называется предел интеграла потока векторного поля через внешнюю поверхность S бесконечно малого объема V к этому объему (см. рис. 3) при

Рис. 3. Дивергенции векторного поля.

стремлении объема (точнее, диаметра объема) к нулю:

.

Дивергенция вектора, как и поток вектора через площадку, является скалярной функцией, и физически он соответствует изменению плотности некоторой скалярной плотности со временем:

Это уравнение определяет закон неразрывности или изменения скалярного количества в объеме или ее плотности.

Дивергенция вектора соответствует потоку векторного поля через внешнюю поверхность единичного объема поля.

div A > 0 → источник поля

div A < 0 → сток поля

Векторное поле соленоидально, если поле не имеет ни источников, ни стоков:

div A = 0.

Это уравнение в гидродинамике соответствует уравнению неразрывности несжимаемой жидкости.

4.3      Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема Гаусса–Остроградского для замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V, определяет важное свойство потока поля через объем: поток вектора A через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу дивергенции divA векторного поля A по объему V, ограниченному этой поверхностью:

 

Это уравнение говорит о том, что интеграл потока векторного поля через внешнюю поверхность замкнутого объема можно вычислить как объемный интеграл по объему и наоборот. Является интегральным аналогом уравнения неразрывности для конечного замкнутого объема.

Доказательство.

Доказательство проведем в обратном порядке, т.е. из выражения потока через тройной интеграл получим двойной интеграл по поверхности.

Для этого разобьем весь объем, заключенный внутри поверхности S, на элементарные кубики типа изображенных на рис. 3. Грани всех кубиков можно разделить на внешние, совпадающие с поверхностью S, и внутренние, граничащие только со смежными кубиками. Сделаем кубики настолько маленькими, чтобы внешние грани точно воспроизводили форму поверхности. Поток вектора A через поверхность каждого элементарного кубика равен

dF = divAdV,

а суммарный поток через все кубики, заполняющие объем V, есть интеграл по всему объему

.

Переходя в силу элементарности размеров кубиков от суммирования к интегрированию, получим следующее выражение:

.

Теперь рассмотрим входящую в последнее выражение сумму потоков dФ через каждый из элементарных кубиков. Очевидно, что в эту сумму поток вектора A через каждую из внутренних граней войдет дважды, а через внешнюю грань – один раз. Рассмотрим два смежных кубика, поверхности которых обозначены как S1 и S2 (рис. 4), причем смежная грань входит как в S1, так и в S2:

Рис. 4. Поток векторного поля через смежные границы равен нулю, через внешние границы суммируются.

F12 = FS1 + FS2 + FS12 + FS21,

причем с противоположными знаками:

FS12 = -FS21.

С учетом этого поток F12 будет равен

F12 = FS1 + FS2 + FS12 - FS12 = FS1 + FS2.

Для всего объема, разделенного на элементарные кубики с поверхностями Si, полный поток будет равен сумме потоков по каждому кубику, состоящему из двух составляющих – по внешней поверхности и внутренним смежным поверхностям:

.

Но сумма под вторым знаком суммирования равна нулю, в силу вышесказанного относительно смежных поверхностей. Поэтому имеем, что полный поток векторного поля через объем будет равен потоку векторного поля через ее внешнюю поверхность:

.

5      Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса

5.1      Циркуляцией векторного поля

Циркуляцией векторного поля по замкнутой линии L называется контурный интеграл

Интегрирование производится по замкнутому пути. Если C не равно нулю, то поле A есть вихревое поле.

5.2      Ротор векторного поля

Ротор или вихрь векторного поля rot A:

rotAi = Hi = eijkAj/rk – ∂Ak/rj

rot(A1, A2, A3) = (H1, H2, H3) = (A3,2 – A2,3, A1,3 A3,1, A2,1 A1,2)

Эта функция также, как и дивергенция, является одной из основных в векторном анализе.

Векторное поле A потенциально (градиентное, безвихревое), если rotA = 0 и $φ: A = gradφ. Для него интеграл òAdr не зависит от пути интегрирования.

5.3      Теорема Стокса

Теорема Стокса является интегральным аналогом ротора векторной функции для натянутой на конечную замкнутую линию  поверхности:

Здесь S – натянутая на замкнутую линию L поверхность. Эта теорема говорит о том, что контурный интеграл векторного поля вдоль замкнутой линии можно вычислить как поверхностный интеграл по площади, ограниченной контуром, и наоборот.

Доказательство этой теоремы можно провести аналогично доказательству теоремы Остроградского-Гаусса. Идея этого доказательства основана на следующем рисунке:

Рис. 5. Идея доказательства контурного интеграла Стокса:

CL = CL1 + CL2 + CL12 + CL21 = CL1 + CL2,

C = årotAdS = åAdl.

6      Свойства оператора Гамильтона (набла)

6.1      Определения

Оператор набла (или оператор Гамильтона) обозначается как Ñ = ∂/∂ri. Он может применяться как векторный оператор:

ÑA = div A

[Ñ×A] = rot A

Лапласиан D (оператор Лапласа) определяется как скалярный квадрат оператора набла:

\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla2 = ∂2/r2.

Оператор д'Аламбера является 4-мерным аналогом лапласиана:

ð = 2/∂t2 – ∂2/∂r2.

Оператор Гамильтона используется для определения градиента скалярного поля:

\nabla \psi = \operatorname{grad}\ \psi

и дивергенция векторного поля:

\nabla \cdot \mathbf{A} = \operatorname{div}\ \mathbf{A}

Через векторное произведение лапласиана на вектор определяется ротор векторного поля:

\nabla \times \mathbf{A} = \vec{\operatorname{rot}}\ \mathbf{A}

Для любого числа a выполняется свойство коммутативности с оператором Гамильтона и линейности:

\ \nabla ( \alpha \phi + \psi ) = \alpha \nabla \phi + \nabla \psi

\ \mathbf{grad} ( \alpha \phi + \psi ) = \alpha\ \mathbf{grad}\ \phi + \mathbf{grad}\ \psi

\ \nabla \cdot ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B}

\ \mathbf{div}\ ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha\ \mathbf{div}\ \mathbf{A} + \mathbf{div}\ \mathbf{B}

\ \nabla \times ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B}

\ \mathbf{rot} ( \alpha \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \alpha\ \mathbf{rot}\ \mathbf{A} + \mathbf{rot}\ \mathbf{B}

6.2      Тождества с двумя Ñ(операторы второго порядка)

\ \nabla \times ( \nabla \psi )  = 0

\ \mathbf{rot}(\mathbf{grad}\ \psi) = 0

\ \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0

\ \mathbf{div}\ (\mathbf{rot}\ \mathbf{A} ) = 0

\ \Delta\ \psi = \nabla \cdot (\nabla \psi) = \nabla^2 \psi

\ \Delta\ \psi = \mathbf{div}\ (\mathbf{grad}\ \psi)

\ \nabla \times \nabla \times \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^{2}\mathbf{A}

\ \mathbf{rot}\ (\mathbf{rot}\ \mathbf{A}) = \mathbf{grad}\ (\mathbf{div}\ \mathbf{A}) - \Delta\mathbf{A}

6.3      Дифференцирование произведений полей

\nabla \cdot (\psi\mathbf{A}) = \mathbf{A} \cdot\nabla\psi + \psi\nabla \cdot \mathbf{A}

\mathbf{div}(\psi\mathbf{A}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{grad}\psi + \psi\ \mathbf{div}\mathbf{A}

\nabla \times (\psi\mathbf{A}) = \nabla\psi \times \mathbf{A} + \psi\nabla \times \mathbf{A}

\mathbf{rot} (\psi\mathbf{A}) =  \mathbf{grad}\psi \times \mathbf{A} + \psi\ \mathbf{rot}\mathbf{A}

\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} ++ \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})

\ \mathbf{grad}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} ++ \mathbf{A} \times \mathbf{rot} \mathbf{B} + \mathbf{B} \times \mathbf{rot} \mathbf{A}

\frac{1}{2} \nabla A^2 = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A}

\frac{1}{2}\ \mathbf{grad} A^2 = \mathbf{A} \times (\mathbf{rot} \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A}

\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \nabla \times \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \nabla \times \mathbf{B}

\mathbf{div}\ (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \mathbf{rot}\ \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \mathbf{rot}\ \mathbf{B}

\ \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) +\;+ (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}

\ \mathbf{rot} (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}\ (\mathbf{div}\ \mathbf{B}) - \mathbf{B}\ (\mathbf{div}\ \mathbf{A}) +\;+ (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}

6.4      Таблица определений и взаимосвязей между векторными операторами:

Векторный оператор

Определение

и символьное обозначение

Тензорное обозначе–ние (3– и 4–мерные)

Скалярное поле и

Векторное поле а

 

 

 

grad

div

rot

grad

= ∂ /∂r

φi

grad div a

Grad

= (∂φ/∂t, –∂φ/∂r)

φi

 

 

 

div

Ñ = ÑÑ = Ñ2 = ∂2/∂r2 φ

φii

div grad u = u

div rot a = 0

Div

ð = (2/∂t2 2/∂r2) φ

φii

 

 

 

rot

rot A = (∂A2/∂r3–∂A3/∂r2,

 ∂A3/∂r1–∂A1/∂r3,

∂A1/∂r2–∂A2/∂r1)

Aij – Aji

rot grad u = 0

rot rot a =

= grad div a – ∆a

Rot

 

Aij – Aji

 

 

 

 

 

Ссылка на этот материал: vektornaya_algebra.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 92 to erect in degree "один" =

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 14 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25